Flussintegral < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Mi 30.05.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Würfel der Seitenlänge $a$ mit $0 [mm] \leq [/mm] x,y,z, [mm] \leq [/mm] a$ sowie das Vektorfeld [mm] $\vec [/mm] C = [mm] \left(2x, 3y, 0\right)$
[/mm]
Berechnen Sie den Fluss durch die Würfeloberfläche
[mm]\oint \vec C \cdot \mathrm{d}\vec f
[/mm]
i) ohne Verwendung,
ii) mit Verwendung des Gaußschen Integralsatzes. |
Ohne Verwendung des Gauß'schen Integralsatzes fällt mir lediglich dieser Bezug ein:
[mm]\Phi = \vec C \cdot \Delta \vec {A} = E \cdot \Delta A \cdot \cos\alpha
[/mm]
Desweiteren weiß ich, dass das Vektorfeld nur in der $xy$-Ebene wirkt jedoch in ganzer Höhe ($z$) auf die Seitenflächen des Würfels. Jedoch nicht auf die obere und untere Fläche dieses Würfels.
Ohne den Gauß'schen Integralsatz zu verwenden, wie müsste ich da richtigerweise beginnen?
Danke für Hilfe!
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Hallo!
Für den Würfel kannst du jederzeit einen Normalenvektor angeben, das heißt z.B. für die Fläche mit z=0:
[mm] \vec{n}=\vektor{0\\0\\-1} [/mm] (zeigt aus dem Würfel raus, wie alle anderen es auch tun müssen)
Für ein kleines Flächenstück dA=dx*dy ist der Fluss dann:
[mm] d\Phi=\vec{C}*\vec{n}*dA=\vec{C}*\vec{n}*dx\,dy
[/mm]
[mm]\Phi_{z=0}=\left. \int_{x=0}^a\int_{y=0}^a\vec{C}*\vec{n},dx\,dy\right|_{z=0}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das mußt du für alle sechs Seiten machen, mit jeweils passendem \vec{n} . Das $\left. ... \right|_{z=0}$ bedeutet, daß für dieses Integral z konstant auf 0 gehalten (und ggf in den Integranden eingesetzt) wird. Auch das ändert sich mit den sechs Flächen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 30.05.2012 | | Autor: | murmel |
Ein paar Fragen habe ich noch: wo sich das Vektorfeld befindet ist nicht egal, oder?
Befindet sich das Vektorfeld innerhalb des Würfels oder außerhalb dieses Objektes kann der Fluss doch unterschiedlich ausfallen?
Also genau im Ursprung des Würfels positioniert, wäre der Fluss doch Null, wenn man entsprechend aufsummiert, oder?
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Hallo!
Das Vektorfeld befindest sich doch erstmal überall. Was du meinst, ist sowas wie die elektrostatische Ladung, welche das Feld erzeugt. Da gilt tatsächlich, daß das Oberflächenintegral die Größe der eingeschlossenen Ladung liefert, und damit =0 ist, wenn keine Ladung innerhalb ist. (Maxwell-Gleichungen!)
In deiner Aufgabe geht das Feld von der z-Achse aus (zeigt von ihr weg), wird aber mit zunehmendem Abstand größer. Das ist nicht typisch für eine diskrete Ladungsverteilung (z.B. einen geladenen Draht auf der z-Achse), sondern hierfür müßte der ganze Raum eine nicht gleichmäßige Ladungsverteilung besitzen. Und deshalb wird dein Integral NICHT =0 sein.
Der Witz an dem Oberflächenintegral ist nebenbei, daß es völlig egal ist, wie genau die Ladung innerhalb des Volumens verteilt ist, du bekommst IMMER die Gesamtsumme raus. Und du kannst auch außerhalb beliebig Ladungen verteilen, deren Feld wird beim Oberflächenintegral immer den Wert 0 liefern.
(Und denk dran, da ist was mit konservativen Feldern und so)
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