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| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Fläche, die von den Graphen der Funktion f: x [mm] \to [/mm] - [mm] \bruch{1}{9}x^4+14 [/mm] und g : x [mm] \to x^2-4 [/mm] eingeschlossen wird.
Fertigen hierzu eine Skizze der Graphen von f und g an. |
Hallo zusammen.
Ich brächte bitte eure Hilfe, da ich mir absolut nicht sicher bin ob meine Lösung richtig ist.
Hier mal mein Ansatz:
1. Skizze gezeichnet :)
2. - [mm] \bruch{1}{9}x^4+14=x^2-4
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{9}x^4+18-x^2=0
[/mm]
[mm] x^2(-\bruch{1}{9}x^2+17)=0
[/mm]
F(x)= [mm] -\bruch{2}{81}x^3+17x
[/mm]
[mm] [-\bruch{2}{81}x^3+17x]-2/2
[/mm]
= [mm] (-\bruch{16}{81}+34)-(\bruch{16}{81}-34) [/mm] = [mm] -\bruch{16}{81}+34-\bruch{16}{81}+34=-\bruch{32}{81}+68=-\bruch{32}{81}+\bruch{5508}{81}=67 \bruch{49}{81}
[/mm]
Ich weis, sieht alles sehr verwirrend aus ( jedenfalls für mich), aber ich hoffe dennoch irgendwie wenigstens einen richtigen Ansatz zu haben :)
Grüße,
Die Gruene_Fee
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Hallo, zunächst sind die Schnittstellen, deine Integrationsgrenzen, zu berechnen, mit
[mm] -\bruch{1}{9}*x^4-x^2+18=0
[/mm]
gehe ich ja noch mit, aber dann, beim Versuch [mm] x^2 [/mm] auszuklammern hast du aber ganz schön gezaubert, substituiere in obiger Gleichung [mm] z:=x^2, [/mm] löse die entstehende quadratische Gleichung
Steffi
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Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
Also ich habe jetzt substituiert und versucht die quadratische Gleichung per pq-Formel zu lösen. Ich erhalte jedoch leider immer eine negative Zahl innerhalb der Wurzel, was ja nicht zu lösen ist.... mach ich grad nur einen Fehler oder geht das mit der pq-Formel nicht? Ich hätte ansonsten noch gedacht, die beiden Funktionen um v=4 in y-achsenrichtung zu verschieben, um sie dann mit der Gleichung [mm] \integral_{a}^{b}{g(x)-f(x)dx} [/mm] zu lösen?
Wäre dir sehr dankbar wenn du mir nochmals auf die Sprünge helfen könnest :)
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Hallo,
> Also ich habe jetzt substituiert und versucht die
> quadratische Gleichung per pq-Formel zu lösen. Ich erhalte
> jedoch leider immer eine negative Zahl innerhalb der
> Wurzel, was ja nicht zu lösen ist.... mach ich grad nur
> einen Fehler oder geht das mit der pq-Formel nicht?
Du machst einen Fehler. Welchen, können wir dir allerdings nur sagen, wenn du deine Rechnung hier auch angibst.
Als Tipp: hier kommen zwei ganzzahlige Lösungen bzw. Integrationsgrenzen heraus.
> Ich
> hätte ansonsten noch gedacht, die beiden Funktionen um v=4
> in y-achsenrichtung zu verschieben, um sie dann mit der
> Gleichung [mm]\integral_{a}^{b}{g(x)-f(x)dx}[/mm] zu lösen?
>
Was soll das bringen?
Löse jetzt zunächst die Gleichung
[mm] -\bruch{1}{9}x^4+14=x^2-4
[/mm]
nach x auf. Gehe dabei genau so vor, wie schon geraten wurde. Multipliziere vielleicht zu Beginn mit 9, um Rechenfehler zu vermeiden. Beachte auch, dass beide Funktionen achsensymmtetrisch sind, dass kann ebenfalls der Kontrolle erhaltener Lösungen dienen.
Wenn du die x-Wert hast, kannst du das Integral berechnen. Allerdings ist dir hier auch ein Fehler unterlaufen: die Funktion f ist die obere Funktion, also muss die Rechnung so lauten:
[mm]A=\integral_{a}^{b}{f(x)-g(x) dx}[/mm]
bzw.
[mm]A=2*\integral_{0}^{b}{f(x)-g(x) dx}[/mm]
wenn man noch die Achsensymmetrie ausnutzt.
Gruß, Diophant
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Hallo,
also, ich habe so gerechnet:
[mm] -\bruch{1}{9}x^4 -x^2+18 [/mm] = 0 / substitution mit z = [mm] x^2
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{9}z^2-z+18
[/mm]
pq-Formel:
z1,2 = [mm] -\bruch{1}{2} -+\wurzel{(-\bruch{1}{2})^2-18}
[/mm]
Da ich die beiden Funktionen gezeichnet habe, konnte ich ja ablesen das die beiden Schnittpunkte x=3 und x=-3 sind ( sofern meine Zeichnung stimmt ;) ).
Also ich habe jetzt die Funktion mal 9 genommen und habe [mm] -x^4-9x^2+162 [/mm] erhalten. Dann substituiert mit z = [mm] x^2 [/mm] und habe erhalten: [mm] -z^2-9z+162= [/mm] 0.
Jetzt wollte ich die pq-Formel anwenden und schon wieder musste ich feststellen das ich eine negative Zahl innerhalb der Wurzel bekomme. Was mache ich denn falsch???
Vielen Dank aber für die schnelle Hilfe, ihr seid wirklich meine Rettung ;)
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Hallo
[mm] -\bruch{1}{9}z^2-z+18=0
[/mm]
multipliziere die Gleichung zunächst mit -9, beachte die Bedingung für die p-q-Formel
Steffi
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Hallo,
einfache Frage:
> Was mache ich denn falsch???
genauso einfache Antwort:
Vorzeichenfehler. Und zwar sozusagen en masse. Du könntest mal damit beginnen zu berücksichtigen, dass das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist (-> 'Minus mal Minus gibt Plus').
Mein Tipp mit dem mit 9 malnehmen war vielleicht etwas gedankenlos. Der von steffi21 (mikt -9 multiplizieren) führt auf eine für dich einfachere Rechnung, obwohl es letztendlich gleich ist, wie man es macht.
Gruß, Diophant
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So, nun habe ich endlich Zeit gefunden hier zu antworten. Wobei ich natürlich in der Zwischenzeit nicht untätig war ;)
Also ich schreibe jetzt nochmal meine Rechnung ab, so wie sie bei mir steht:
f(x)=g(x)
[mm] -\bruch{1}{9}x^4+14 [/mm] = [mm] x^2-4 -x^2/+4
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{9}x^4-x^2+18 [/mm] mit [mm] z=x^2 [/mm] substituieren
[mm] -\bruch{1}{9}z^2-z+18 [/mm] x(-9)
[mm] z^2+9z-162 [/mm] pq-Formel
z1,2= [mm] -\bruch{9}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{(\bruch{9}{2})^2-162}
[/mm]
so ja, wie man unschwer erkennen kann wird die Zahl unter der Wurzel negativ... ich habe auch schon das vorzeichen vertauscht, da ich vage in Erinnerung hatte irgendwann mal in der Schule gesagt bekommen zu haben, dass man bei der pq-Formel das vorzeichen austauschen muss...? Aber auch wenn ich +162 wähle, erhalte ich 13,5.
So. -4,5 +- 13,5 ist ja 9/-18
Bei meiner Zeichnung habe ich aber die Schnittpunkte -3/3 und bin mir mittlerweile sehr sicher das sie auch richtig ist.
Wo liegt denn nun mein Fehler?
Ich hoffe ihr erhaltet eine Benachrichtigung oder ähnliches, da es ja shcon ein Weilchen her ist... vielen Dank !!!
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Hallo,
> Wo liegt denn nun mein Fehler?
Jetzt schlage mal gaaanz in Ruhe die Mitternachts-/pq-Formel nach. Und dann erkläer uns mal, wie du auf -162 kommst. Das ist der Fehler, und den solltest du unbedingt selbst finden.
Gruß, Diophant
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wow, das ging ja schnell ;)
Liegt mein Fehler bei der pq-Formel oder bei der -162? Denn ehrlich gesagt habe ich nicht das Gefühl das es an der pq-Formel liegt.
Meine Erklärung ;) :
[mm] x^2+px+q=0
[/mm]
x1,2= [mm] -\bruch{p}{2}+-\wurzel{(\bruch{p}{2})^2-q}
[/mm]
So, meine Gleichung lautet ja, [mm] -\bruch{1}{9}z^2-z+18
[/mm]
Also mal (-9) um den Faktor vor x,bzw. z wegzubekommen. Also die gesamte Gleichung mal (-9)
[mm] +z^2+9z-162 [/mm] (+18x(-9))
Ich habe mittlerweile wirklich alles mögliche schon probiert, bin mein Lernheft mehrfach durchgegangen, habe die Integrationsregeln gelernt etc etc ... auch versucht mich übers Internet schlau zu machen, Lernvideo und so weiter... theoretisch verstehe ich ja wie es funktioniert... Nur das eben meine Schnittpunkte nicht mit denen die ich bei der pq-Formel erhalte übereinstimmen machen mich wahnsinnig! ;)
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Hallo,
> Liegt mein Fehler bei der pq-Formel oder bei der -162? Denn
> ehrlich gesagt habe ich nicht das Gefühl das es an der
> pq-Formel liegt.
Nein. Minus mal Minus war gleich nochmal was? 
Gruß, Diophant
PS: Wenn du eine Frage stellst, dann stelle sie doch bitte als Frage und nicht als Mitteilung. Das geht sonst leicht unter, da dein Thread bei einer Mitteilung nicht in der Liste der offenen Fragen erscheint!
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Naja, das Minus mal Minus + ergibt ist mir klar :)
ich gehe gerade meine Aufgabe nochmal durch:
[mm] -\bruch{1}{9}z^2 [/mm] ergibt [mm] +z^2
[/mm]
-z mal (-9) ergibt + 9z
+18 mal (-9) ergibt -162.....
Wahrscheinlich sehr ich vor lauter Verwirrung gerade den (wahrscheinlich) simplen Fehler nicht den ich ständig begehe.... Stimmt denn das mit meinen Schnittpunkten? Also -3/3? Weil dann könnte ich wenigstens schonmal sicher gehen das meine Zeichnung korrekt ist.
Ps.:
Danke für den Hinweis :)
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Hallo,
in der Mitternachtsformel steht '-q'. q ist bei dir: -162. Und nun die Preisfrage: was muss man da jetzt wohl einsetzen? ...
Gruß, Diophant
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[mm] -\bruch{9}{2}+-\wurzel{(\bruch{9}{2}^2)-(-162)}
[/mm]
richtig so? :)
Aber wie gesagt, die +162 bringen mich immer noch nicht auf meine -3/3 Schnittpunkte -.-.... das gibts doch nicht.
Ich gehe jetzt mal davon aus das meine Zeichnung falsch ist.. dann kann ich wenigstens mit der Rechnung fortfahren ;) Oder etwa immer noch nicht?
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Hallo,
> [mm]-\bruch{9}{2}+-\wurzel{(\bruch{9}{2}^2)-(-162)}[/mm]
>
> richtig so? :)
Ja.
> Aber wie gesagt, die +162 bringen mich immer noch nicht auf
> meine -3/3 Schnittpunkte -.-....
Nun, das ist kein Wunder. Du hast substituiert, da oben stehen die Lösungen für z, nicht die für x. Wie wäre es mit etwas mehr Gründlichkeit?
> Ich gehe jetzt mal davon aus das meine Zeichnung falsch
> ist.. dann kann ich wenigstens mit der Rechnung fortfahren
> ;) Oder etwa immer noch nicht?
Zur Zeichnung kann ich nichts sagen. Die Schnittpunkte liegen jedenfalls bei x=-3 und x=3.
Gruß, Diophant
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Mh ja, da hätte ich gründlicher sein müssen.
Ich kannt bis dato die Substitution leider nicht und bin auch nicht von selbst draufgekommen, das man ja das Einsetzen wieder rückgängig machen sollte ;)
Naja, jedenfalls habe ich ja als ergebnis z1,2= 9/-18 ... bei [mm] x^2=z=9, [/mm] also die Wurzel = 3... erster Schnittpunkt passt :)
Aber wie sieht es mit der -18 aus? Klar kann ich ja sagen, das -18 = [mm] x^2, [/mm] also sowieso positiv, was ja das Problem mit der Wurzel beseitigen würde, jedoch ist die Wurzel aus 18 nicht - 3.... bitte noch einen letzten kleinen Tipp, ansonsten schaff ich es glaube ich heute nicht mehr ruhig schlafen zu können ;)
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Hallo, sortieren wir mal kurz
[mm] x^4+9x^2-162=0
[/mm]
Substitution [mm] z:=x^2
[/mm]
[mm] z^2+9z-162=0
[/mm]
[mm] z_1=9
[/mm]
[mm] z_2=-18
[/mm]
Rücksubstitution
[mm] 9=x^2 [/mm] du bekommst [mm] x_1=-3 [/mm] und [mm] x_2=3 [/mm] beachte, du hast zwei Lösungen
[mm] -18=x^2 [/mm] hat keine reelle Lösung
so nun ran an [mm] \integral_{-3}^{3}{-\bruch{1}{9}x^4+14-(x^2-4) dx}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Mi 04.07.2012 | | Autor: | GrueneFee |
Klasse!
Nur diese -18 hat mich gerade aus der Bahn geworfen.
Vielen Dank euch beiden!!!
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