Flussintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:38 Do 29.01.2009 | | Autor: | snp_Drake |
| Aufgabe | | Berechnen sie den elektrischen Fluss einer Punktladung durch die Kugeloberfläche vom Radius R, in deren Zentrum die Punktladung liegt. Wie hängt der Fluss von R ab? |
Der Fluss ist gegeben mit
[mm] \psi=\integral_{A}^{}{\vec{V}(x,y,z) dA}
[/mm]
[mm] \vec{E} [/mm] ist definiert mit
[mm] \vec{E}=\bruch{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}*r^{2}}*\vektor{x \\ y \\ 0}, [/mm] mit [mm] r^{2}=x^{2}+y^{2}
[/mm]
Die Parametrisierung ist:
[mm] \vec{F}_{R}(\phi,\gamma)=\vektor{Rsin(\gamma)cos(\phi) \\ Rsin(\gamma)sin(\phi) \\ Rcos(\gamma)}
[/mm]
[mm] (\phi, \gamma)\in [/mm] B= [mm] [0,\pi]x[0,2\pi]
[/mm]
die Berechnung mit Parametrisierung ist jetzt also
[mm] \psi=\integral_{B}^{}{\integral_{}^{}{det(\vec{E}(\vec{F}_{R}(\phi, \gamma)),\bruch{d\vec{F}_{R}}{d\gamma} , \bruch{d\vec{F}_{R}}{d\phi}) d\gamma} d\phi}
[/mm]
Die Grenzen einsetzen und die Matrix aufstellen (bei [mm] \vec{E}(\vec{F}_{R}) [/mm] kürzt sich ein R mit dem Vorfaktor weg, aus den beiden anderen Spalten kommt jeweils auch noch ein R, sodass ein R übrig bleibt):
[mm] \psi=\bruch{\lambda*R}{2\pi\epsilon_{0}}*\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\pi}{det\pmat{ sin(\gamma)cos(\phi) & cos(\gamma)cos(\phi) & -sin(\gamma)(sin(\phi) \\ sin(\gamma)sin(\phi) & cos(\gamma)(sin(\phi) & sin(\gamma)cos(\phi) \\ 0 & -sin(\gamma) & 0 } d\gamma} d\phi}
[/mm]
Hab die Determinante mal ausgerechnet:
[mm] det=sin^{3}(\gamma) [/mm] Das Ergebnis sollte richtig sein, wurde so in der Vorlesung vorgerechnet.
[mm] \phi=\bruch{R*\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}*2\pi*\integral_{0}^{\pi}{sin^{3}(\gamma) d\gamma}=\bruch{R*\lambda}{\epsilon_{0}}*(-cos(\gamma)+\bruch{1}{3}cos^{3}(\gamma))|_{0}^{\pi}=\bruch{R*\lambda}{\epsilon_{0}}*\bruch{4}{3}
[/mm]
Ist der Rechenweg so richtig?
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> Berechnen sie den elektrischen Fluss einer Punktladung
> durch die Kugeloberfläche vom Radius R, in deren Zentrum
> die Punktladung liegt. Wie hängt der Fluss von R ab?
Hallo,
ich habe deine Rechnungen nur ganz grob angeschaut
und frage mich nur, ob dies alles nicht viel einfacher
ginge. Das elektrische Feld einer isolierten Punktladung
ist doch total kugelsymmetrisch und radial. Nach meiner
Ansicht sollte man ganz ohne Integrale auskommen
und der Fluss durch die Sphäre mit dem Radius R
ist einfach = Oberfläche der Sphäre [mm] $\times$ [/mm] Betrag des Feldes
in einem der Punkte auf der Sphäre.
Weil die Kugeloberfläche proportional zu [mm] R^2 [/mm] und das Feld
proportional zu [mm] \bruch{1}{R^2} [/mm] ist, muss der Fluss durch die
Sphäre konstant, also unabhängig von R sein.
... oder habe ich da etwas falsch verstanden ?
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Do 29.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Weil die Kugeloberfläche proportional zu [mm]R^2[/mm] und das Feld
> proportional zu [mm]\bruch{1}{R^2}[/mm] ist, muss der Fluss durch
> die
> Sphäre konstant, also unabhängig von R sein.
>
> ... oder habe ich da etwas falsch verstanden ?
Überhaupt nicht. Das Ganze geht auch mit einem physikalischen statt einem mathematischen Argument: Da sich zwischen zwei Sphären mit unterschiedlichen Radien keine Ladung befindet, muss der Fluss durch beide Sphären gleich groß sein.
Viele Grüße
Rainer
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Ok, du sagst ja, dass man die Rechnung ohne Integrale lösen kann, weil das elektrische Feld Kugelsymmetrisch ist.
Der Betrag |E| ist definiert als [mm] |E|=\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}*R^{2}}
[/mm]
demnach wäre der Fluss also
[mm] \bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}*R^{2}}*4\piR^2=\bruch{Q}{\epsilon_{0}} [/mm]
seh ich das richtig?
Ich seh grad, dass ich die ganzen Rechnungen mit dem falschen elektrischen Feld gerechnet hab, die Rechnungen sind also schonma falsch.
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> Ok, du sagst ja, dass man die Rechnung ohne Integrale lösen
> kann, weil das elektrische Feld Kugelsymmetrisch ist.
>
> Der Betrag |E| ist definiert als
> [mm]|E|=\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}*R^{2}}[/mm]
>
> demnach wäre der Fluss also
>
> [mm]\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}*R^{2}}*\red{4\piR^2}=\bruch{Q}{\epsilon_{0}}[/mm]
sollte wohl heißen:
> [mm]\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}*R^{2}}*\blue{4\pi R^2}=\bruch{Q}{\epsilon_{0}}[/mm]
(es fehlte nur ein Abstand in TeX)
> seh ich das richtig?
ich denke, Ja.
> Ich seh grad, dass ich die ganzen Rechnungen mit dem
> falschen elektrischen Feld gerechnet hab, die Rechnungen
> sind also schonma falsch.
Das habe ich nachträglich auch gemerkt. Mit dem richtigen
Feld sollte die Integration in Kugelkoordinaten eigentlich
recht einfach werden, da wesentlich nur die Integration
über r übrigbleibt.
Gruß Al-Chw.
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> Das habe ich nachträglich auch gemerkt. Mit dem richtigen
> Feld sollte die Integration in Kugelkoordinaten
> eigentlich
> recht einfach werden, da wesentlich nur die Integration
> über r übrigbleibt.
>
Ne, so ist das nicht, da R hier ja konstant sein sollte.
Ich hab mir das nochmal angeguckt:
$ [mm] \psi=\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\pi}{det\pmat{ 1 & cos(\gamma)cos(\phi) & -sin(\gamma)(sin(\phi) \\ 1 & cos(\gamma)(sin(\phi) & sin(\gamma)cos(\phi) \\ 0 & -sin(\gamma) & 0 } d\gamma} d\phi} [/mm] $
[mm] \psi=\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}}*\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\pi}det({sin(\gamma)*\pmat{ 1 & -sin(\gamma)sin(\psi) \\ 1 & sin(\gamma)cos(\phi) })d\gamma} d\phi}
[/mm]
[mm] =>\psi=\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}}*\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\pi}{sin^{2}(\gamma)*(cos(\phi)+sin(\phi))d\gamma} d\phi}
[/mm]
[mm] =>\psi=\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}}*\integral_{0}^{\pi}{sin^{2}(\gamma)d\gamma}*\integral_{0}^{2\pi}{cos(\phi)+sin(\phi)d\phi}
[/mm]
=0
Jetzt erstaunt mich doch einigermaßen, dass da 0 rauskommt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Sa 31.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]=>\psi=\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}}*\integral_{0}^{\pi}{sin^{2}(\gamma)d\gamma}*\integral_{0}^{2\pi}{cos(\phi)+sin(\phi)d\phi} =0[/mm]
>
> Jetzt erstaunt mich doch einigermaßen, dass da 0
> rauskommt...
Das innere Integral ist 0. Was ist der Sinus oder der Cosinus, integriert über eine Periode?
Viele Grüße
Rainer
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>
> Das innere Integral ist 0. Was ist der Sinus oder der
> Cosinus, integriert über eine Periode?
>
> Viele Grüße
> Rainer
Naja, das Integral von Cosinus oder Sinus über eine komplette Periode (0 bis [mm] 2\pi) [/mm] ist Null und damit ist das gesamte Produkt 0. Aber sollte da nicht irgendein Wert rauskommen?> Hallo!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 31.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> >
> > Das innere Integral ist 0. Was ist der Sinus oder der
> > Cosinus, integriert über eine Periode?
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Naja, das Integral von Cosinus oder Sinus über eine
> komplette Periode (0 bis [mm]2\pi)[/mm] ist Null und damit ist das
> gesamte Produkt 0. Aber sollte da nicht irgendein Wert
> rauskommen?
Du hast ein [mm] $\vec{E}$-Feld [/mm] der Form [mm] $\bruch{a}{r^2}\vecktor{1\\1\\0}$ [/mm] angenommen, das nur vom Radius, aber nicht vom Winkel abhängt, das heisst, es ist auf einer Kugelschale konstant. Also heben sich die Anteile diametral gegenüberliegender Punkte weg.
Es ist nur nicht das Feld, das du in deinem ersten Post angegeben hast.
Viele Grüße
Rainer
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> Du hast ein [mm]\vec{E}[/mm]-Feld der Form
> [mm]\bruch{a}{r^2}\vektor{1\\1\\0}[/mm] angenommen, das nur vom
> Radius, aber nicht vom Winkel abhängt, das heisst, es ist
> auf einer Kugelschale konstant. Also heben sich die Anteile
> diametral gegenüberliegender Punkte weg.
>
> Es ist nur nicht das Feld, das du in deinem ersten Post
> angegeben hast.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Ja, das es nicht das Feld ist, was ich im ersten posting angegeben habe, ist mir inzwischen klar. ich habe jetzt mit [mm] \vec{E}=\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}} [/mm] gerechnet.
Bei den Rechungen habe ich dann 0 raus bekommen, ist das jetzt also richtig? Kommt mir seltsam vor, weil doch der elektrische Fluss jeweils vom Zentrum nach außen weggeht, also komplett von innen nach außen strömt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Sa 31.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Du hast ein [mm]\vec{E}[/mm]-Feld der Form
> > [mm]\bruch{a}{r^2}\vektor{1\\1\\0}[/mm] angenommen, das nur vom
> > Radius, aber nicht vom Winkel abhängt, das heisst, es ist
> > auf einer Kugelschale konstant. Also heben sich die Anteile
> > diametral gegenüberliegender Punkte weg.
> >
> > Es ist nur nicht das Feld, das du in deinem ersten Post
> > angegeben hast.
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Ja, das es nicht das Feld ist, was ich im ersten posting
> angegeben habe, ist mir inzwischen klar. ich habe jetzt mit
> [mm]\vec{E}=\bruch{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}[/mm] gerechnet.
Das ergibt keinen Sinn, denn rechts steht kein Vektor.
>
> Bei den Rechungen habe ich dann 0 raus bekommen, ist das
> jetzt also richtig? Kommt mir seltsam vor, weil doch der
> elektrische Fluss jeweils vom Zentrum nach außen weggeht,
> also komplett von innen nach außen strömt.
Das hast du aber nicht angenommen: dein Feld [mm]\bruch{a}{r^2}\vektor{1\\1\\0}[/mm] strömt nicht von innen nach außen: die Richtung des Vektors ist konstant.
Du meinst ein Feld, dessen Richtung parallel zu [mm] $\vec{r}$ [/mm] ist, also [mm] $\vec{E} [/mm] = [mm] f(r)\vec{r}$. [/mm] Dann hängt die Determinante nicht mehr von den Winkeln ab, und dein Integral ist [mm] $4\pi$ [/mm] mal einer Funktion von [mm] $|\vec{r}|$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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hallo snp_Drake,
ich fürchte, dass deine Jacobi-Matrix so nicht stimmt ...
Gruß Al
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