Flächenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 12.06.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Bestimme die von der x-Achse, y-Achse und der Kurve [mm] x^{\bruch{2}{3}}+y^{\bruch{2}{3}}=a^{\bruch{2}{3}} [/mm] eingeschlossene Fläche. Nutze dazu die Variablentransformation [mm] x=\rho*cos^{3}(\varphi) [/mm] und [mm] y=\rho*sin^{3}(\phi)
[/mm]
Antwort: [mm] \bruch{3*\pi*a^{2}}{32} [/mm] |
Huhu!
Das ist doch eigentlich ein ganz normales Integral, was man da integrieren könnte... Nach y umformen und von 0 bis a integrieren und schon kommt das richtige raus...
Aber nein, es muss ja ein Flächenintegral sein und dann auch noch in so schönen Koordinaten...
Gut, dass ich weiß, wie weit ich integrieren muss, oder wie überhaupt das Flächenelement dA in diesen Koordinaten aussieht... (wie berechnet man sowas überhaupt???) und wenn ichs habe, wie finde ich dann die richtigen grenzen?
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> Bestimme die von der x-Achse, y-Achse und der Kurve
> [mm]x^{\bruch{2}{3}}+y^{\bruch{2}{3}}=a^{\bruch{2}{3}}[/mm]
> eingeschlossene Fläche. Nutze dazu die
> Variablentransformation [mm]x=\rho*cos^{3}(\varphi)[/mm] und
> [mm]y=\rho*sin^{3}(\phi)[/mm]
> Antwort: [mm]\bruch{3*\pi*a^{2}}{32}[/mm]
> Huhu!
>
> Das ist doch eigentlich ein ganz normales Integral, was man
> da integrieren könnte... Nach y umformen und von 0 bis a
> integrieren und schon kommt das richtige raus...
> Aber nein, es muss ja ein Flächenintegral sein und dann
> auch noch in so schönen Koordinaten...
> Gut, dass ich weiß, wie weit ich integrieren muss, oder
> wie überhaupt das Flächenelement dA in diesen Koordinaten
> aussieht... (wie berechnet man sowas überhaupt???) und
> wenn ichs habe, wie finde ich dann die richtigen grenzen?
hallo valoo,
wenn du dies nach y auflösen und dann integrieren möchtest:
niemand hindert dich daran ! Probier's einfach einmal aus ...
Um es doch vielleicht mit der Variablentransformation zu
versuchen, und überhaupt, ist es sicher sinnvoll, sich von dem
zu berechnenden Flächenstück eine Zeichnung anzufertigen.
Mach dir anhand der Zeichnung auch klar, in welchem Intervall
sich der Winkel [mm] \varphi [/mm] bewegen soll.
Das "gewöhnliche" Flächeninhaltsintegral
[mm] $\integral_{x_{0}}^{x_{1}} [/mm] y(x)\ dx$
kannst du dann in ein Integral der Form
[mm] $\integral_{\varphi_{0}}^{\varphi_{1}} y(\varphi)\ *\,\frac{dx}{d\varphi}\,*\ d\varphi$
[/mm]
umformen.
LG Al-Chw.
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