Fluss durch Zylinder < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Sa 01.05.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | | Gegeben ist das Verktorfeld [mm] \vec{E}(\vec{r})=\alpha*\vektor{xz \\ yz \\-z^2} (\alpha=const.) [/mm] Berechne mithilfe der Flächenelemente den Fluss des Vektorfeldes durch die Mantelfläche und die Deckflächen eines Zylinders (Höhe H, Radius R, z-Achse=Symmetrieachse, Koordinatenursprung in Grundfläche). |
Nabend!
Ich habe die Flächenelemente noch hinbekommen:
Mantel: [mm] d\vec{a}=R*\vec{e}_{\delta}*d\phi [/mm] dz
Deckflächen: [mm] d\vec{a}= [/mm] R* [mm] \vec{e}_z*d\phi [/mm] dz
Den Fluss berechnet man ja über [mm] \integral_{S}^{}{\vec{E}(\vec{r}) d\vec{a}}.
[/mm]
Ich komme aber leider nicht dahinter, wie das mit dem Ausrechnen genau geht...
Beim Fluss eines Zentralfeldes [mm] \vec{f}(\vec{r}) [/mm] durch eine Kugeloberfläche, hatten wir
[mm] \integral_{S}^{}{\vec{F}(\vec{r}) d\vec{a}}=\integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{0}^{\pi}{f(R)*\vec{e}_r*R*sin(\theta) d\theta d\phi*\vec{e}_r}
[/mm]
[mm] =R^2*f(R)*\integral_{0}^{2\pi}{}(\integral_{0}^{\pi}{sin(\theta) d\theta}) d\phi
[/mm]
[mm] =4\pi*r^2*f(R)
[/mm]
Wo sind da die [mm] \vec{e}_r [/mm] ´s geblieben?
Und wie mache ich das dann bei meiner Aufgabe, wo ich doch den Vektor [mm] \vektor{xz \\ yz \\-z^2} [/mm] habe?
Es wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte!!!!!
Viele Grüße mathiko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 So 02.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da steht das Skalarprodukt von [mm] \vec{f} d\vec{a} [/mm] das musst du bilden. bei der Kugel hattest du einfach [mm] \vec{e}_r*\vec{e}_r=1 [/mm]
deine Deckflaeche ist noch falsch,du hast doch nur als grenze R nicht fuer da und in z Richtung geht der Flaechenvektor, aber nicht dz das waer ja die Dicke des Deckels
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mo 03.05.2010 | | Autor: | mathiko |
Hi,
das kann ich nachvollziehen: [mm] \delta\not=R, [/mm] da die Fläche ja innerhalb des Radius liegt.
Und kein dz, da ich ja sonst ein Volumen hätte.
Für den Fluss habe ich zunächst [mm] \vektor{xz \\ yz \\ -z^2} [/mm] transformiert: [mm] \vektor{R cos(\phi)z \\ R sin(\phi)z \\ -z^2}
[/mm]
Beim Mantel bekomme ich für den Fluss:
[mm] \integral_{S}^{}{\vec{E}(\vec{r}) d\vec{a}}=
[/mm]
[mm] R*\integral_{0}^{2\pi}{ d\phi}*\integral_{0}^{H}{ dz}(\vec{e}_{\delta}*\alpha*\vektor{R cos(\phi)z \\ R sin(\phi)z \\ -z^2})=
[/mm]
[mm] R^2\alpha*\integral_{0}^{2\pi}{ d\phi}*\integral_{0}^{H}{ dz}(cos^2(\phi)*z+sin^2(\phi)*z) [/mm] =
[mm] 0,5R^2\alpha*\integral_{0}^{2\pi}{ d\phi}((cos^2(\phi)H^2+sin^2(\phi)H^2)=
[/mm]
[mm] 0,5R^2\alpha*[0,5H^2*(\phi+cos(\phi)*sin(\phi))+0,5H^2(\phi-cos(\phi)*sin(\phi))]^{2\pi}_0 [/mm] =
[mm] \bruch{1}{4}R^2*H^2\alpha*[2\phi]^{2\pi}_0=R^2*H^2*\alpha*\pi
[/mm]
Ist das so richtig?
Oder hätte ich nicht transformieren dürfen???
Viele Grüße mathiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Mo 03.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi,
> das kann ich nachvollziehen: [mm]\delta\not=R,[/mm] da die Fläche
> ja innerhalb des Radius liegt.
> Und kein dz, da ich ja sonst ein Volumen hätte.
>
> Für den Fluss habe ich zunächst [mm]\vektor{xz \\ yz \\ -z^2}[/mm]
> transformiert: [mm]\vektor{R cos(\phi)z \\ R sin(\phi)z \\ -z^2}[/mm]
>
> Beim Mantel bekomme ich für den Fluss:
>
> [mm]\integral_{S}^{}{\vec{E}(\vec{r}) d\vec{a}}=[/mm]
>
> [mm]R*\integral_{0}^{2\pi}{ d\phi}*\integral_{0}^{H}{ dz}(\vec{e}_{\delta}*\alpha*\vektor{R cos(\phi)z \\ R sin(\phi)z \\ -z^2})=[/mm]
>
> [mm]R^2\alpha*\integral_{0}^{2\pi}{ d\phi}*\integral_{0}^{H}{ dz}(cos^2(\phi)*z+sin^2(\phi)*z)[/mm]
> =
> [mm]0,5R^2\alpha*\integral_{0}^{2\pi}{ d\phi}((cos^2(\phi)H^2+sin^2(\phi)H^2)=[/mm]
bis hier kann ich dir folgen, d.h. richtig. was du im nächsten Schritt gemacht hast kapier ich nicht.
woher kommt das [mm] 0.5*(\phi+cos(\phi)*sin(\phi))
[/mm]
warum nicht [mm] co^2(\Phi)+sin^2(\Phi)=1 [/mm] ? und [mm] H^2 [/mm] rausziehen, bleibt nur [mm] d\phi [/mm] zu integrieren, das gibt [mm] 2\pi.
[/mm]
im übrigen ist dein Vorgehen aber richtig
> [mm]0,5R^2\alpha*[0,5H^2*(\phi+cos(\phi)*sin(\phi))+0,5H^2(\phi-cos(\phi)*sin(\phi))]^{2\pi}_0[/mm]
> =
>
> [mm]\bruch{1}{4}R^2*H^2\alpha*[2\phi]^{2\pi}_0=R^2*H^2*\alpha*\pi[/mm]
>
> Ist das so richtig?
> Oder hätte ich nicht transformieren dürfen???
doch, das sollst du, aber du hast den Fluss nicht allgemein transformiert, sondern nur für r=R, (was ja auf dem Mantel stimmt) in dem Sinne wär es besser E(R) zu schreiben, als allgemein E(r)
Gruss leduart
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