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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Flächenintegrale
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Flächenintegrale: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Fr 09.10.2009
Autor: slipwalka

Aufgabe
Berechnen Sie direkt und mit Hilfe des Satzes von Green:

[mm] I=\integral_{C}^{}{(x-y) dx dy} [/mm]

wobei C=x²+y²=1, [mm] y\ge [/mm] 0.

Hallo liebe Mathefreunde,

vorweg: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich würde euch gerne meine eigenen Lösungsansätze präsentieren, aber wenn ich welche hätte, würde ich möglicherweise gar nicht hier posten müssen. Ich habe inklusive dieser 4 Übungsaufgaben, die sich ähneln, die ich auch noch posten werde. Ich hoffte anhand dieser Aufgaben, mir das Thema selbst beibringen zu könen, aber offenbar kann ich das nicht.
Daher würde ich mich freuen, wenn sich jemand mit mir zusammen diesem Thema widmen könnte, sodass ich die Aufgaben und Lösungswege verstehe. In der Hoffnung, meine nächsten Übungsblätter selbst lösen zu können.
Wenn niemand antwortet, da ich keine Ansätze habe, kann ich das natürlich auch verstehen, da ja deutlich daraufhin gewiesen wird. Aber nochmal, ich möchte verstehen die Aufgaben zu lösen, einfach nur Lösungen helfen mir für die Zukunft ja auch nicht.

Vielen Dank an alle, die hilfsbereit sind:-)







        
Bezug
Flächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Fr 09.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie direkt und mit Hilfe des Satzes von Green:
>  
> [mm]I=\integral_{}^{C}{(x-y) dx dy}[/mm]
>  
> wobei C=x²+y²=1, [mm]y\ge[/mm] 0.
>  
> Hallo liebe Mathefreunde,
> Ich würde euch gerne meine eigenen Lösungsansätze
> präsentieren, aber wenn ich welche hätte, würde ich
> möglicherweise gar nicht hier posten müssen. Ich habe
> inklusive dieser 4 Übungsaufgaben, die sich ähneln, die
> ich auch noch posten werde. Ich hoffte anhand dieser
> Aufgaben, mir das Thema selbst beibringen zu könen, aber
> offenbar kann ich das nicht.
> Daher würde ich mich freuen, wenn sich jemand mit mir
> zusammen diesem Thema widmen könnte, sodass ich die
> Aufgaben und Lösungswege verstehe. In der Hoffnung, meine
> nächsten Übungsblätter selbst lösen zu können.
> Wenn niemand antwortet, da ich keine Ansätze habe, kann
> ich das natürlich auch verstehen, da ja deutlich daraufhin
> gewiesen wird. Aber nochmal, ich möchte verstehen die
> Aufgaben zu lösen, einfach nur Lösungen helfen mir für
> die Zukunft ja auch nicht.


Hallo Malte,

so wie du das Integral darstellst, hat es den Wert Null,
weil es wegen des doppelten Differentials [mm] dx\,dy [/mm] offenbar
ein Flächenintegral sein soll, das Integrationsgebiet C
mit [mm] x^2+y^2=1 [/mm] und [mm] y\ge0 [/mm] aber nur eine Kurve, nämlich
eine Halbkreislinie ist. Gib also zuerst bitte genau an,
was nun mit C wirklich gemeint sein soll.
Soll also I ein Linienintegral über eine Halbkreislinie
sein oder ein Flächenintegral über eine Halbkreisfläche ?

LG

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Bezug
Flächenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Fr 09.10.2009
Autor: slipwalka

Hallo, danke für diese schnelle Reaktion. Ich habe eben nochmal korrigiert, C ist die untere Grenze.
Ich habe es als Flächenintegral einer Halbkreisfläche verstanden, aber es ist meiner Meinung auch nicht genau angegeben.

Nochmals Danke soweit.  


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Bezug
Flächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Fr 09.10.2009
Autor: XPatrickX

Hallo,

na dann fangen wir mal an. Zunächst mit der direkten Methode. Benutze dazu Polarkoordinaten:

[mm] $$x:=r*\cos(\varphi)$$ [/mm]
[mm] $$y:=r*\sin(\varphi)$$ [/mm]

Dabei ist [mm] r\in[0,1] [/mm] und [mm] \varphi\in[0,\pi] [/mm] (wegen Halbkreis mir Radius 1)


Gruß Patrick

Bezug
                                
Bezug
Flächenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 Fr 09.10.2009
Autor: slipwalka

I= [mm] \int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi} r\*cos(\phi)-r\*sin(\phi)\*r \, d\phi [/mm] dr

=-2/3

Ist das schon die Lösung? Damit ich das noch ein wenig besser verstehen kann, würde mich interessieren, was genau das mit dem Satz von Green zu tun hat? Vielleicht kann mir da noch jemand von euch drauf antworten.

Vielen Dank schon mal :-)

Bezug
                                        
Bezug
Flächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:32 Sa 10.10.2009
Autor: MatthiasKr

Hallo,
> I= [mm]\int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi} r\*cos(\phi)-r\*sin(\phi)\*r \, d\phi[/mm]
> dr
>  
> =-2/3
>  
> Ist das schon die Lösung? Damit ich das noch ein wenig
> besser verstehen kann, würde mich interessieren, was genau
> das mit dem Satz von Green zu tun hat? Vielleicht kann mir
> da noch jemand von euch drauf antworten.

weiss jetzt nicht genau, in welcher variante ihr den satz von green im skript stehen habt, aber grundsaetzlich stellt dieser ja eine beziehung zwischen flaechen- und randintegral her. haeufig taucht er in der form des gauss'schen satzes auf, der sagt

[math] \int_\Omega \mbox{div} F(x)\,dx = \int_{\partial \Omega} F\cdot \nu\,dS[/math]

also das volumenintegral der divergenz eines vektorfeldes ist gleich dem randintegral ueber die normal-komponente des VFes.

wenn du jetzt den integranden in deinem flaechenintegral als divergenz eines geeigneten VFes darstellst, kannst du den wert des integrals auch als randintegral erhalten.

gruss
matthias

Bezug
                                                
Bezug
Flächenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 So 11.10.2009
Autor: slipwalka

Hallo Matthias,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Aber dieser Schritt ist mir noch nicht klar: wenn du jetzt den integranden in deinem flaechenintegral als divergenz eines geeigneten VFes darstellst.

Prinzipiell verstehe ich, was passiert, aber welches VF wäre in dieser Aufgabe geeignet für die Divergenz?


Gruß

Malte

Bezug
                                                        
Bezug
Flächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 So 11.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Malte,

leider ist die Situation auch bei dieser Aufgabe genau so
unbefriedigend wie in der anderen mit einem Integral J
über ein Integrationsgebiet D.

Deine Aufgabe hast du so angegeben:

Aufgabe
Berechnen Sie direkt und mit Hilfe des Satzes von Green:

[mm] I=\integral_{C}^{}{(x-y)\,dx\,dy} [/mm]

wobei C=x²+y²=1, [mm] y\ge [/mm] 0.


Ich vermute (wieder kann man nur Vermutungen
anstellen), dass mit C hier nur eine Kurve (Curve)
gemeint ist, nämlich ein Halbkreisbogen. Dann machen
aber die Differentiale [mm] dx\,dy [/mm] keinen Sinn, wie ich schon
dargelegt habe. Es sollte dann sinnvollerweise als
Differential ein Linienelement [mm] ds=|d\vec{s}|=\left|\vektor{dx\\dy}\right| [/mm] dastehen.

LG

Bezug
                                                                
Bezug
Flächenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 So 11.10.2009
Autor: slipwalka

Hallo,

ich habe langsam, das Gefühl, den Aufgabenzettel lieber in den Papierkorb zu werfen, da (für mich ebenfalls nicht, da ich sonst hier nicht schreiben würde) keine der Aufgaben einen Sinn macht. ?

Da zurzeit K(C)urvenintegrale u.a. Thema sind, könnte C folglich den Halbkreisbogen angeben. Dann verstehe ich aber nicht warum in der Aufgabe dx dy falsch dargestellt ist...

Gruß und Dank



Bezug
                                                                        
Bezug
Flächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 So 11.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> ich habe langsam das Gefühl, den Aufgabenzettel lieber in
> den Papierkorb zu werfen, da (für mich ebenfalls nicht, da
> ich sonst hier nicht schreiben würde) keine der Aufgaben
> einen Sinn macht.
>  
> Da zurzeit K(C)urvenintegrale u.a. Thema sind, könnte C
> folglich den Halbkreisbogen angeben. Dann verstehe ich aber
> nicht warum in der Aufgabe dx dy falsch dargestellt ist...
>  
> Gruß und Dank


Hallo Malte,

Falls euch die Aufgaben in der Form gestellt wurden,
wie du sie angegeben hast, solltest du unbedingt
reklamieren. Schlampige und damit falsche Schreib-
weisen sind in einem solchen Zusammenhang kata-
strophal, und ein Assistent, der derartiges Material
verteilt, wäre am falschen Platz ...

Man kann auch dieses Integral zu etwas vernünftigem
machen, wenn man statt [mm] dx\,dy [/mm] ein Linienelement $\ ds$
setzt. Dann sieht es so aus:

Kurve C:   [mm] $\vec{s}\,(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \vektor{cos\,\varphi\\sin\,\varphi}$ [/mm]  mit   [mm] $0\le\varphi\le\pi$ [/mm]

Linienelement  $\ ds\ =\ [mm] |d\vec{s}|\ [/mm] =\ [mm] \left|\frac{d\vec{s}}{d\varphi}\right|*d\varphi$ [/mm]

Damit lässt sich das Integral leicht berechnen.

Nachher bleibt noch der alternative Weg über den
Integralsatz von Green.

LG    Al-Chw.  

Bezug
                                                                                
Bezug
Flächenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 So 11.10.2009
Autor: slipwalka

Hallo,

[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(\varphi)-sin(\varphi) d\varphi} [/mm] ,  [mm] 0\le\varphi\le\pi [/mm]

ich weiß, hier hier habe ich das Linienelement nicht berücksichtigt, aber ich weiß nicht genau, wie ich es hier benutzen muss.

Ist das Linienelement das Flächelement nur 2-D?
Wie wäre, der alternative Weg mit Green?

Gruß und Dank


Bezug
                                                                                        
Bezug
Flächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 So 11.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> ist das Linienelement das Flächelement nur 2-D?

das Linienelement ds ist eindimensional (Differential
der Bogenlänge entlang des Integrationsweges C)

>  Wie wäre, der alternative Weg mit Green?

Das hab ich mir hier jetzt noch nicht überlegt, aber
es müsste wohl etwa so gehen:  Der Weg C (Halbkreis-
Bogen von A(1/0) über (0/1) nach B(-1/0) wird
durch die gerichtete Strecke S=BA zur geschlossenen
und im positiven Sinne durchlaufenen Randkurve
der Halbkreisfläche H ergänzt. Dann betrachtet man
das Linienintegral über S (wird wohl sehr einfach
zu bestimmen sein) und ein Flächenintegral über H
und kann aus diesen beiden das Linienintegral über C
berechnen.


LG    Al-Chw.

Bezug
                                                                                                
Bezug
Flächenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 So 11.10.2009
Autor: slipwalka

Hallo,

nochmal


> Das hab ich mir hier jetzt noch nicht überlegt, aber
>  es müsste wohl etwa so gehen:  Der Weg C (Halbkreis-
>  Bogen von A(1/0) über (0/1) nach B(-1/0) wird
>  durch die gerichtete Strecke S=BA zur geschlossenen
>  und im positiven Sinne durchlaufenen Randkurve
>  der Halbkreisfläche H ergänzt. Dann betrachtet man
>  das Linienintegral über S (wird wohl sehr einfach
>  zu bestimmen sein) und ein Flächenintegral über H
>  und kann aus diesen beiden das Linienintegral über C
>  berechnen.

Ok, wie würde dieser Vorgang, allgemein in Termen aussehen?

Gruß und Dank


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Flächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 So 11.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> nochmal
>  
>
> > Das hab ich mir hier jetzt noch nicht überlegt, aber
>  >  es müsste wohl etwa so gehen:  Der Weg C (Halbkreis-
>  >  Bogen von A(1/0) über (0/1) nach B(-1/0) wird
>  >  durch die gerichtete Strecke S=BA zur geschlossenen
>  >  und im positiven Sinne durchlaufenen Randkurve
>  >  der Halbkreisfläche H ergänzt. Dann betrachtet man
>  >  das Linienintegral über S (wird wohl sehr einfach
>  >  zu bestimmen sein) und ein Flächenintegral über H
>  >  und kann aus diesen beiden das Linienintegral über C
>  >  berechnen.
>  
> Ok, wie würde dieser Vorgang, allgemein in Termen
> aussehen?
>  
> Gruß und Dank


Bevor ich da jetzt auf rechnerische Einzelheiten eingehe,
möchte ich nochmals nachfragen, ob C nun wirklich eine
Kurve sein soll. Für C hattest du geschrieben:

     [mm] C=x^2+y^2=1 [/mm]  ,  [mm] y\ge [/mm] 0

Eigentlich ist dies Unsinn. Ist der Halbkreisbogen gemeint,
sollte dies z.B. heißen:

     [mm] C=\{(x,y)\ |\ x^2+y^2=1\ \wedge\ y\ge 0\,\} [/mm]

Ferner sollte noch etwas über den Durchlaufungssinn der
Kurve gesagt sein.

Vielleicht war ja aber trotzdem ein Flächenintegral
gemeint über das Halbkreisgebiet:

     [mm] C=\{(x,y)\ |\ x^2+y^2\le1\ \wedge\ y\ge 0\,\} [/mm]

Wenn du dann mal endlich weißt, was wirklich gefragt
ist, so schau halt einfach mal nach, was der Satz von
Green in Anwendung auf das vorliegende Beispiel
liefern könnte. Vergleiche die Integranden der Formel
mit dem hier vorliegenden Integranden x-y und versuche
sie richtig zu identifizieren.

LG
    

Bezug
                        
Bezug
Flächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Fr 09.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo, danke für diese schnelle Reaktion. Ich habe eben
> nochmal korrigiert, C ist die untere Grenze.
>  Ich habe es als Flächenintegral einer Halbkreisfläche
> verstanden, aber es ist meiner Meinung auch nicht genau
> angegeben.


Ob das C oben oder unten am Integral stand, war mir
eigentlich einerlei. Wenn du mit C die Halbkreisfläche
meinst, solltest du schreiben:

     [mm] $C=\{(x,y)\ |\ x^2+y^2\le 1\ \ und\ \ y\ge 0\}$ [/mm]

Dann kannst du dem Tipp von Patrick folgen und brauchst
dazu die richtige Transformationsformel für die Differentiale,
nämlich

     [mm] $dx\,dy\ [/mm] =\ [mm] r*dr*d\varphi$ [/mm]


LG     Al-Chw.



Bezug
        
Bezug
Flächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 So 11.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
  Berechnen Sie direkt und mit Hilfe des Satzes von Green:
  
[mm]I=\integral_{C}^{}{(x-y)\,dx\,dy}[/mm]

> wobei C=x²+y²=1, [mm]y\ge[/mm] 0.



Hallo,

ich habe mittlerweile noch etwas gemerkt: Im Satz
von Green kommt zwar ein Umlaufintegral über den
Rand eines Gebietes vor, es ist aber kein übliches
Linienintegral mit dem Differential [mm] ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2\,} [/mm]
der Bogenlänge, sondern eines, in welchem dx
und dy separat vorkommen.
Meine in anderen Antworten geäußerten Überlegungen
zu einem Integral der Form [mm] \integral_C\,f(x,y)\,ds [/mm] sind also
wohl doch nicht das, was hier unter dem Geröll einer
unklar formulierten Aufgabenstellung begraben ist ...

LG    Al-Chw.

Bezug
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