Fluss eines Vektorfeldes < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Fluß des Vektorfeldes [mm] \(F(x,y,z) [/mm] = [mm] \left( \begin{array}{c}x^3\\x^4y^4\\z\end{array} \right) \) [/mm] durch die Paraboloidfläche [mm] \(z [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2, [/mm] 0 [mm] \leq [/mm] x [mm] \leq [/mm] 2, 0 [mm] \leq [/mm] y [mm] \leq 3\) [/mm] . |
Hallo,
ich soll die oben genannte Aufgabe lösen. Ich versteh leider nicht, zwischen welchen Grenzen ich am Ende integrieren soll. Meine Rechnung soweit:
Laut Vorlesung gilt [mm] $\int\int_S F(x,y,z)\cdot \nu d\sigma\ [/mm] = [mm] \int\int_S [/mm] F(x,y,z) [mm] \cdot \nu \cdot \sqrt{EG-F^2} \text{d}(s,t)$. [/mm] Ich habe Zylinderkoordinaten verwendet. Die Parmetrisierung und die Tangentenvektoren sehen dann so aus:
[mm] \(\gamma [/mm] = [mm] \left( \begin{array}{c}s\cdot \cos t\\s\cdot \sin t\\s^2\end{array} \right)\) [/mm]
[mm] \(\gamma_s [/mm] = [mm] \left( \begin{array}{c}\cos t\\\sin t\\2s\end{array} \right)\)
[/mm]
[mm] \(\gamma_t [/mm] = [mm] \left( \begin{array}{c} -s\cdot \sin t\\s\cdot \cos t\\0\end{array} \right)\)
[/mm]
Für den Normalenvektor habe ich dann das folgende raus:
[mm] \(\gamma_s \times \gamma_t [/mm] = [mm] \left( \begin{array}{c}-2s^2\cdot \cos t\\-2s^2\cdot\sin t\\s\end{array} \right)\)
[/mm]
[mm] \(\vert\vert\gamma_s \times \gamma_t \vert\vert=\ s\cdot\sqrt{1+4s^2}\)
[/mm]
[mm] \(\nu [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1 + 4s^2}} \cdot \left( \begin{array}{c}-2\cos t\\-2s\sin t\\0\end{array} \right)\)
[/mm]
Dann fehlt noch der Term [mm] \(\sqrt{EG-F^2}\):
[/mm]
[mm] \(E [/mm] = [mm] \vert\vert\gamma_s\vert\vert^2, [/mm] G = [mm] \vert\vert\gamma_t\vert\vert^2, [/mm] F = [mm] \gamma_s\cdot \gamma_t \)
[/mm]
Für die Wurzel bekomme ich dann [mm] \(s \sqrt{1+4s^2}\).
[/mm]
Für das gesamte Integral hab ich dann:
[mm] \(\int\int_S \left( \begin{array}{c}s^3\cdot \cos^3 t\\s^4\cdot \sin^4 t\cdot s^4\cdot \cos^4 t\\s^2\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c}-2s\cdot \cos t\\-2s\cdot \sin t\\0\end{array} \right) \text{d}(s,t)\)
[/mm]
Bei t vermute ich mal, dass ich von 0 bis [mm] 2\(\Pi\) [/mm] integriere. Bei s verstehe ich es aber nicht. Das [mm] \(0 \leq [/mm] x [mm] \leq [/mm] 2, 0 [mm] \leq [/mm] y [mm] \leq 3\) [/mm] verwirrt mich total. Kann mir da einer helfen?
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> Berechnen Sie den Fluß des Vektorfeldes [mm]\(F(x,y,z)[/mm] =
> [mm]\left( \begin{array}{c}x^3\\x^4y^4\\z\end{array} \right) \)[/mm]
> durch die Paraboloidfläche [mm]\(z[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2,[/mm] 0 [mm]\leq[/mm] x [mm]\leq[/mm]
> 2, 0 [mm]\leq[/mm] y [mm]\leq 3\)[/mm] .
> Hallo,
> ich soll die oben genannte Aufgabe lösen. Ich versteh
> leider nicht, zwischen welchen Grenzen ich am Ende
> integrieren soll. Meine Rechnung soweit:
>
> Laut Vorlesung gilt [mm]\int\int_S F(x,y,z)\cdot \nu d\sigma\ = \int\int_S F(x,y,z) \cdot \nu \cdot \sqrt{EG-F^2} \text{d}(s,t)[/mm].
> Ich habe Zylinderkoordinaten verwendet. Die Parmetrisierung
> und die Tangentenvektoren sehen dann so aus:
> [mm]\(\gamma[/mm] = [mm]\left( \begin{array}{c}s\cdot \cos t\\s\cdot \sin t\\s^2\end{array} \right)\)[/mm]
> [mm]\(\gamma_s[/mm] = [mm]\left( \begin{array}{c}\cos t\\\sin t\\2s\end{array} \right)\)[/mm]
>
> [mm]\(\gamma_t[/mm] = [mm]\left( \begin{array}{c} -s\cdot \sin t\\s\cdot \cos t\\0\end{array} \right)\)[/mm]
>
> Für den Normalenvektor habe ich dann das folgende raus:
> [mm]\(\gamma_s \times \gamma_t[/mm] = [mm]\left( \begin{array}{c}-2s^2\cdot \cos t\\-2s^2\cdot\sin t\\s\end{array} \right)\)[/mm]
>
> [mm]\(\vert\vert\gamma_s \times \gamma_t \vert\vert=\ s\cdot\sqrt{1+4s^2}\)[/mm]
>
> [mm]\(\nu[/mm] = [mm]\frac{1}{\sqrt{1 + 4s^2}} \cdot \left( \begin{array}{c}-2\cos t\\-2s\sin t\\0\end{array} \right)\)[/mm]
>
> Dann fehlt noch der Term [mm]\(\sqrt{EG-F^2}\):[/mm]
> [mm]\(E[/mm] = [mm]\vert\vert\gamma_s\vert\vert^2,[/mm] G =
> [mm]\vert\vert\gamma_t\vert\vert^2,[/mm] F = [mm]\gamma_s\cdot \gamma_t \)[/mm]
>
> Für die Wurzel bekomme ich dann [mm]\(s \sqrt{1+4s^2}\).[/mm]
>
> Für das gesamte Integral hab ich dann:
> [mm]\(\int\int_S \left( \begin{array}{c}s^3\cdot \cos^3 t\\s^4\cdot \sin^4 t\cdot s^4\cdot \cos^4 t\\s^2\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c}-2s\cdot \cos t\\-2s\cdot \sin t\\0\end{array} \right) \text{d}(s,t)\)[/mm]
>
> Bei t vermute ich mal, dass ich von 0 bis [mm]2\(\Pi\)[/mm]
> integriere. Bei s verstehe ich es aber nicht. Das [mm]\(0 \leq[/mm]
> x [mm]\leq[/mm] 2, 0 [mm]\leq[/mm] y [mm]\leq 3\)[/mm] verwirrt mich total. Kann mir
> da einer helfen?
Hallo schokoschnecke,
ich befürchte einfach, dass die Idee mit den Zylinderkoordinaten
in diesem Fall nicht wirklich hilfreich ist, da zwar die Fläche, über
welche integriert werden soll, zylindersymmetrisch ist, aber das
Integrationsgebiet überhaupt nicht.
Eine Darstellung der Berandung in Zylinderkoordinaten wäre zwar
möglich, aber der Gesamtaufwand für die Lösung der Aufgabe
würde damit eher größer.
Versuche die Aufgabe also einfach mit den "gewöhnlichen" recht-
winkligen Koordinaten zu bearbeiten !
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 So 03.12.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
Forenregeln: gib an, wenn du auch in anderen Foren dieselbe Frage sollst!
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 So 03.12.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo leduart,
auch obige Antwort wäre besser eine Mitteilung gewesen. Ich weiß um die Problematik der Cross-Postings und die dahingehende Forenregel. Immerhin gibt es jedoch (wie hier offenbar geschehen*) auch User, die sich daran nicht stören, dass die Frage bereits in einem anderen Forum gestellt wurde.
Die Gefahr ist also auch hier, dass man eine offene Frage als solche unkenntlich macht.
Gruß, Diophant
*Auch mich stört so etwas prinzipiell nicht und ich möchte gerne anregen, die entsprechende Forenregel zu streichen.
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> Hallo leduart,
>
> auch obige Antwort wäre besser eine Mitteilung gewesen.
Hallo Diophant
Habe wenigstens ich hier in diesem Thread meine beiden
Beiträge einmal (nach deiner Einschätzung) richtig etikettiert
(eine Mitteilung betr. Koordinatensystem, nachher eine
Antwort, in der ich die eigentliche Frage betr. die -
nach meiner Einschätzung allerdings ungeeignete -
Parametrisierung eines Rechtecksgebietes durch Polar-
koordinaten beantworte ?
LG , Al-Chw.
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Hallo nochmal,
falls du das Integrationsgebiet, also das Rechteck
mit 0≤x≤2 und 0≤y≤3 tatsächlich mittels Polar-
koordinaten (Radius s, Winkel t) beschreiben willst,
geht das schon. Ich habe es mir mal kurz überlegt.
Das sähe dann so aus:
erstes Teil-Integral (für 0 ≤ t ≤ [mm] arctan(\frac{3}{2}) [/mm] )
mit 0 ≤ s ≤ [mm] \frac{2}{cos(t)} [/mm]
zweites Teil-Integral (für [mm] arctan(\frac{3}{2}) [/mm] ≤ t ≤ [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] )
mit 0 ≤ s ≤ [mm] \frac{3}{sin(t)} [/mm]
Ich stelle mir nur vor (wie vorher schon mitgeteilt),
dass die ganze Rechnerei dann ziemlich mühsam
(und damit auch fehleranfällig) werden könnte.
LG , Al-Chw.
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