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Forum "stochastische Prozesse" - Fokker Planck Gleichung
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Fokker Planck Gleichung: Herleitung Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Mo 13.07.2020
Autor: Jellal

Guten Abend,

ich habe ein paar Verständnisschwierigkeiten zur Herleitung der Fokker-Planck Gleichung aus einem Buch.

Sei [mm] X_{t} [/mm] ein stochastischer Prozess, [mm] dX_t [/mm] = [mm] a(X_t)dt [/mm] + [mm] b(X_t)dW_t, [/mm] und sei [mm] \phi() [/mm] eine zweifach diff'bare Funktion.
Mit der Ito-Formel bekommt man
[mm] E(d\phi)=E(\phi'(X_t)a(X_t))dt [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} E(\phi''(X_t)b^{2}(X_t))dt [/mm] =: [mm] E(L\phi)dt [/mm]
mit dem definierten "Generator"-Operator L.

Meine Frage ist hier, wie man diese Gleichung intuitiv zu deuten hat. Ist [mm] E(d\phi)=dE(\phi), [/mm] sodass ich aus der Gleichung die Zeitableitung des Erwartungswerts bekomme, wenn ich beide Seiten durch dt teile?

Denn später, bei der Einführung der Fokker-Planck-Gleichung, wird folgendes getan:
Sei [mm] \rho(x,t) [/mm] die zeitabhängige Dichte, die sich aus einer Anfangsdichte bei Befolgen der SDE entwickelt.
Angenommen, alles sei "gutartig" genug, sodass der Erwartungswert von [mm] \phi [/mm] bzgl. [mm] \rho(x,t) [/mm] existiert.

Wegen [mm] E(\phi)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\rho(x,t)dx [/mm] gilt dann anscheined auch

[mm] \int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\bruch{\partial\rho}{\partial t}dx=\int_{-\infty}^{\infty}(L\phi) \rho(x,t)dx [/mm]

Auf der linken Seite steht nun die Ableitung des Erwartungswerts nach der Zeit, sodass aufgrund dieser Gleichheit meine obige Behauptung stimmen müsste.

vG.

Jellal

        
Bezug
Fokker Planck Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Mi 15.07.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Sei [mm]X_{t}[/mm] ein stochastischer Prozess, [mm]dX_t[/mm] = [mm] a(X_t)dt [/mm] + [mm] b(X_t)dW_t[/mm] [/mm]

Kleine Notationssache: [mm] $X_t$ [/mm] ist nicht der stochastische Prozess, sondern $X = [mm] (X_t)_{t\ge0}$ [/mm]
Prozesse wie oben bezeichnet man dann als Ito-Prozess.

> sei [mm]\phi()[/mm] eine zweifach diff'bare Funktion.
> Mit der Ito-Formel bekommt man
> [mm]E(d\phi)=E(\phi'(X_t)a(X_t))dt + \bruch{1}{2} E(\phi''(X_t)b^{2}(X_t))dt[/mm]

Erst mal bekommt man nur (auch hier sauberer aufschreiben!):

[mm] $d\phi(X_t) [/mm] = [mm] \phi'(X_t)dX_t [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\phi''(X_t)(dX_t)^2 [/mm] = [mm] \phi'(X_t)a(X_t)dt [/mm] + [mm] \phi'(X_t)b(X_t)dW_t [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\phi''(X_t)b^2(X_t)dt$ [/mm]

Nun kann man auf beide Seiten den Erwartungswert anwenden und bekommt:

[mm] $E(d\phi(X_t)) [/mm] = [mm] E(\phi'(X_t)a(X_t)dt) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}E(\phi''(X_t)b^2(X_t)dt) [/mm] + E( [mm] \phi'(X_t)b(X_t)dW_t)$ [/mm]

Deine Gleichung gilt also nur, falls:
1.) [mm] $E(\phi'(X_t)a(X_t)dt) [/mm] = [mm] E(\phi'(X_t)a(X_t))dt$ [/mm] (Klammerung beachten)
2.) [mm] $E(\phi''(X_t)b^2(X_t)dt) [/mm] = [mm] E(\phi''(X_t)b^2(X_t))dt$ [/mm]
3.) [mm] $E(\phi'(X_t)b(X_t)dW_t) [/mm] = 0$

Verständnisfrage an dich: Warum sollte das alles gelten?

> =: [mm]E(L\phi)dt[/mm]

D.h. mit obigem ist also [mm] $L\phi(X_t) [/mm] := [mm] \phi'(X_t) a(X_t) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \phi''(X_t) b^2(X_t)$ [/mm]

> mit dem definierten "Generator"-Operator L

Oder wenn wir $L$ als Operator schreiben nach obigem:
$L = a [mm] \frac{d}{dx} [/mm] + [mm] \frac{b^2}{2}\frac{d^2}{dx^2}$ [/mm]

Mach dir das klar!

> Meine Frage ist hier, wie man diese Gleichung intuitiv zu
> deuten hat. Ist [mm]E(d\phi)=dE(\phi),[/mm] sodass ich aus der
> Gleichung die Zeitableitung des Erwartungswerts bekomme,
> wenn ich beide Seiten durch dt teile?

Ja, das kann man machen, aber:
1.) Warum gilt denn  [mm]E(d\phi)=dE(\phi)[/mm]?
2.) Warum darf man durch $dt$ "teilen"?

1.) ist ein Einzeiler (Definition von [mm] $d\phi$ [/mm] verwenden!)
2.) ist etwas komplizierter

Man kann den Ausdruck aber auch auf andere Art deuten: man könnte das $dt$ wieder in den Erwartungswert ziehen und erhält:
[mm] $E(d\phi) [/mm] = [mm] E(L\phi [/mm] dt)$

d.h. der Erwartungswert von [mm] $d\phi$ [/mm] lässt sich mit Hilfe des Operators L als Differential über die Zeit darstellen / ausrechnen.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Fokker Planck Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Mi 15.07.2020
Autor: Jellal

Hallo Gono,

danke dir für die ausführliche Antwort.


>  
> > Sei [mm]X_{t}[/mm] ein stochastischer Prozess, [mm]dX_t[/mm] = [mm]a(X_t)dt[/mm] +
> [mm]b(X_t)dW_t[/mm][/mm]
>  Kleine Notationssache: [mm]X_t[/mm] ist nicht der stochastische
> Prozess, sondern [mm]X = (X_t)_{t\ge0}[/mm]
>  Prozesse wie oben
> bezeichnet man dann als Ito-Prozess.

Merke ich mir!

>  
> > sei [mm]\phi()[/mm] eine zweifach diff'bare Funktion.
> > Mit der Ito-Formel bekommt man
> > [mm]E(d\phi)=E(\phi'(X_t)a(X_t))dt + \bruch{1}{2} E(\phi''(X_t)b^{2}(X_t))dt[/mm]
> Erst mal bekommt man nur (auch hier sauberer
> aufschreiben!):

> [mm]d\phi(X_t) = \phi'(X_t)dX_t + \bruch{1}{2}\phi''(X_t)(dX_t)^2 = \phi'(X_t)a(X_t)dt + \phi'(X_t)b(X_t)dW_t + \bruch{1}{2}\phi''(X_t)b^2(X_t)dt[/mm]

Du hast natürlich Recht. Allerdings kommt meine Gleichung ohne weitere Zwischenschritte so aus einem Buch. Das handelt allerdings von numerischen Simulationen von Molekülen (nicht von stoch. Analysis), und der Autor hat mich davor gewarnt, dass der theoretische Background zu den stochastischen DGs kurz und womöglich etwas unrigoros gehalten wurde... Ich würde den Teil aber schon gerne richtig verstehen.

> Nun kann man auf beide Seiten den Erwartungswert anwenden
> und bekommt:
>  
> [mm]E(d\phi(X_t)) = E(\phi'(X_t)a(X_t)dt) + \bruch{1}{2}E(\phi''(X_t)b^2(X_t)dt) + E( \phi'(X_t)b(X_t)dW_t)[/mm]
>  
> Deine Gleichung gilt also nur, falls:
>  1.) [mm]E(\phi'(X_t)a(X_t)dt) = E(\phi'(X_t)a(X_t))dt[/mm]
> (Klammerung beachten)
>  2.) [mm]E(\phi''(X_t)b^2(X_t)dt) = E(\phi''(X_t)b^2(X_t))dt[/mm]
> 3.) [mm]E(\phi'(X_t)b(X_t)dW_t) = 0[/mm]
>  
> Verständnisfrage an dich: Warum sollte das alles gelten?

Bei 1.) und 2.) habe ich in alter Physiker-Manier einfach dt als "kleine Konstante" aufgefasst und aus dem Erwartungswert gezogen.

3.) war auch eine neue Frage von mir. Eigentlich meint man doch mit
einem Ausdruck wie [mm] d\phi [/mm] = [mm] \phi'(X_t)b(X_t)dW_t [/mm]
[mm] \phi(X_{t})=\phi(X_{0}) [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{\phi'(X_s)b(X_{s})dW_{s}}. [/mm]
Der Integralprozess ist im E-Wert 0, wenn er ein Martingal ist. Aber ist das für Diffusionsprozesse wie Langevin-Dynamik "normalerweise" der Fall? Das hängt doch sicher von b(X) ab. Es wurden leider keine Sigma-Algebren am Anfang der Kapitel eingeführt oder gar eine Filtration (die man doch braucht, um zu belegen, dass es ein Martingal ist).

> > =: [mm]E(L\phi)dt[/mm]
> D.h. mit obigem ist also [mm]L\phi(X_t) := \phi'(X_t) a(X_t) + \bruch{1}{2} \phi''(X_t) b^2(X_t)[/mm]
>  
> > mit dem definierten "Generator"-Operator L
>  Oder wenn wir [mm]L[/mm] als Operator schreiben nach obigem:
>  [mm]L = a \frac{d}{dx} + \frac{b^2}{2}\frac{d^2}{dx^2}[/mm]
>  
> Mach dir das klar!

Das verstehe ich!

> > Meine Frage ist hier, wie man diese Gleichung intuitiv zu
> > deuten hat. Ist [mm]E(d\phi)=dE(\phi),[/mm] sodass ich aus der
>  > Gleichung die Zeitableitung des Erwartungswerts

> bekomme,
>  > wenn ich beide Seiten durch dt teile?

>  
> Ja, das kann man machen, aber:
>  1.) Warum gilt denn  [mm]E(d\phi)=dE(\phi)[/mm]?
>  2.) Warum darf man durch [mm]dt[/mm] "teilen"?
>  
> 1.) ist ein Einzeiler (Definition von [mm]d\phi[/mm] verwenden!)
>  2.) ist etwas komplizierter

1.) Ich kenne leider nur die Ito-Formel als Ausdruck für [mm] d\phi. [/mm] Meine Argumentation war: Wenn der dW Term rechts beim Erwartungswert wegfällt, so bleiben nur noch dt Terme über. Dadurch ist das [mm] d\phi [/mm] also eine Variation mit der Zeit. Eine Ableitung nach X dürfte man nicht einfach in einen Erwartungswert ziehen, aber eine Ableitung nach t müsste sich doch verhalten, wie eine Parameter-Ableitung bei einem Integral (welche man ja auch reinziehen darf).
2.) Weil dt eine Konstante ist, haha. Sorry, aber das ist das Theorie-Level, auf dem ich mich gerade bewege ~~

> Man kann den Ausdruck aber auch auf andere Art deuten: man
> könnte das [mm]dt[/mm] wieder in den Erwartungswert ziehen und
> erhält:
>  [mm]E(d\phi) = E(L\phi dt)[/mm]
>
> d.h. der Erwartungswert von [mm]d\phi[/mm] lässt sich mit Hilfe des
> Operators L als Differential über die Zeit darstellen /
> ausrechnen.

Das verstehe ich.


Bezug
                        
Bezug
Fokker Planck Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Fr 17.07.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> > Verständnisfrage an dich: Warum sollte das alles gelten?
>  Bei 1.) und 2.) habe ich in alter Physiker-Manier einfach
> dt als "kleine Konstante" aufgefasst und aus dem
> Erwartungswert gezogen.

ja, das läuft dann unten auf die Frage hinaus, warum man mit Differenzialen rechnen kann.
Hier steckt aber noch viel mehr dahinter, denn: Der Erwartungswert ist ja eigentlich selbst ein Integral (nämlich $E[X] = [mm] \int_\Omega [/mm] X dP$), d.h. du vertauschst dort Integrationsreihenfolgen. Es wird aus einem [mm] $E[\cdot \;dt] [/mm] = [mm] \int_\Omega \int_0^t \cdot\; ds\, [/mm] dP$ ein [mm] $E[\cdot] [/mm] dt =  [mm] \int_0^t \int_\Omega \cdot\; [/mm] dP [mm] \, [/mm] ds$

Und Integrationsreihenfolgen vertauscht man mit Hilfe des []Satzes von Fubini.

Die Voraussetzungen dafür sind aber, insbesondere im physikalischen Kontext, meist stillschweigend vorausgesetzt.

  

> 3.) war auch eine neue Frage von mir. Eigentlich meint man
> doch mit
> einem Ausdruck wie [mm]d\phi[/mm] = [mm]\phi'(X_t)b(X_t)dW_t[/mm]
> [mm]\phi(X_{t})=\phi(X_{0})[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{t}{\phi'(X_s)b(X_{s})dW_{s}}.[/mm]
>  Der Integralprozess ist im E-Wert 0, wenn er ein Martingal ist.

Na nicht nur, aber u.A., ja.

> Aber ist das für Diffusionsprozesse wie
> Langevin-Dynamik "normalerweise" der Fall? Das hängt doch
> sicher von b(X) ab.

Ja, und von [mm] $\phi$. [/mm]
D.h. ohne mehr Informationen ist man hier aufgeschmissen… aber setzen wir das mal folgend stillschweigend voraus.


> Es wurden leider keine Sigma-Algebren
> am Anfang der Kapitel eingeführt oder gar eine Filtration
> (die man doch braucht, um zu belegen, dass es ein Martingal
> ist).

Ja, wie gesagt: Dass muss nicht notwendigerweise ein Martingal sein… da könnte als EW auch so Null herauskommen… und wird es auch, wenn der Integrand ausreichend schön ist. Leider fällt mir außer "deterministisch" gerade keine "schöne" Eigenschaft für den Integranden ein. D.h. wenn  [mm] $\phi'(X_s)b(X_{s})$ [/mm] nicht mehr von [mm] X_s [/mm] abhängt, aber durchaus von s.
Wäre der Integrand also nur noch von der Zeit (aber nicht vom Prozess) abhängig, wäre das schon der Fall. z.B. wenn sich [mm] X_s [/mm] herauskürzt.


> > 1.) ist ein Einzeiler (Definition von [mm]d\phi[/mm] verwenden!)
>  >  2.) ist etwas komplizierter
>  1.) Ich kenne leider nur die Ito-Formel als Ausdruck für [mm]d\phi.[/mm]

Mehr brauchst du auch nicht.
In der Ito-Formel steht [mm] $d\phi$ [/mm] ja einfach nur für [mm] $\phi(X_t) [/mm] - [mm] \phi(X_0)$ [/mm]
Damit ist [mm] $E[d\phi] [/mm] = [mm] E[\phi(X_t) [/mm] - [mm] \phi(X_0)] [/mm] = [mm] E[\phi(X_t)] [/mm] - [mm] E[\phi(X_0)] [/mm] = [mm] dE[\phi]$ [/mm]

Gruß,
Gono

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Bezug
Fokker Planck Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Sa 18.07.2020
Autor: Jellal


> Hiho,
>  
> > > Verständnisfrage an dich: Warum sollte das alles gelten?
>  >  Bei 1.) und 2.) habe ich in alter Physiker-Manier
> einfach
> > dt als "kleine Konstante" aufgefasst und aus dem
> > Erwartungswert gezogen.
>  ja, das läuft dann unten auf die Frage hinaus, warum man
> mit Differenzialen rechnen kann.
>  Hier steckt aber noch viel mehr dahinter, denn: Der
> Erwartungswert ist ja eigentlich selbst ein Integral
> (nämlich [mm]E[X] = \int_\Omega X dP[/mm]), d.h. du vertauschst
> dort Integrationsreihenfolgen. Es wird aus einem [mm]E[\cdot \;dt] = \int_\Omega \int_0^t \cdot\; ds\, dP[/mm]
> ein [mm]E[\cdot] dt = \int_0^t \int_\Omega \cdot\; dP \, ds[/mm]
>
> Und Integrationsreihenfolgen vertauscht man mit Hilfe des
> []Satzes von Fubini.
>  
> Die Voraussetzungen dafür sind aber, insbesondere im
> physikalischen Kontext, meist stillschweigend
> vorausgesetzt.

Ja, das macht Sinn!
  

>

>  D.h. ohne mehr Informationen ist man hier
> aufgeschmissen… aber setzen wir das mal folgend
> stillschweigend voraus.
>  
> Ja, wie gesagt: Dass muss nicht notwendigerweise ein
> Martingal sein… da könnte als EW auch so Null
> herauskommen… und wird es auch, wenn der Integrand
> ausreichend schön ist. Leider fällt mir außer
> "deterministisch" gerade keine "schöne" Eigenschaft für
> den Integranden ein. D.h. wenn  [mm]\phi'(X_s)b(X_{s})[/mm] nicht
> mehr von [mm]X_s[/mm] abhängt, aber durchaus von s.
>  Wäre der Integrand also nur noch von der Zeit (aber nicht
> vom Prozess) abhängig, wäre das schon der Fall. z.B. wenn
> sich [mm]X_s[/mm] herauskürzt.

Also bei Langevin-Dynamik oder Brown'scher Bewegung ist b() eine Konstante. Aber das [mm] \phi() [/mm] eben nicht. Wenn man bei genannten Dynamiken meist hat, dass der Integralprozess im Mittel 0 ist, z.B. weil er ein Martingal ist, dann würde das schon reichen. Schreibe gerade an einem Report (das hier ist Hintergrundtheorie), und überlege, wie ich diesen Schritt begründen soll, ohne viel Zeit zu verlieren :D". Ansonsten muss man halt davon ausgehen, dass man hier einfach einen "schönen" Fall betrachtet.

> > > 1.) ist ein Einzeiler (Definition von [mm]d\phi[/mm] verwenden!)
>  >  >  2.) ist etwas komplizierter
>  >  1.) Ich kenne leider nur die Ito-Formel als Ausdruck
> für [mm]d\phi.[/mm]
>  Mehr brauchst du auch nicht.
> In der Ito-Formel steht [mm]d\phi[/mm] ja einfach nur für [mm]\phi(X_t) - \phi(X_0)[/mm]
>  
> Damit ist [mm]E[d\phi] = E[\phi(X_t) - \phi(X_0)] = E[\phi(X_t)] - E[\phi(X_0)] = dE[\phi][/mm]
>  
> Gruß,
>  Gono

Thanks!


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Fokker Planck Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 So 19.07.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> > Die Voraussetzungen dafür sind aber, insbesondere im
> > physikalischen Kontext, meist stillschweigend
> > vorausgesetzt.
>  
> Ja, das macht Sinn!

Ja, vor allem wenn man sich die Voraussetzungen mal anschaut! ;-)
Die Integrale der Absolutbeträge müssen endlich sein und in der Physik (von Quantendynamiken mal abgesehen) tauchen Unendlichkeiten normalerweise ja nicht auf.

> Also bei Langevin-Dynamik oder Brown'scher Bewegung ist b()
> eine Konstante. Aber das [mm]\phi()[/mm] eben nicht. Wenn man bei
> genannten Dynamiken meist hat, dass der Integralprozess im
> Mittel 0 ist

Na das reicht doch als Begründung. "Im Mittel Null" kann man ja schön interpretieren als "Im Erwartungswert Null".

Gruß,
Gono

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Fokker Planck Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:35 Mo 20.07.2020
Autor: Jellal

Danke dir, Gono!

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Fokker Planck Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:08 So 26.07.2020
Autor: Jellal

Hallo nochmal,

ich habe doch noch eine weitergehende Frage.

Aus den obigen Überlegungen kam heraus, dass gilt:

[mm] \bruch{d}{dt} E(f(X_{t}))=E(Lf(X_{t})) [/mm] (*).

Ich habe nun ein Ergebnis zur Langevin Dynamik gefunden, das sich geometrische Ergodizität nennt. Für "erlaubte" Observablen f soll gelten

[mm] |(e^{Lt}f)(X_{0}) [/mm] - [mm] E_{\beta}(f)| [/mm] < K [mm] e^{-at}\phi(X_{0}). [/mm]
Dabei ist [mm] \phi [/mm] eine andere Observable mit [mm] |f|\le \phi [/mm] und K>0.

Zuerst dachte ich, dass wegen (*) links die Differenz zweier Erwartungswerte steht. Aber gerade bin ich mir nicht mehr sicher.

1. Man kann doch das L in (*) nicht einfach aus dem E-Wert herausziehen, oder? Wenn man könnte, dann hätte man mit (*) jedenfalls [mm] E(f(X_{t}))=e^tLE(f(X_{0})). [/mm] Aber das bringt mir für den Satz auch nichts.

2. Kann man die Zeitableitung in (*) in den E-Wert ziehen? Ich würde behaupten "nein", weil die Zeitableitung einer Zufallsvariable wegen des Wiener-Prozesses nicht definiert ist.

3. Auch kommt mir komisch vor, dass das [mm] X_{0} [/mm] auf beiden Seiten auftaucht. Heißt das, links und rechts stehen immer noch Zufallsvariablen?


vG.

Jellal

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Bezug
Fokker Planck Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mo 27.07.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]|(e^{Lt}f)(X_{0})[/mm] - [mm]E_{\beta}(f)|[/mm] < K [mm]e^{-at}\phi(X_{0}).[/mm]
>  Dabei ist [mm]\phi[/mm] eine andere Observable mit [mm]|f|\le \phi[/mm] und
> K>0.

Und was ist [mm] $E_\beta$? [/mm]

> 1. Man kann doch das L in (*) nicht einfach aus dem E-Wert
> herausziehen, oder?

Korrekt.

> 3. Auch kommt mir komisch vor, dass das [mm]X_{0}[/mm] auf beiden
> Seiten auftaucht. Heißt das, links und rechts stehen immer
> noch Zufallsvariablen?

Ja.

Aber das ist doch kein Problem…

Gruß,
Gono

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Bezug
Fokker Planck Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Mo 27.07.2020
Autor: Jellal


> Hiho,
>  

>  Und was ist [mm]E_\beta[/mm]?

Verzeihung, das soll der Erwartungswert bzgl. der invarianten Verteilung der Fokker-Planck-Gleichung sein.

> > 3. Auch kommt mir komisch vor, dass das [mm]X_{0}[/mm] auf beiden
> > Seiten auftaucht. Heißt das, links und rechts stehen immer
> > noch Zufallsvariablen?
>  Ja.
>  
> Aber das ist doch kein Problem…
>  

Ja, ich bin wohl etwas verwirrt bzgl. der Benutzung des Operators L.
Gilt etwa [mm] f(X(t))=e^{tL}f(X(0))? [/mm]
Dann besagt der Satz dass f(X(t)) nur vom Erwartungswert bzgl. der invarianten Verteilung abweichen kann, wie es die Schranke auf der rechten Seite zulässt. Diese wiederum ist verteilt wie [mm] \phi(X_{0}). [/mm]

Aber was war jetzt mit der von uns gefundenen Identität (*)
[mm] \bruch{d}{dt} E(f(X_{t}))=E(Lf(X_{t}))? [/mm]

Angenommen, ich habe wie oben:
[mm] f(X(t))=e^{tL}f(X(0)) [/mm]

=> [mm] E[f(X(t))]=E[e^{tL}f(X(0))] [/mm]
=>  [mm] \bruch{d}{dt}E[f(X(t)) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt} E[e^{tL}f(X(0))]=\bruch{d}{dt} \integral_{\Omega}{e^{tL}f(X(0)) dP}=\integral_{\Omega}{Le^{tL}f(X(0)) dP}=E(Lf(X_{t})). [/mm]
Gilt die Umkehrung auch, also folgt aus (*), dass [mm] f(X(t))=e^{tL}f(X(0))? [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Fokker Planck Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Mi 29.07.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> >  Und was ist [mm]E_\beta[/mm]?

>  Verzeihung, das soll der Erwartungswert bzgl. der
> invarianten Verteilung der Fokker-Planck-Gleichung sein.

Aha, da stecke ich jetzt aber zu wenig im Stoff drin um das verarbeiten zu können.
Gibt es eine Darstellung bezüglich des wahren W-Maßes $P$?
Also sowas wie [mm] $E_\beta[f] [/mm] = [mm] e^{\ldots} E[\ldots]$? [/mm]

> Ja, ich bin wohl etwas verwirrt bzgl. der Benutzung des Operators L.
>  Gilt etwa [mm]f(X(t))=e^{tL}f(X(0))?[/mm]

Also: Ein Ausdruck wie [mm] $e^{tL}$ [/mm] macht keinen Sinn. $L$ ist ein Operator, d.h. also eigentlich eine Funktion von Funktionen.
Korrekt wäre also eigentlich die Schreibweise $L(f) =  [mm] a\frac{d}{dx}f [/mm] + [mm] \frac{b^2}{2}\frac{d^2}{dx^2}f$ [/mm] bzw. äquivalent punktweise $L(f(x)) = a(x) f'(x) + [mm] \frac{b^2(x)}{2}f''(x)$ [/mm]
Allerdings lässt man die Klammern oft weg und schreibt statt L(f) eben nur Lf
D.h. ein L ohne dass eine Funktion dahinter kommt, macht keinen Sinn…

Du hattest nun also in deiner Gleichung den Ausdruck [mm] $(e^{Lt}f)(X_0)$ [/mm] stehen.
Nun steht da bspw. $Lt$, allerdings ist t ja gar keine Funktion mehr in Abhängigkeit von $x$ und somit gilt $Lt [mm] \equiv [/mm] 0$, was aber bestimmt keinen Sinn macht.
Ignoriert man das und denkt sich, der Operator wirkt jetzt halt einfach auf $t$ wäre eben $Lt = a(t)$, was zumindest in Richtung der rechten Seite geht.
Ist $a$ denn konstant?

Gruß,
Gono

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Fokker Planck Gleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:46 Mi 29.07.2020
Autor: Jellal

Also der Operator [mm] e^A [/mm] mit A als Operator ist definiert als
[mm] e^A=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!} A^{k} [/mm]

Für die Fokker-Planck-Gleichung zum Beispiel,
[mm] \bruch{\partial}{\partial t}\rho(x,t)=L^{\dagger}\rho(x,t), [/mm]

gilt also formal [mm] \rho(x,t)=e^{tL^{\dagger}}\rho(x,0). [/mm]

Und so ähnlich ist es dann auch mit dem Generator L.
Wir haben gezeigt, dass
[mm] \bruch{d}{dt} E(f(X_{t}))=E(Lf(X_{t})) [/mm]

und ich habe mich gefragt, ob gleichzeitig auch
[mm] f(X(t))=e^{tL}f(X(0)) [/mm]
gilt (wobei daraus die erste Identität laut meiner Rechnung folgen würde).

Vielleicht muss ich den Prof. mal darauf ansprechen...

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Fokker Planck Gleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 31.07.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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