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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Di 27.05.2008 | | Autor: | DerVogel |
| Aufgabe | Betrachten Sie die 2-dimensionale reelle Untermannigfaltigkeit $P [mm] \subset \IR^3$ [/mm] , die durch die Gleichung $0= f ( x, y, z) = z - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2$ [/mm] gegeben ist. Berechnen Sie die Volumenform auf P sowie
den Flächeninhalt des über dem Einheitskreis der x, y-Ebene liegenden Stücks von P. |
Hallo,
ich habe versucht, nach der Vorlesung das Problem zu lösen. Nach Berechnung der "Metrik" auf P und Aufstellen der Volumen-Form [mm] $\omega [/mm] = [mm] \wurzel(det [/mm] (G)) [mm] dx\wedge [/mm] dy = [mm] \wurzel(4x^2+4y^2+1)dx\wedge [/mm] dy$ bin ich zu der Lösung: [mm] $\integral_{P}{\omega} [/mm] = 2* [mm] \integral_{-1}^{1}{ \integral_{0}^{cos(x)}{\wurzel{4x^2+4y^2+1} dy} dx}$
[/mm]
gekommen. 2 mal, weil man noch die gegenüberliegende Hälfte beachten muss.
Mit Derive ausgerechnet ergibt das ca. 5,848.
Allerdings habe ich bei Wikipedia folgende Formel gefunden:
[mm] $A_O [/mm] = [mm] \frac{\pi r}{6 h^2} \cdot \left[ \left( r^2+4 h^2\right)^{\frac{3}{2}} - r^3 \right] [/mm] $
Wenn ich dort für r und h 1 einsetze, ist das Ergebnis "nur" 5,33.
Nun meine Frage: Welche Lösung ist die richtige?
Vielen Dank,
DerVogel
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> Betrachten Sie die 2-dimensionale reelle
> Untermannigfaltigkeit [mm]P \subset \IR^3[/mm] , die durch die
> Gleichung [mm]0= f ( x, y, z) = z - x^2 - y^2[/mm] gegeben ist.
> Berechnen Sie die Volumenform auf P sowie
> den Flächeninhalt des über dem Einheitskreis der x,
> y-Ebene liegenden Stücks von P.
> Hallo,
>
> ich habe versucht, nach der Vorlesung das Problem zu lösen.
> Nach Berechnung der "Metrik" auf P und Aufstellen der
> Volumen-Form [mm]\omega = \wurzel(det (G)) dx\wedge dy = \wurzel(4x^2+4y^2+1)dx\wedge dy[/mm]
> bin ich zu der Lösung: [mm]\integral_{P}{\omega} = 2* \integral_{-1}^{1}{ \integral_{0}^{cos(x)}{\wurzel{4x^2+4y^2+1} dy} dx}[/mm]
>
> gekommen. 2 mal, weil man noch die gegenüberliegende Hälfte
> beachten muss.
>
> Mit Derive ausgerechnet ergibt das ca. 5,848.
>
> Allerdings habe ich bei Wikipedia folgende Formel
> gefunden:
> [mm]A_O = \frac{\pi r}{6 h^2} \cdot \left[ \left( r^2+4 h^2\right)^{\frac{3}{2}} - r^3 \right][/mm]
>
> Wenn ich dort für r und h 1 einsetze, ist das Ergebnis
> "nur" 5,33.
>
> Nun meine Frage: Welche Lösung ist die richtige?
>
> Vielen Dank,
>
> DerVogel
hello TheBird,
ich habe mir überlegt, wie man die Aufgabe (wenigstens
die zweite Teilaufgabe) auch ohne Hochschulmathematik
formulieren könnte.
Dann lautet sie folgendermassen:
Berechne den Flächeninhalt des Rotationsparapoloïds,
welches entsteht, wenn man das Stück der Parabel
p: [mm] z=x^2 [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 um die z-Achse dreht.
Mein Ergebnis ist [mm] \bruch{\pi}{6}*(5\wurzel{5}-1) \approx [/mm] 5.33041...
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 27.05.2008 | | Autor: | DerVogel |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Okay, also ist mein Ergebnis falsch. Doch vielleicht kann mir jemand sagen, wo der Fehler liegt.
Ich poste hier mal meine ganze Rechnung:
[mm] $\psi [/mm] : U [mm] \to \IR^3$, $\vektor{u \\ v} \mapsto \vektor{u \\ v \\ u^2+v^2}$
[/mm]
Dann ist $P = [mm] im(\psi)$.
[/mm]
Außerdem:
dx = 1 du
dy = 1 dv
dz = 2u du + 2v dv
Dann ist die Metrik auf P:
$dx [mm] \otimes [/mm] dx = du [mm] \otimes [/mm] du$
$dy [mm] \otimes [/mm] dy = dv [mm] \otimes [/mm] dv$
und $dz [mm] \otimes [/mm] dz = (2u du + 2v dv [mm] )\otimes [/mm] (2u du + 2v dv ) $
Also ist $dx [mm] \otimes [/mm] dx + dy [mm] \otimes [/mm] dy + dz [mm] \otimes [/mm] dz = [mm] (4u^2+1) [/mm] du [mm] \otimes [/mm] du + (4uv) [mm] du\otimes [/mm] dv + (4uv) dv [mm] \otimes [/mm] du + [mm] (4v^2+1) [/mm] dv [mm] \otimes [/mm] dv$
Damit ist die Matrix $G= [mm] \pmat{ 4u^2+1 & 4uv \\ 4uv & 4v^2+1 }$ [/mm] und [mm] $\omega [/mm] = [mm] \wurzel(det(G)) du\wedge [/mm] dv = [mm] \wurzel(4u^2+4v^2+1) du\wedge [/mm] dv$
Und damit ist dann doch $ [mm] \integral_{P}{\omega} [/mm] = [mm] 2\cdot{} \integral_{-1}^{1}{ \integral_{0}^{cos(x)}{\wurzel{4x^2+4y^2+1} dy} dx} \approx [/mm] 5,848$
Wo ist der Fehler?
Gruß,
DerVogel
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Hi,
> Hallo,
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> Okay, also ist mein Ergebnis falsch. Doch vielleicht kann
> mir jemand sagen, wo der Fehler liegt.
>
> Ich poste hier mal meine ganze Rechnung:
>
> [mm]\psi : U \to \IR^3[/mm], [mm]\vektor{u \\ v} \mapsto \vektor{u \\ v \\ u^2+v^2}[/mm]
>
> Dann ist [mm]P = im(\psi)[/mm].
>
> Außerdem:
> dx = 1 du
> dy = 1 dv
> dz = 2u du + 2v dv
>
> Dann ist die Metrik auf P:
> [mm]dx \otimes dx = du \otimes du[/mm]
> [mm]dy \otimes dy = dv \otimes dv[/mm]
>
> und [mm]dz \otimes dz = (2u du + 2v dv )\otimes (2u du + 2v dv )[/mm]
>
> Also ist [mm]dx \otimes dx + dy \otimes dy + dz \otimes dz = (4u^2+1) du \otimes du + (4uv) du\otimes dv + (4uv) dv \otimes du + (4v^2+1) dv \otimes dv[/mm]
>
> Damit ist die Matrix [mm]G= \pmat{ 4u^2+1 & 4uv \\ 4uv & 4v^2+1 }[/mm]
> und [mm]\omega = \wurzel(det(G)) du\wedge dv = \wurzel(4u^2+4v^2+1) du\wedge dv[/mm]
>
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> Und damit ist dann doch [mm]\integral_{P}{\omega} = 2\cdot{} \integral_{-1}^{1}{ \integral_{0}^{cos(x)}{\wurzel{4x^2+4y^2+1} dy} dx} \approx 5,848[/mm]
>
> Wo ist der Fehler?
wie Al weiter unten geschrieben hat, ist deine innere integrationsgrenze falsch. nimm [mm] $\sqrt{1-x^2}$ [/mm] statt [mm] $\cos [/mm] x$ und das sollte hinkommen.
gruss
matthias
>
> Gruß,
> DerVogel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mi 28.05.2008 | | Autor: | DerVogel |
Moin,
danke für die Antwort. Warum das mit cos(x) nicht klappt ist mir jetzt klar. Weil ja $cos(-1)=cos(1)=0$ sein muss und cos(0)=1. Aber für z.B. [mm] $cos(\bruch{\pi}{2}*x)$ [/mm] ist das doch gegeben.
Der Kosinus beschreibt doch den Kreis, dann müsste das doch auch damit gehen, oder nicht?
Gruß
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> Moin,
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> danke für die Antwort. Warum das mit cos(x) nicht klappt
> ist mir jetzt klar. Weil ja [mm]cos(-1)=cos(1)=0[/mm] sein muss und ??? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> cos(0)=1. Aber für z.B. [mm]cos(\bruch{\pi}{2}*x)[/mm] ist das doch
> gegeben.
>
> Der Kosinus beschreibt doch den Kreis, dann müsste das doch
> auch damit gehen, oder nicht?
Was meinst du mit "Der Kosinus beschreibt den Kreis" genau ??
Man kann den Einheitskreis in der x-y-Ebene beschreiben durch
[mm]x(t) = cos(t)[/mm] und [mm]y(t) = sin(t)[/mm] [mm] (0\le [/mm] t [mm] <2\pi)
[/mm]
Den zusätzlichen Parameter t brauchst du aber in der vorliegenden
Situation für ein Doppelintegral der Form
[mm] \integral_{y_1}^{y_2} \integral_{x_1}^{x_2}{f(x,y) dx dy}
[/mm]
nicht. Die Beziehung zwischen x und y (für einen Punkt auf dem
Rand des Integrationsgebietes) ist der trig. Pythagoras: [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
Gruß al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mi 28.05.2008 | | Autor: | DerVogel |
Danke
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> Betrachten Sie die 2-dimensionale reelle
> Untermannigfaltigkeit [mm]P \subset \IR^3[/mm] , die durch die
> Gleichung [mm]0= f ( x, y, z) = z - x^2 - y^2[/mm] gegeben ist.
> Berechnen Sie die Volumenform auf P sowie
> den Flächeninhalt des über dem Einheitskreis der x,
> y-Ebene liegenden Stücks von P.
> Hallo,
>
> ich habe versucht, nach der Vorlesung das Problem zu lösen.
> Nach Berechnung der "Metrik" auf P und Aufstellen der
> Volumen-Form [mm]\omega = \wurzel(det (G)) dx\wedge dy = \wurzel(4x^2+4y^2+1)dx\wedge dy[/mm]
> bin ich zu der Lösung: [mm]\integral_{P}{\omega} = 2* \integral_{-1}^{1}{ \integral_{0}^{cos(x)}{\wurzel{4x^2+4y^2+1} dy} dx}[/mm]
>
> gekommen. 2 mal, weil man noch die gegenüberliegende Hälfte
> beachten muss.
>
> Mit Derive ausgerechnet ergibt das ca. 5,848.
>
> Allerdings habe ich bei Wikipedia folgende Formel
> gefunden:
> [mm]A_O = \frac{\pi r}{6 h^2} \cdot \left[ \left( r^2+4 h^2\right)^{\frac{3}{2}} - r^3 \right][/mm]
>
> Wenn ich dort für r und h 1 einsetze, ist das Ergebnis
> "nur" 5,33.
>
> Nun meine Frage: Welche Lösung ist die richtige?
>
> Vielen Dank,
>
> DerVogel
hallo DerVogel,
ich glaube den Fehler gefunden zu haben, obwohl ich mich
auch diesmal auf Kenntnisse gestützt habe, die nicht
ganz dem entsprechen, was ihr aktuell behandelt.
Ich habe mir das Flächenelement mittels Vektorprodukt
überlegt und gefunden, dass jedenfalls dein Integrand
für das Doppelintegral stimmt.
Dann kommt die Integration, und da war offenbar der
Haken: die Obergrenze cos(x) für die erste Integration
ist Unsinn, du verwechselst dabei x mit dem Winkel
arctan(y/x).
Richtig müsste diese Obergrenze [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] sein.
Dann kommt alles richtig...
Ich weiss ja aus eigener Erfahrung, wie tierisch man sich
ärgert, wenn man feststellt, dass man so einen doofen
Fehler gemacht hat.
In diesem Sinne: einen schönen erholsamen Abend! ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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