Flächeninhaltsberechnung mit P < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie, für welchen Wert des Parameters a größer als 0 die von den Graphen der Funktion f und g eingeschlossene Fläche den Inhalt A hat.
[mm] f(x)=x^2 [/mm] g=x
A=2/3
Die Schnittpunkte habe ich berechnet. Sie sind x1=0 und x2= 1/a.
Doch bei der Flächeninhaltsberechnung komme ich nicht weiter.
Ich weiß nicht ob folgendes stimmt und wie ich weiter damit verfahren soll.
[mm] A=1a/3a^3-1/2a^2=! [/mm] 2/3 |
Bestimmen Sie, für welchen Wert des Parameters a größer als 0 die von den Graphen der Funktion f und g eingeschlossene Fläche den Inhalt A hat.
[mm] f(x)=x^2 [/mm] g=x
A=2/3
Die Schnittpunkte habe ich berechnet. Sie sind x1=0 und x2= 1/a.
Doch bei der Flächeninhaltsberechnung komme ich nicht weiter.
Ich weiß nicht ob folgendes stimmt und wie ich weiter damit verfahren soll.
[mm] A=1a/3a^3-1/2a^2=! [/mm] 2/3
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie, für welchen Wert des Parameters a größer als
> 0 die von den Graphen der Funktion f und g eingeschlossene
> Fläche den Inhalt A hat.
> [mm]f(x)=x^2[/mm] g=x
> A=2/3
> Die Schnittpunkte habe ich berechnet. Sie sind x1=0 und
> x2= 1/a.
> Doch bei der Flächeninhaltsberechnung komme ich nicht
> weiter.
> Ich weiß nicht ob folgendes stimmt und wie ich weiter
> damit verfahren soll.
> [mm]A=1a/3a^3-1/2a^2=![/mm] 2/3
Hallo!
Ich glaube, du hast bei deinen Funktionen f und g noch Tippfehler drin bzw. was vergessen, denn darin finde ich kein a! Aufgrund deiner Nullstellen und deines weiteren Verlaufes vermute ich jedoch, dass die Funktionen etwa die Gestalt
[mm]f(x) = a*x^{2}[/mm]
[mm]g(x) = x[/mm]
haben. Erstmal egal. Auf jeden Fall bestimmst du dann zur Erfüllung der Aufgabe erstmal die Schnittpunkte der Funktionen. Ich gehe jetzt davon aus, dass das 0 und [mm] \bruch{1}{a} [/mm] sind.
Dann hast du auf jeden Fall den richtigen Ansatz gehabt, auch wenn du ihn leider nicht aufgeschrieben hast (mach das bitte das nächste Mal!): Man muss das Integral bilden und das mit dem gewünschten Flächeninhalt gleichsetzen:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{a}}{f(x)-g(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}.
[/mm]
Dann muss man die Gleichung nach a auflösen und hat die Aufgabe erfüllt. Ich vermute, dass deine erhaltene Gleichung falsch ist, kann das aber nicht genau beurteilen, da ich nicht weiß ob das a z.B. über oder unter dem Bruchstrich steht, etc. Benutze bitte bei deinem nächsten Post den Formeleditor, der unter dem Fragen-Eingabe-Textfeld ist.
Soweit, so gut 
Stefan.
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Hallo ,
du hast recht iich habe tipfehler entschuldige also [mm] f(X)=a*x^2 [/mm] und g(x)=x
Also so habe ich weiter gerchnet:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{a}}{(ax^2-x) dx}=(\bruch{1}{3}ax^3-\bruch{1}{2}x^2) [/mm] im Intervall von 0 bis [mm] \bruch{1}{a} [/mm]
wenn ich das alles einsetze komme ich zu folgendem ergebnis:
[mm] \bruch{1a}{3a^3}-\bruch{1}{2a^2}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Stimmt das? wenn ja wie mache ich nun weiter? Wenn nein wie ist es richtig.
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> Hallo ,
> du hast recht iich habe tipfehler entschuldige also
> [mm]f(X)=a*x^2[/mm] und g(x)=x
> Also so habe ich weiter gerchnet:
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{a}}{(ax^2-x) dx}=(\bruch{1}{3}ax^3-\bruch{1}{2}x^2)[/mm]
> im Intervall von 0 bis [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> wenn ich das alles einsetze komme ich zu folgendem
> ergebnis:
> [mm]\bruch{1a}{3a^3}-\bruch{1}{2a^2}=\bruch{2}{3}[/mm]
Hallo!
Das ist so richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nicht immer soviele Selbstzweifel ^^
Nun musst du die Gleichung nach a auflösen. Es handelt sich hier um eine quadratische Gleichung, denn du kannst folgendermaßen umformen:
[mm]\bruch{1a}{3a^3}-\bruch{1}{2a^2}=\bruch{2}{3}[/mm]
[mm]\bruch{1}{3a^{2}}-\bruch{1}{2a^2}=\bruch{2}{3}[/mm]
Multipliziere im nächsten Schritt mit [mm] a^{2}, [/mm] um die quadratische Gleichung zu erhalten. Du musst nicht mit de Lösungsformel arbeiten, wirst du sehen
Bedenke beim Angeben der Lösungen, dass a > 0 gelten sollte.
Stefan.
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Also wenn ich das mit [mm] a^2 [/mm] multipliziere komme ich auf folgendes:
[mm] \bruch{1a^2}{3a^2}-\bruch{1a^2}{2a^2}=\bruch{2}{3}a^2
[/mm]
Kann ich das jetz so machen, dass ich [mm] a^2 [/mm] weg kürze?
[mm] \bruch{1}{3}-\bruch{1}{2}=\bruch{2}{3}a^2
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{6}=\bruch{2}{3}a^2
[/mm]
nun teile ich durch [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{4}=a^2 [/mm]
jetzt müsste ich noch die Wurzel ziehen aber mein zahl ist negativ?
Was stimmt nicht?
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Hallo!
War ein bissel blöd von mir, dass ich das nicht gleich gesagt habe: Wenn man sich mal die Graphen der Funktionen anschaut, sieht man, dass im "kritischen Bereich", wo sie sich schneiden, immer die Funktion g(x) = x über der Funktion f(x) = [mm] a*x^{2} [/mm] liegt. Wenn ich nun also die Differenz f(x) - g(x) bilde, ziehe ich von der unteren die obere ab und erhalte damit genau das Negative von dem eigentlichen Flächeninhalt.
Damit du den Wert von dem Integral mit dem angegebenen 2/3 vergleichen kannst, musst du den selbst berechneten Flächeninhalt positiv machen. Am Besten wir ergreifen das Problem an der Wurzel und rechnen:
[mm] \integral_{0}^{1/a}{g(x)-f(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1/a}{x-a*x^{2} dx}
[/mm]
= [mm] \left[\bruch{1}{2}*x^{2} - \bruch{1}{3}*a*x^{3}\right]_{0}^{1/a}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2*a^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3*a^{2}} \overset{!}{=} \bruch{2}{3}
[/mm]
Du siehst, soviel ändert sich nicht - stelle nochmal nach a um
Stefan.
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Also wenn ich das jetzt mit [mm] a^2 [/mm] mulripliziere komme ich auf die gleichen ergebnisse wie vorher nur das sie positiv sind.
= [mm] \bruch{1}{2\cdot{}a^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3\cdot{}a^{2}} \overset{!}{=} \bruch{2}{3} [/mm]
[mm] \bruch{1}{6}= \bruch{2}{3}a^2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}=a^2
[/mm]
und dataus die wurzel ist:
[mm] \bruch{1}{2}=a [/mm] aber es könnte auch [mm] -\bruch{1}{2}=a [/mm] aber das geht nicht weil a großer al 0 sien soll.
Richtig?
Und vielen Dank für deine Hilfe.
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Hallo!
Exakt, nur a = [mm] \bruch{2}{2} [/mm] ist Lösung
Stefan.
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Okay aber ich glaube du meintest nicht [mm] \bruch{2}{2} [/mm] sondern [mm] \bruch{1}{2} [/mm] für a.
Danke für deine Hilfe.
Yasmin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yasmin!
Das hast Du richtig erkannt.
Gruß
Loddar
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Hallo!
Ja, natürlich - ich hab mir extra soviel Mühe gegeben die Lösung richtig hinzuschreiben - weil du sonst vielleicht verunsichert wirst - und nicht mal das gelingt mir :-(
Stefan.
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Hey Steffan dafür hats du mir die ganze aufgabe erkärt und ich habe sie verstanden, des war ja nur ein kleiner tipp fehler. 
Vielen dank dafür....find ich cool das ich meine Hausaufgaben doch noch lösen konnte.
DANKE SCHÖN !!!
Liebe Grüße Yasmin
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