Folge-Cauchy-Konvergenz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | [mm] ((a+b/n)^n) [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
a und b [mm] \in \IR
[/mm]
Grenzwert bestimmen und mit der Cauchyfolge beweisen, dass die Folge konvergiert. |
Ich weiß, dass der Grenzwert e ist, aber ich weiß nicht wie ich mit der Cauchfolge beweisen kann, dass die Folge konvergiert und dass der Grenzwert e beträgt. Für hilfreiche Ansätze wäre ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Huhu,
> Ich weiß, dass der Grenzwert e ist
na das glaub ich jetzt mal nicht.
Wie kommst du darauf?
Die Folge muss gar nicht konvergieren.
Ist die Aufgabe wirklich so gestellt?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Bilmem |
Ich habe für a und b 1 eingesetzt, ich weiß nicht, ob man das machen darf, aber ich habs getan und dann bekommt man für den Grenzwert e raus und die Folge konvergiert.
In der Aufgabe steht folgendes:
Untersuche in Abhängigkeit von den Parametern a und b (Element von R), ob die Folge konvergiert, bestimmt gegen + unnendlich oder - unendlich divergiert. Im Falle einer Konvergenz soll der Grenzwert bekannt gegeben werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Bilmem |
Wie mache ich das denn? :S
|
|
|
| |
|
Siehe meine Mitteilung.....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> Ich habe für a und b 1 eingesetzt, ich weiß nicht, ob man
> das machen darf, aber ich habs getan und dann bekommt man
> für den Grenzwert e raus und die Folge konvergiert.
Aha, für $a=b=1$ hast du recht.
Aber das ist doch keine Beweismethode...... wie kommst du auf sowas?
> In der Aufgabe steht folgendes:
>
> Untersuche in Abhängigkeit von den Parametern a und b
> (Element von R), ob die Folge konvergiert, bestimmt gegen +
> unnendlich oder - unendlich divergiert. Im Falle einer
> Konvergenz soll der Grenzwert bekannt gegeben werden.
aha, das ist ne ganz andere Aufgabe als die von dir gepostete!
Du sollst in Abhängigkeit von a und b auf Konvergenz prüfen, da kannst du doch nicht einfach a,b eins setzen!
Die Aufgabe lässt doch schon vermuten, dass für unterschiedliche $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] unterschiedliche Sachen rauskommen..... man man man.
Nachdenken kann dir niemand abnehmen.
Aber weiter im Text:
Du weisst ja [mm] $\lim_{n\to\infty}{\left(1 + \bruch{1}{n}\right)}^n [/mm] = e$
Was weisst du denn über
[mm] $\lim_{n\to\infty}{\left(1 + \bruch{x}{n}\right)}^n, x\in \IR$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Bilmem |
Dass die Folge divergiert?!? Ich habe wirklich keine Ahnung..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Dann solltest du das dringend nacharbeiten!
Ihr hattet das bestimmt, sonst ist diese Aufgabe nicht lösbar.
Das Forum ersetzt nicht das selbstständige Nacharbeiten der Vorlesung!
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Bilmem |
Das ist mir klar, aber ich verstehe es trotz des Nacharbeitens nicht, das ist ja mein problem...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Bilmem |
kann mir jemand bitte helfen, ich bekomme es mit den beweismethoden nicht hin.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> kann mir jemand bitte helfen, ich bekomme es mit den
> beweismethoden nicht hin.
Du solltest wissen, dass [mm] $(1+\;\red{x}/n)^n \to e^x$ [/mm] für alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] gilt. Klar ist, dass [mm] $(a+\;b/n)^n=\left(\frac{b}{n}\right)^n \to [/mm] 0$ für [mm] $a=0\,.$ [/mm] (Warum? Tipp: Für [mm] $b=0\,$ [/mm] ist alles klar, und andernfalls wird [mm] $|b/n|\,$ [/mm] kleiner als $1/2$ für alle natürlichen [mm] $\,n [/mm] > 2|b|$, und [mm] $(1/2)^n \to 0\,.$)
[/mm]
Bleibt also der Fall [mm] $a\not=0$ [/mm] noch weiter zu untersuchen:
Nun beachte, dass dann
[mm] $$\left(a+\frac{b}{n}\right)^n=a^n\left(1+\frac{\red{\frac{b}{a}}}{n}\right)^n$$
[/mm]
gilt. Beweise nun:
[mm] $\bullet$ [/mm] Für [mm] $a=-1\,$ [/mm] ist die Folge divergent. (Genauer: Sie hat dann zwei Häufungspunkte, nämlich [mm] $\pm e^{b/a}=\pm e^{-b}\,.$)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Für $|a| < [mm] 1\,$ [/mm] konvergiert die Folge gegen [mm] $0\,.$ [/mm] (Tipp: Die "Produktfolge" zweier konvergenter Folgen ist konvergent gegen das Produkt der beiden Grenzwerte.)
[mm] $\bullet$ [/mm] Für $|a| > [mm] 1\,$ [/mm] divergiert die Folge (falls $a > [mm] 1\,$ [/mm] divergiert sie bestimmt gegen [mm] $\infty$).
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Für [mm] $a=1\,$ [/mm] erhalten wir Konvergenz der Folge gegen [mm] $e^{b/a}=e^b\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
