Flüssigkeitsreibung: Integral < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:04 So 03.03.2013 | | Autor: | JayvH |
Es handelt sich bei meiner Frage nicht um eine Frage aus einer Vorlesung oder einem Lehrbuch. Ich versuche eine Gleichung zur Abschätzung einer Flüssigkeitsreibung nach Newtons Schubspannungansatz aufzustellen und für eine bestimmte Fläche zu bestimmen. So dass ich den auftretenden Widerstand als Moment habe.
Der Ansatz von Newton lautet
S = [mm] \eta \cdot [/mm] f [mm] \cdot \bruch{V}{s}
[/mm]
mit dem Zähigkeitsschubwiderstand S, der kin. Viskosität [mm] \eta, [/mm] dem Flächenelement f, der Geschwindigkeit V und der Schmierspaltweite s.
Die Fläche, die den Schmierspalt bildet ist in [Dateianhang nicht öffentlich] zu sehen.
Ich habe mir für das Moment gedacht, dass ich die Summe der jeweiligen Zähigkeitswiderstände mit dem Hebelarm r über die Integrale in radialer und axialer Richtung ermittle. Die Winkelgeschwindigkeit der drehenden Fläche ist [mm] \omega, [/mm] die Relativgeschwindikgeit dann entsprechend V = [mm] \omega \cdot [/mm] r
M = [mm] \summe [/mm] S [mm] \cdot [/mm] r = [mm] \bruch{\eta}{s} \integral_{0}^{l} \integral_{r_1}^{r_2} \omega \cdot [/mm] r [mm] \cdot [/mm] r dr dx
Das erste r im Integral ist also für die Berechnung der Geschwindigkeit, das 2. r ist der Hebelarm. dx und dr sind die Seiten meines kleinen Flächensegments. Das Ergebnis wäre dann
M = [mm] \bruch{\eta}{s} \cdot [/mm] l [mm] \cdot \bruch{r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}{3}.
[/mm]
Allerdings ist dx in dem Fall ja nicht der Kreisbogenabschnitt meines infitisemal kleinen Stücks (grau eingezeichnet) sondern die Kreissehne), so dass meine resultierende Fläche nichts anderes wäre als die vereinfachende Annahme, dass die oberen und unteren Begrenzungen meiner Gesamtfläche gerade Stücke sind, oder? Könnte ich die Ober- und Untergrenze meiner kleinen Flächensegmente über Kreisbogenabschnitte beschreiben und so die Fläche genauer erhalten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Es handelt sich bei meiner Frage nicht um eine Frage aus
> einer Vorlesung oder einem Lehrbuch. Ich versuche eine
> Gleichung zur Abschätzung einer Flüssigkeitsreibung nach
> Newtons Schubspannungansatz aufzustellen und für eine
> bestimmte Fläche zu bestimmen.
Jetzt bekomme ich ein Verständnisproblem
> So dass ich den
> auftretenden Widerstand als Moment habe.
der enstehende Widerstand nach Newton ist eine Kraft, welche schon von der Fläche abhängt. (deshalb wäre in deiner Formel auch statt S das F eindeutiger; genauso wie für f ein A eindeutiger wäre, aber egal sind ja Variablen) .. aber später hab ich noch Gedanken dazu
Also wie soll deine Kraft ein Moment sein/werden ? Willst du dir berechnen welches Moment ein gewisses Flächenelement (mit ensprechendem Widerstand) erzeugen könnte wenn die Innenwand rotiert und die Außenwand zu Beginn ruht ? Also zb wie bei einem Öl-Lager.
>
> Der Ansatz von Newton lautet
> S = [mm]\eta \cdot[/mm] f [mm]\cdot \bruch{V}{s}[/mm]
> mit dem
> Zähigkeitsschubwiderstand S, der kin. Viskosität [mm]\eta,[/mm]
> dem Flächenelement f, der Geschwindigkeit V und der
> Schmierspaltweite s.
>
> Die Fläche, die den Schmierspalt bildet ist in
> [Dateianhang nicht öffentlich] zu sehen.
>
> Ich habe mir für das Moment gedacht, dass ich die Summe
> der jeweiligen Zähigkeitswiderstände mit dem Hebelarm r
> über die Integrale in radialer und axialer Richtung
> ermittle.
Ich hab jetzt relativ lange überlegt, bin allerding der Meinung dass du über $dr$ [mm] $d\phi$ [/mm] integrieren müsstest (siehe Kreiskoordinaten). vorallem wenn du für x von 0 bis l integrierst wirst du auf etwas falschen kommen (sieh dir nochmal dein Flächenelement an, dieses ist gekrümmt). Das mit der Relativgeschwindigkeit ist mir auch noch nicht ganz geheuer.. ich nehme mal an du gehst davon aus dass sich die Außenwand zu Beginn nicht dreht und du dir aufgrund der entstehenden Winkelgeschwindigkeit (die durch die reibende Flüssigkeit verursacht wird) die Viskosität errechnen willst (oder bei bekannter Viskosität das resultierende Moment).
> Die Winkelgeschwindigkeit der drehenden Fläche
> ist [mm]\omega,[/mm] die Relativgeschwindikgeit dann entsprechend V
> = [mm]\omega \cdot[/mm] r
> M = [mm]\summe[/mm] S [mm]\cdot[/mm] r = [mm]\bruch{\eta}{s} \integral_{0}^{l} \integral_{r_1}^{r_2} \omega \cdot[/mm]
> r [mm]\cdot[/mm] r dr dx
> Das erste r im Integral ist also für die Berechnung der
> Geschwindigkeit, das 2. r ist der Hebelarm. dx und dr sind
> die Seiten meines kleinen Flächensegments. Das Ergebnis
> wäre dann
> M = [mm]\bruch{\eta}{s} \cdot[/mm] l [mm]\cdot \bruch{r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}{3}.[/mm]
>
> Allerdings ist dx in dem Fall ja nicht der
> Kreisbogenabschnitt meines infitisemal kleinen Stücks
> (grau eingezeichnet) sondern die Kreissehne), so dass meine
> resultierende Fläche nichts anderes wäre als die
> vereinfachende Annahme, dass die oberen und unteren
> Begrenzungen meiner Gesamtfläche gerade Stücke sind,
> oder? Könnte ich die Ober- und Untergrenze meiner kleinen
> Flächensegmente über Kreisbogenabschnitte beschreiben und
> so die Fläche genauer erhalten?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
PS: die Kreiskoordinaten machen das ganze einfacher ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Mi 27.03.2013 | | Autor: | JayvH |
Hallo,
tut mir Leid, dass die Antwort von mir so lange gedauert hat, aber ich dachte dass mir das Forum mitteilt, wenn ich einen neuen Beitrag in diesem Thread erhalte.
> der enstehende Widerstand nach Newton ist eine Kraft,
> welche schon von der Fläche abhängt. (deshalb wäre in
> deiner Formel auch statt S das F eindeutiger; genauso wie
> für f ein A eindeutiger wäre, aber egal sind ja
> Variablen) .. aber später hab ich noch Gedanken dazu
>
> Also wie soll deine Kraft ein Moment sein/werden ? Willst
> du dir berechnen welches Moment ein gewisses
> Flächenelement (mit ensprechendem Widerstand) erzeugen
> könnte wenn die Innenwand rotiert und die Außenwand zu
> Beginn ruht ? Also zb wie bei einem Öl-Lager.
Das ist zunächst mal korrekt. Ich habe hier Variablen aus einer sehr alten Quelle genommen, die andere Bereiche meines Problems beschreiben. Durch den Ansatz von Newton bekomme ich eine Kraft, aber die Kraft kann ich ja über den Radius zur Mitte in ein Moment überführen. Es ist also tatsächlich so, dass ich eigentlich zwei bewegliche Flächen habe. Ich nehme die eine aber als ruhend an und die andere sich relativ dazu bewegend.
>
> Ich hab jetzt relativ lange überlegt, bin allerding der
> Meinung dass du über [mm]dr[/mm] [mm]d\phi[/mm] integrieren müsstest (siehe
> Kreiskoordinaten). vorallem wenn du für x von 0 bis l
> integrierst wirst du auf etwas falschen kommen (sieh dir
> nochmal dein Flächenelement an, dieses ist gekrümmt). Das
> mit der Relativgeschwindigkeit ist mir auch noch nicht ganz
> geheuer.. ich nehme mal an du gehst davon aus dass sich die
> Außenwand zu Beginn nicht dreht und du dir aufgrund der
> entstehenden Winkelgeschwindigkeit (die durch die reibende
> Flüssigkeit verursacht wird) die Viskosität errechnen
> willst (oder bei bekannter Viskosität das resultierende
> Moment).
>
>
> Liebe Grüße
>
> PS: die Kreiskoordinaten machen das ganze einfacher ;)
>
OK, den Ansatz über die Kreiskoordinaten werde ich mir mal anschauen. Ich bin aus dem eigentliche Mathegeschäft schon wieder ein bißchen raus, so dass ich daran gar nicht mehr gedacht habe.
Besten Dank und Gruß
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:44 Mi 27.03.2013 | | Autor: | JayvH |
| Aufgabe | | Lösung mit Polarkoordinaten |
Ich habe mir das jetzt noch einmal mit den Polarkoordinaten gemacht (das war doch mit Kreiskoordinaten gemeint?). Ich habe das in die alte Abbildung eingefügt [Dateianhang nicht öffentlich]. Der linke und rechte Rand ist immer noch dr. Der obere und untere Rand wäre jetzt dr * [mm] d\varphi.
[/mm]
So gilt für das Moment
M = [mm] \bruch{\eta}{s} \integral_{r_1}^{r_2}{ \integral_{0}^{\varphi'}{\omega r r d\phi} dr} [/mm]
Wenn ich das Integral löse, dann erhalte ich
[mm] \bruch{\eta}{s} \omega \bruch{r^3}{3} \varphi [/mm] mit [mm] \varphi [/mm] = 2 [mm] \arcsin \bruch{2r}{l}.
[/mm]
Das ist doch aber immer noch keine genaue Lösung, denn meine Seiten des betrachteten Stücks gegen ja gerade hoch, aber die kleinen Flächenelemente aneinander gesetzt würden ja an der Seite rüber ragen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 27.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 03.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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