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| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] \integral_{S}^{}{\overrightarrow{v}*\overrightarrow{n}dS} [/mm] in den folgenden Fällen für das nach außen zeigende Einheitsnormalenfeld [mm] \overrightarrow{n}:
[/mm]
a) [mm] \overrightarrow{v}=\vektor{x \\ -y \\ z} [/mm] und S = {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}|x^{2}+y^{2}=z, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Community,
ich weiß leider nur wie ich obenstehende Aufgabe mit Gauß löse. Sprich [mm] \integral_{V}^{}{div(\overrightarrow{v})dV}. [/mm] Doch ich denke so ist die Aufgabenstellung nicht gemeint.
Oder geht es so?!?:
Den Normalenvektor bestimmen indem man in [mm] \overrightarrow{v}=\vektor{x \\ -y \\ z} [/mm] für z = [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] einsetzt und dann einmal nach x und einmal nach y ableitet. Dann Kreuzprodukt und normieren. Doch was dann? Parametrisieren mit [mm] x=\wurzel{z}cos(\alpha), y=\wurzel{z}sin(\alpha) [/mm] und z=z und dann das ganze über [mm] \alpha [/mm] und z integrieren?
Über Anregungen wäre ich sehr dankbar.
MfG Leon
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Hallo!
Naja, die gegebene Figur ist kein Volumen, sondern eine Fläche. Du kannst die Fläche sicher zu einem Volumen schließen, indem du z.B. einen Deckel hinzu fügst. Allerdings mußt du dann auch den Fluß durch den Deckel berechnen, und diesen Wert von dem Volumenintegral abziehen, um auf den Fluß durch die gegebene Fläche zu kommen. Daher sollte das direkte Flächenintegral besser sein.
> Oder geht es so?!?:
> Den Normalenvektor bestimmen indem man in
> [mm]\overrightarrow{v}=\vektor{x \\ -y \\ z}[/mm] für z =
> [mm]x^{2}+y^{2}[/mm] einsetzt und dann einmal nach x und einmal nach
> y ableitet. Dann Kreuzprodukt und normieren. Doch was dann?
Nein, da mußt du vorsichtiger sein. Die Parametrisierung der Fläche ist [mm] s=\vektor{x\\y\\x^2+y^2} [/mm] . Gehst du auf der x-Achse einen Schritt dx, gehst du auf der Fläche ein Stück [mm] \frac{ds}{dx}*dx=\vektor{1\\0\\2x}dx [/mm] und entsprechendes für y . Davon mußt du das Kreuzprodukt bilden, um die Flächennormale zu bekommen. Und: Auf keinen Fall normieren, denn die Länge gibt die die Größe des Flächenstücks, bzw. die Skalierung gegenüber dem Flächenstück dx*dy an!
Danach kannst du das Skalarprodukt mit [mm] \vec{v} [/mm] bilden, und dann ggf. durch den Übergang zu Polarkoordinaten integrieren.
Aber ich gebe dir noch einen andern Hinweis: Wie sieht denn das Feld [mm] \vec{v} [/mm] im zweidimensionalen, ohne z-Komponente aus? Das weist eine gewisse Symmetrie auf, die dafür sorgt, daß x und y keinen EInfluß auf den Fluß haben. Nur z spielt eine Rolle.
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Guten Abend Event_Horizon,
vielen Dank erstmal für deine Antwort. Hat mir bereits sehr geholfen!
An den abzuziehenden "Deckel" hab ich nicht gedacht!
Eins verstehe ich noch nicht:
Es soll ja das Integral für das Einheitsnormalenfeld [mm] \overrightarrow{n} [/mm] bestimmen.
Was bedeutet denn der Begriff "Einheit" hier? (Wegen dem Begriff dachte ich ans normieren)
Was ist der Unterschied zu dem Normalenfeld?
EDIT:
Also ich komme auf folgende Ergebnisse:
[mm] \overrightarrow{n}:\vektor{2x\\-2y\\-1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{v}*\overrightarrow{n}=2x^{2}+2y^{2}-z
[/mm]
Parametrisierung mit r = [mm] \wurzel{z} [/mm] und somit
x = [mm] \wurzel{z}*cos(\alpha)
[/mm]
y = [mm] \wurzel{z}*sin(\alpha)
[/mm]
Mit Funktionaldeterminante r also [mm] \wurzel{z}.
[/mm]
Somit nurnoch das Integral über [mm] z^{\bruch{3}{2}} [/mm] lösen.
Soweit richtig?!
[mm] \bruch{4\pi}{5} [/mm] käme raus.
Vielen Dank nochmal
Leon
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Hallo!
Nun stolpere ich auch etwas über den Begriff. Wenn man mal Wiki um Rat fragt (http://de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor), ist ein Normalenvektor einer, der senkrecht zur Fläche steht, und ein Einheitsnormalenvektor einer, der auch noch die Länge 1 besitzt.
Aber wenn du eine Fläche aufgespannt von [mm] \vektor{0\\2\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\2} [/mm] hast, durch die das Feld [mm] \vektor{5\\0\\0} [/mm] strömt, kannst du sofort sagen, daß die Fläche die Größe 4 hat, das Feld senkrecht steht, und der Fluß daher 20 ist. Der Normalenvektor ist [mm] \vektor{0\\2\\0}\times\vektor{0\\0\\2}=\vektor{4\\0\\0} [/mm] , der Fluß daher [mm] \vektor{4\\0\\0}*\vektor{5\\0\\0}=20
[/mm]
Normieren wäre hier also fatal, es sei denn, die Größe der Fläche wird anders berücksichtigt.
Aber das alles hat seine Richtigkeit:
Die Aufgabe sagt: [mm] \int_S\vec{v}\vec{n}\,dS [/mm] Hier ist dS ein infinitesimal kleines Flächenstück, das eine Angabe über seine Größe mit bringt (Denke hier beispielsweise an Polarkoordinaten: [mm] $dA=r\,d r\,d\phi$ [/mm] ). Das heißt, hier ist [mm] \vec{n} [/mm] tatsächlich ein Einheitsnormalenvektor.
Dein [mm] \vektor{1\\0\\2x}\times\vektor{0\\1\\2y}\,dx\,dy [/mm] bringt nun auch seine eigene Größe mit, und ist gleichzeitig auch noch der Normalenvektor. Du kannst natürlich
[mm] \vec{n}\left|\vektor{1\\0\\2x}\times\vektor{0\\1\\2y}\right|\,dx\,dy= \frac{\vektor{1\\0\\2x}\times\vektor{0\\1\\2y}}{\left|\vektor{1\\0\\2x}\times\vektor{0\\1\\2y}\right|}\left|\vektor{1\\0\\2x}\times\vektor{0\\1\\2y}\right|\,dx\,dy
[/mm]
explizit ausrechnen, aber zumindest ich hab Sonntags was anders vor 
Ich hab deine Rechnung zum Ergebnis nicht nachgerechnet, aber im Prinzip sieht das gut aus - bis auf eine Sache: Die Aufgabe spricht von einem nach außen gerichteten Einheitsfeld. Bei dieser Rotationsparabel hieße das, daß die Normalenvektoren alle eine negative z-Komponente haben. Und weil das Feld als z-Komponente +z enthält, sollte das Ergebnis negativ sein. (du hast die Normalenvektoren falsch rum betrachtet, das macht nur ein falsches Vorzeichen im Ergebnis)
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Vielen Dank Event_Horizon!
Alles schlüssig! :)
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| Aufgabe | | b) [mm] \vec{v}=\vektor{x\\0\\z} [/mm] und [mm] S={(x,y,z)\in\IR^{3}|z=x^{2},0\le x\le 1,0\le y \le 1} [/mm] |
verläuft hier das Vektorfeld nicht genau wie die Fläche?
Fluss wäre also 0 ?
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Hallo!
Um es kurz zu machen: Nein.
Geh wie oben vor. Du solltest ja merken, daß bei der Ableitung eine 2 in den Vektor rein kommt, und damit unterscheidet sich das.
Oder anders: Das Feld zeigt in der xz-Ebene immer vom Ursprung weg. die Oberfläche sieht in der Ebene wie eine Parabel aus. Dann passt deine Aussage also nicht.
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Stimmt totaler Quatsch!
-> Parametrisierung: [mm] \vec{x}=\vektor{x\\y\\x^{2}}
[/mm]
nach [mm] \partial x:\vektor{y\\0\\2x}
[/mm]
nach [mm] \partial y:\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Somit [mm] \vec{n}=\vektor{-2x\\0\\1}
[/mm]
bzw. den Normalenvektor noch umdrehen.
und dann ist das Integral: [mm] \integral_{x,y}{x^{2}dxdy}
[/mm]
Danke das du soviel Zeit für mich hast! Kriege schon ein schlechtes Gewissen!
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Hallo!
Ein Danke hören wir natürlich immer gern.
Aber du brauchst kein schlechtes Gewissen haben.
Genau für solche Unklarheiten ist das Forum ja da!
Und sooo viel Zeit ist dafür nun auch nicht drauf gegangen. Da gibt es ganz andere Fragen, die sehr viel mehr Zeit verschlingen. Aber auch das ist doch OK, wenn der Fragesteller dadurch weiter kommt.
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