Flussintegral von Vektorfeld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mi 21.11.2012 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Gegeben seien der Vollzylinder Z und die Vollkugel V mit
[mm] Z={(x,y,z)\in\IR^3 | x^2+y^2 \le1,0\le z\le5}
[/mm]
V [mm] ={(x,y,z)\in\IR^3 | x^2+y^2+z^2\le 4}
[/mm]
Der Rand des Körpers A:=Z [mm] \cap [/mm] V besteht aus drei glatten Flächenstücken,
dem Boden [mm] B:={(x,y,z)\in Z | z=0}
[/mm]
der Kappe [mm] K:={(x,y,z)\in Z | x^2+y^2+z^2=4}
[/mm]
und dem Mantel M. Gesucht wird das Flussintegral des Vektorfeldes
[mm] \vec(Y)(x,y,z)=(zx, [/mm] zy, [mm] z^2+1)
[/mm]
a) Berechnen Sie die Divergenz von [mm] \vec(Y) [/mm] und das Volumenintegral [mm] \integral_{A}{div \vec(Y) d(x,y,z)}.
[/mm]
b) Berechnen Sie die Flussintegrale von [mm] \vec(Y) [/mm] durch B,K und M.
c) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Satzes von Gauß |
Hallo Matheraum,
irgendwie komme ich bei o.g. Aufgabe auf kein brauchbares Ergebnis.
Die Teilaufgabe a) habe ich bereits berechnet zu:
[mm] div(\vec(Y))=4*z [/mm] und [mm] \integral_{A}{div \vec(Y) d(x,y,z)} [/mm] = 32.
Das müsste soweit eigentlich stimmen.
Nun hänge ich aber an der Teilaufgabe b).
Ich möchte nun also zunächst das Flussintegral durch den Boden B (ein einfacher Kreis in der x-y-Ebene mit dem Radius 1 um den Ursprung) bestimmen.
Hierzu habe ich die Kreisfläche parametrisiert zu:
[mm] \vec(r)(u,v)=\vektor{sin(u) \\ cos(v) \\ 0} [/mm] mit [mm] v,u\in[0,2*\pi]
[/mm]
Daraus habe ich den Normalenvektor [mm] \vec(n_b) [/mm] bestimmt zu:
[mm] \vec(n_b)=\delta_u*\vec(r) \times \delta_v*\vec(r)=\vektor{cos(u) \\ 0 \\ 0} \times \vektor{0 \\ -sin(v) \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -cos(u)*sin(v)}
[/mm]
Nun bestimme ich das Flussintegral folgendermaßen:
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{2*\pi}{ \vektor{0 \\ 0 \\ 1} * \vektor{0 \\ 0 \\ -cos(u)*sin(v)} du}dv}
[/mm]
Ich kann mir jedoch gerade nicht so wirklich vorstellen, dass das so stimmt ? Ich würde demnach ja einen Fluss von 0 haben ?
Ich bin für jede Hilfe dankbar,
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Mi 21.11.2012 | | Autor: | BamPi |
Desweiteren der Fluss durch den Mantel:
wie parametrisiere ich da mein [mm] \vec(r) [/mm] ?
Ist es etwa [mm] \vec(r)(u,v,w)=\vektor{sin(u) \\ cos(v) \\ w} [/mm] mit [mm] u,v\in[0,2*\pi] [/mm] und [mm] w\in[0,2] [/mm] ?
Wie berechne ich dann die Normale auf dem Mantel ?
Etwa
[mm] \vec(n_M)=(\delta_u \times \delta_v) \times \delta_w [/mm] ? (Was ebenfalls wieder 0 wäre)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mi 21.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Desweiteren der Fluss durch den Mantel:
>
> wie parametrisiere ich da mein [mm]\vec(r)[/mm] ?
> Ist es etwa [mm]\vec(r)(u,v,w)=\vektor{sin(u) \\ cos(v) \\ w}[/mm]
> mit [mm]u,v\in[0,2*\pi][/mm] und [mm]w\in[0,2][/mm] ?
Eine Flächenparametrisierung hängt maximal von zwei Variablen ab. Im Fall des Mantels von der Höhe und dem Azimutwinkel.
>
> Wie berechne ich dann die Normale auf dem Mantel ?
> Etwa
>
> [mm]\vec(n_M)=(\delta_u \times \delta_v) \times \delta_w[/mm] ? (Was
> ebenfalls wieder 0 wäre)
>
> LG
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mi 21.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben seien der Vollzylinder Z und die Vollkugel V mit
> [mm]Z={(x,y,z)\in\IR^3 | x^2+y^2 \le1,0\le z\le5}[/mm]
> V
> [mm]={(x,y,z)\in\IR^3 | x^2+y^2+z^2\le 4}[/mm]
> Der Rand des
> Körpers A:=Z [mm]\cap[/mm] V besteht aus drei glatten
> Flächenstücken,
das ist kein Rand sondern ein Volumen.
>
> dem Boden [mm]B:={(x,y,z)\in Z | z=0}[/mm]
> der Kappe [mm]K:={(x,y,z)\in Z | x^2+y^2+z^2=4}[/mm]
>
> und dem Mantel M. Gesucht wird das Flussintegral des
> Vektorfeldes
> [mm]\vec(Y)(x,y,z)=(zx,[/mm] zy, [mm]z^2+1)[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die Divergenz von [mm]\vec(Y)[/mm] und das
> Volumenintegral [mm]\integral_{A}{div \vec(Y) d(x,y,z)}.[/mm]
> b)
> Berechnen Sie die Flussintegrale von [mm]\vec(Y)[/mm] durch B,K und
> M.
> c) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Satzes
> von Gauß
>
>
>
>
> Hallo Matheraum,
>
> irgendwie komme ich bei o.g. Aufgabe auf kein brauchbares
> Ergebnis.
> Die Teilaufgabe a) habe ich bereits berechnet zu:
>
> [mm]div(\vec(Y))=4*z[/mm] und [mm]\integral_{A}{div \vec(Y) d(x,y,z)}[/mm] =
> 32.
Ich habe es nicht nachgerechnet, wenn Du eine Korrektur willst, zeig Deine Rechnung.
>
> Das müsste soweit eigentlich stimmen.
> Nun hänge ich aber an der Teilaufgabe b).
>
> Ich möchte nun also zunächst das Flussintegral durch den
> Boden B (ein einfacher Kreis in der x-y-Ebene mit dem
> Radius 1 um den Ursprung) bestimmen.
>
> Hierzu habe ich die Kreisfläche parametrisiert zu:
>
> [mm]\vec(r)(u,v)=\vektor{sin(u) \\ cos(v) \\ 0}[/mm] mit
> [mm]v,u\in[0,2*\pi][/mm]
Eine Parametrisierung der Kreisfläche sieht so aus:
[mm] $\vec{\varphi}(u,v)=u\left(\begin{array}{c}\cos v\\\sin v\\0\end{array}\right)$
[/mm]
mit [mm] $u\in[0,2]$ [/mm] und [mm] $v\in[0,2\pi]$
[/mm]
> Daraus habe ich den Normalenvektor [mm]\vec(n_b)[/mm] bestimmt zu:
> [mm]\vec(n_b)=\delta_u*\vec(r) \times \delta_v*\vec(r)=\vektor{cos(u) \\ 0 \\ 0} \times \vektor{0 \\ -sin(v) \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -cos(u)*sin(v)}[/mm]
>
> Nun bestimme ich das Flussintegral folgendermaßen:
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\integral_{0}^{2*\pi}{ \vektor{0 \\ 0 \\ 1} * \vektor{0 \\ 0 \\ -cos(u)*sin(v)} du}dv}[/mm]
>
> Ich kann mir jedoch gerade nicht so wirklich vorstellen,
> dass das so stimmt ? Ich würde demnach ja einen Fluss von
> 0 haben ?
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar,
> LG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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