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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Fluß auf tpologischem Raum
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Fluß auf tpologischem Raum: Beweis verstehen
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:44 Mi 07.05.2014
Autor: sick_of_math

Aufgabe
Hallo,

zunächst die Definition von "Fluss":

Sei M ein topologischer Raum und zu jedem x\in M gebe es ein offenes Intervall I(x)=(I_-(x),I_+(x))\subset\mathbb{R}. Setze E:=\bigcup_{x\in M}I(x)\times\left\{x\right\}\subset\mathbb{R}\times M. Eine Funktion \Phi\colon E\to M heißt Fluss auf  M wenn sie folgende Eigenschaften aufweist:

(i) E\subset\mathbb{R}\times M ist offen

(ii) \Phi\colon E\to M ist stetig

(iii) Für alle x\in M gilt 0\in I(x) und \Phi(0,x)=x

(iv) Für alle x\in M und  für alle t\in I(x) und s\in I(\Phi(t,x)) gilt s+t\in I(x) und \Phi(s,\Phi(t,x))=\Phi(s+t,x).


Jetzt die zu beweisende Aussage:

Sei \Phi ein Fluss auf einem topologischen Raum M. Seien x\in M und t\in I(x). Zeige, dass I(\Phi(t,x))=I(x)-t.

Hier ist ein Beweis, den ich in einem Buch gefunden habe:

Nach dem (iv) Flussaxiom gilt für jedes s\in I(\Phi(t,x)), dass s+t\in I(x), also gilt s\in I(x)-t, d.h. es gilt
\displaystyle I(\Phi(t,x))\subset I(x)-t. (*)

Also gilt I_+(\Phi(t,x))\leqslant I_+(x)-t. Angenommen, dass I_+(\Phi(t,x)).

Man wähle eine Folge (t_n)_n\subset I(\Phi(t,x)) mit \lim_n t_n=I_+(\Phi(t,x)) und definiere
\displaystyle x_n:=\Phi(t_n+t,x)~\forall n\in\mathbb{N}.
Da \Phi stetig ist, konvergiert die Folge (x_n)_n. Zudem folgt aus (*), dass
\displaystyle I_+(x_n)\leqslant I_+(\Phi(t,x))-t_n~\forall n\in\mathbb{N}.~~(++)
Wegen Flussaxiom (iv) muss 0\in I(x) für alle x\in M gelten, sodass folgt, dass
\displaystyle 0
Zudem ist die Funktion I_+\colon M\to (0,\infty] unterhalbstetig, sodass aus (++) folgt, dass
\displaystyle 0

Das ist ein Widerspruch, also muss I_+(\Phi(t,x))=I_+(x)-t gelten.

Analog zeigt man, dass I_-(\Phi(t,x))=I_-(x)-t.


----
Ich verstehe einige Dinge an diesem Beweis leider nicht.

1.) Wo genau benutzt der Beweis die Annahme. dass I_+(\Phi(t,x))?

2.) Was hat es mit den beiden Folgen (t_n)_n und (x_n)_n auf sich? Ich verstehe nicht, wieso man z.B. die Folge (x_n) gerade so definiert.



Wenn mir das jemand erklären könnte, wäre es nett.


MfG

Wie gesagt, ich würde gerne diesen Beweis verstehen, hauptsächlich scheitert das bis jetzt an den beiden Frage, die ich gestellt habe.
        
Bezug
Fluß auf tpologischem Raum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 09.05.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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