Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Do 21.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Durch den Startwert [mm] a_0=2 [/mm] und die Rekursionsformel [mm] a_{n+1}=\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n} [/mm] sei eine Folge [mm] a_n [/mm] gegeben.
a) Berechnen Sie die ersten 5 Folgeglieder auf 6 Dezimale genau.
b) Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] (a_n)^2>2
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass [mm] a_n [/mm] nach unten beschränkt und monoton fallend ist.
d) Folgern Sie, dass [mm] a_n [/mm] konvergent in [mm] \IR [/mm] ist und bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge unter Benutzung von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}
[/mm]
(Achtung: dies gilt nur für konvergente Folgen!) |
Also a geht ja gerade noch:
[mm] a_0=2
[/mm]
[mm] a_1=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] a_2=1,416666
[/mm]
[mm] a_3=1,414215
[/mm]
[mm] a_4=1,414213
[/mm]
[mm] a_5=1,414213
[/mm]
[mm] 1,414213=\sqrt{2}
[/mm]
Bei der b) komme ich schon nciht weiter.... müsste ich dafür nicht die explizite Formel der Folge wissen?
Ich hab nur leider keine Ahnung wie die sein könnte, ich tippe nur auf irgendwas mit [mm] 2^{?}
[/mm]
Oder muss ich hier beweisen, dass das quadrat der Rekursionsformel > 2 ist?
Mir wird die Aufgabenstellung nicht so ganz klar....
Danke für eure Hilfe und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Do 21.08.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Durch den Startwert [mm]a_0=2[/mm] und die Rekursionsformel
> [mm]a_{n+1}=\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}[/mm] sei eine Folge [mm]a_n[/mm]
> gegeben.
> b) Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm](a_n)^2>2[/mm]
> Bei der b) komme ich schon nciht weiter.... müsste ich
> dafür nicht die explizite Formel der Folge wissen?
> Ich hab nur leider keine Ahnung wie die sein könnte, ich
> tippe nur auf irgendwas mit [mm]2^{?}[/mm]
nicht nötig, mit vollständiger Induktion kommst du hier weiter.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Fr 22.08.2008 | | Autor: | tedd |
Okay ich habe vorher noch nie bewusst eine vollständige Induktion gemacht und bräuchte ein bisschen Hilfe:
Zum Induktionsanfang habe ich folgendes geschrieben:
[mm] (a_1)^2=(\bruch{3}{2})^2=\bruch{9}{4}>2 \to [/mm] wahr
Also kann ich jetzt mit dem Induktionssschritt weitermachen:
Hier kommt jetzt erste Verwirrung auf, denn ich brauche doch als Induktionsvorraussetzung, dass [mm] a_n [/mm] wahr ist oder? Was ist mein [mm] a_n... [/mm] oder reicht da, dass mein Induktionsanfang wahr ist?
oder schreibe ich jetzt einfach als Induktionsvorraussetzung:
[mm] (a_n)^2>2 \to [/mm] ist wahr
und als Induktionsbehauptung:
[mm] (a_{n+1})^2>2
[/mm]
[mm] \left(\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}\right)^2>2
[/mm]
[mm] \bruch{a_n^2}{4}+1+\bruch{1}{a_n^2}>2
[/mm]
[mm] 1+\bruch{a_n^4+4}{4*a_n^2}>2
[/mm]
Ist das soweit richtig? Wie geht es weiter?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Okay ich habe vorher noch nie bewusst eine vollständige
> Induktion gemacht und bräuchte ein bisschen Hilfe:
> Zum Induktionsanfang habe ich folgendes geschrieben:
> [mm](a_1)^2=(\bruch{3}{2})^2=\bruch{9}{4}>2 \to[/mm] wahr
Jo, den Anfang kannst du auch bei $n=0$ machen, du hast ja [mm] $a_0=2$ [/mm] gegeben ...
>
> Also kann ich jetzt mit dem Induktionssschritt
> weitermachen:
> Hier kommt jetzt erste Verwirrung auf, denn ich brauche
> doch als Induktionsvorraussetzung, dass [mm]a_n[/mm] wahr ist oder?
Genau, du brauchst als IV, dass die Aussage für ein beliebiges, aber festes n wahr ist, dass also für ein beliebiges, aber festes n gilt: [mm] $(a_n)^2>2$ [/mm] Das ist unsere IV
> Was ist mein [mm]a_n...[/mm] oder reicht da, dass mein
> Induktionsanfang wahr ist?
Hier verstehe ich nicht ganz, was du meinst ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
> oder schreibe ich jetzt einfach als
> Induktionsvorraussetzung:
>
> [mm](a_n)^2>2 \to[/mm] ist wahr
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") für ein beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm]
> und als Induktionsbehauptung:
>
> [mm](a_{n+1})^2>2[/mm]
Yepp, das ist genau die IBeh und zu zeigen!
>
> [mm]\left(\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}\right)^2>2[/mm]
>
> [mm]\bruch{a_n^2}{4}+1+\bruch{1}{a_n^2}>2[/mm]
>
> [mm]1+\bruch{a_n^4+4}{4*a_n^2}>2[/mm]
soweit!
Mache aber überall Äquivalenzpfeile
>
> Ist das soweit richtig? Wie geht es weiter?
Bringe die 1 auf die rechte Seite und multipliziere die Ungleichung dann mit dem Nenner durch (der ist >0, also harmlos)
Dann hole die rechte Seite nach links ...
Dann steht da ... ?
Die Induktionsvoraussetzung brauchst du dann ganz am Schluss, du wirst es sehen ..
Also schreib mal alles hin ...
> Danke und Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Fr 22.08.2008 | | Autor: | tedd |
Super vielen Dank Schachuzipus!
ich schreibe nochmal alles der Ordnung halber auf:
Induktionsanfang:
$ [mm] (a_1)^2=(\bruch{3}{2})^2=\bruch{9}{4}>2 \to [/mm] $ wahr
Induktionsvorraussetzung:
$ [mm] (a_n)^2>2 \to [/mm] $ für ein beliebiges aber festes $ [mm] n\in\IN [/mm] $wahr
Induktionsbehauptung:
$ [mm] (a_{n+1})^2>2 [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] \left(\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}\right)^2>2 [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] \bruch{a_n^2}{4}+1+\bruch{1}{a_n^2}>2 [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] 1+\bruch{a_n^4+4}{4\cdot{}a_n^2}>2 [/mm] $
[mm] \gdw \bruch{a_n^4+4}{4\cdot{}a_n^2}>1
[/mm]
[mm] \gdw a_n^4+4>4\cdot{}a_n^2
[/mm]
[mm] \gdw a_n^4+4-4\cdot{}a_n^2>0
[/mm]
[mm] \gdw (a_n^2-2)^2>0
[/mm]
Und jetzt fehlt noch der Indutkionsbeweis richtig?
Irgendwie komm ich nicht weiter wie hierfür meine Ungleichung aussehen muss...
Ich "blick" bei den Erklärungen dazu die ich im Internet finde, nicht wirklich durch.
Sorry wenn ich nochmal um Hilfe bitten muss :(
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Fr 22.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Elementarer Bestandteil des Induktionsbeweises ist die Verwendung der Induktionsvoraussetzung; hier bei Dir : [mm] $a_n^2 [/mm] \ > \ 2$ .
Damit gilt auch [mm] $a_n^2 [/mm] -2 \ > \ 0$ .
Was folgt dann für [mm] $\left(a_n^2-2\right)^2$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 22.08.2008 | | Autor: | tedd |
da muss ich jetzt raten:
[mm] a_n^2-2>\sqrt{0}
[/mm]
[mm] \gdw a_n^2-2>0
[/mm]
Und jetzt ist der Beweis fertig?
Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> da muss ich jetzt raten:
>
>
> [mm]a_n^2-2>\sqrt{0}[/mm]
> [mm]\gdw a_n^2-2>0[/mm]
>
> Und jetzt ist der Beweis fertig?
dein Beweis war im Prinzip schon im letzten post fertig, es fehlte nur die Begründung für die letzte Äquivalenz, die da war:
[mm] $\gdw \left(a_n^2-2\right)^2 [/mm] \ > \ 0$
Wegen der IV ist [mm] $a_n^2>2$, [/mm] also [mm] $a_n^2-2>0$, [/mm] also [mm] $\left(a_n^2-2\right)^2>0$
[/mm]
Hier fließt also die Induktionsvoraussetzung ein
Da du sämtlich Äquivalenzumformungen gemacht hast, bist du fertig
Du bräuchtst strenggenommen "nur" die Beweisrichtung "von unten nach oben", also "von rechts nach links"
Du kannst aufgrund der IV [mm] $(a_n^2>0)$ [/mm] die Ungleichungskette von unten nach oben als Folgerungskette aufziehen und hast im obersten (also dann letzten) Schritt die zu zeigende Ind.beh. dastehen.
>
>
> Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 22.08.2008 | | Autor: | tedd |
c) Zeigen Sie, dass $ [mm] a_n [/mm] $ nach unten beschränkt und monoton fallend ist.
Dazu weis ich schon wieder nicht weiter..
Bisjetzt weis ich nur, dass man die Monotonieeigentschaften bei Folgen aufzeigen konnte indem man [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] löst und je nachdem ob das Ergebnis >, <, [mm] \ge, \le [/mm] als 0 ist kann man die Monotonie ablesen. Allerdings weis ich ja dadurch, dass "nur" die rekursive Folge gegeben ist nur das [mm] a_{n+1} [/mm] und nicht das [mm] a_n...
[/mm]
Hilft hier vielleicht eine Ableitung der Rekursionsformel weiter?
Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> c) Zeigen Sie, dass [mm]a_n[/mm] nach unten beschränkt und monoton
> fallend ist.
>
> Dazu weis ich schon wieder nicht weiter..
> Bisjetzt weis ich nur, dass man die
> Monotonieeigentschaften bei Folgen aufzeigen konnte indem
> man [mm]a_{n+1}-a_n[/mm] löst und je nachdem ob das Ergebnis >, <,
> [mm]\ge, \le[/mm] als 0 ist kann man die Monotonie ablesen.
Jo
> Allerdings weis ich ja dadurch, dass "nur" die rekursive
> Folge gegeben ist nur das [mm]a_{n+1}[/mm] und nicht das [mm]a_n...[/mm]
>
> Hilft hier vielleicht eine Ableitung der Rekursionsformel
> weiter?
Keine Ahnung, es ist aber auch keineswegs nötig, irgendwas kompliziertes zu machen
Deine Idee oben ist doch genau die richtige:
Schreibe doch einfach [mm] $a_{n+1}-a_{n}$ [/mm] mal hin und schaue, ob das > oder > 0 ist.
Einfach lediglich für das [mm] $a_{n+1}$ [/mm] die rekursive Def. einsetzen, dann stehen doch nur [mm] $a_n$'s [/mm] da ...
Und über die weißt du aus dem vorherigen Aufgabenteil so einiges ...
>
> Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 22.08.2008 | | Autor: | tedd |
Also ich weis, dass
$ [mm] (a_n)^2>2 [/mm] $
und
$ [mm] (a_{n+1})^2>2 [/mm] $
[mm] a_n>\sqrt{2}
[/mm]
und
[mm] a_{n+1}>\sqrt{2}
[/mm]
Was ja schonmal beweist, dass die Folge eine untere Schranke hat wenn [mm] a_n [/mm] und alle Folgeglieder größer als [mm] \sqrt{2} [/mm] sind.
....
Zur Monotonie kann ich jetzt nur sagen, dass die Werte der Folge mit steigendem n kleiner werden (Habe ich ja in Aufgabenteil a) ausgerechnet) und dadurch [mm] a_n>a_{n+1} [/mm] ist also muss
[mm] a_{n+1}-a_n<0 [/mm] sein [mm] \to [/mm] streng monoton fallend.
Aber ist das so richtig "gezeigt" ?
Danke und Gruß,
tedd 
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Hallo tedd,
> Also ich weis, dass
> [mm](a_n)^2>2[/mm]
> und
> [mm](a_{n+1})^2>2[/mm]
>
>
> [mm]a_n>\sqrt{2}[/mm]
> und
> [mm]a_{n+1}>\sqrt{2}[/mm]
>
> Was ja schonmal beweist, dass die Folge eine untere
> Schranke hat wenn [mm]a_n[/mm] und alle Folgeglieder größer als
> [mm]\sqrt{2}[/mm] sind.
>
> ....
>
> Zur Monotonie kann ich jetzt nur sagen, dass die Werte der
> Folge mit steigendem n kleiner werden (Habe ich ja in
> Aufgabenteil a) ausgerechnet) und dadurch [mm]a_n>a_{n+1}[/mm] ist
> also muss
>
> [mm]a_{n+1}-a_n<0[/mm] sein [mm]\to[/mm] streng monoton fallend.
>
> Aber ist das so richtig "gezeigt" ?
Ja.
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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> Zur Monotonie kann ich jetzt nur sagen, dass die Werte der
> Folge mit steigendem n kleiner werden (Habe ich ja in
> Aufgabenteil a) ausgerechnet) und dadurch [mm]a_n>a_{n+1}[/mm] ist
> also muss
>
> [mm]a_{n+1}-a_n<0[/mm] sein [mm]\to[/mm] streng monoton fallend.
>
> Aber ist das so richtig "gezeigt" ?
Hallo,
nein, gezeigt ist diesbezüglich bisher nichts.
In Aufgabenteil a) hast Du ja, sofern mir nichts entgangen ist, lediglich einige Folgenglieder ausgerechnet.
So etwas kann einem Hinweise geben, aber Beweiskraft hat das nicht. Was garantiert mir, daß die Folge nicht ab dem 4711.Folgenglied steigt?
schachuzipus hat Dir doch schon gesagt, wie es geht: setze die Rekursion für [mm] a_{n+1} [/mm] ein und berechne die Differenz unter Rückgriff auf die bereits bewiesene Eigenschaft [mm] a_n^2>2.
[/mm]
Beginne so:
Es ist [mm] a_{n+1}-a_n =\bruch{2}{a_n}+\bruch{1}{a_n}-a_n=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Sa 23.08.2008 | | Autor: | tedd |
okay....
[mm] a_{n+1}-a_n=\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}-a_n=\bruch{a_n^2+2-2*a_n^2}{2a_n}=\bruch{-a_n^2+2}{2*a_n}<0 [/mm] da ich ja im vorherigen Aufgabenteil bewiesen habe, dass
[mm] (a_n)^2>2 [/mm] ist [mm] \to [/mm] die Folge ist streng monoton fallend.
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> okay....
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> [mm]a_{n+1}-a_n=\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}-a_n=\bruch{a_n^2+2-2*a_n^2}{2a_n}=\bruch{-a_n^2+2}{2*a_n}<0[/mm]
> da ich ja im vorherigen Aufgabenteil bewiesen habe, dass
> [mm](a_n)^2>2[/mm] ist [mm]\to[/mm] die Folge ist streng monoton fallend.
Hallo,
so ist es.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Sa 23.08.2008 | | Autor: | tedd |
Gut danke :)
Gruß,
tedd
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Sa 23.08.2008 | | Autor: | tedd |
Wie hätte es anders sein können,
Aufgabenteil d) bereitet mir genauso Probleme:
d) Folgern Sie, dass $ [mm] a_n [/mm] $ konvergent in $ [mm] \IR [/mm] $ ist und bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge unter Benutzung von $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] $
(Achtung: dies gilt nur für konvergente Folgen!)
Also ich weis, dass [mm] a_n [/mm] > [mm] \sqrt{2} [/mm] und [mm] a_n [/mm] streng monoton fallend ist, daher vermute ich erstmal, dass die Folge aufjedenfall einen Grenzwert hat und nehme an, dass dieser auch sqrt{2} ist.
Wenn ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] benutzen kann hätte ich jetzt folgendes gemacht:
[mm] |a_{n+1}-g|
[mm] \gdw |\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}-\sqrt{2}|
Da ich bewiesen habe, dass
[mm] (a_{n+1})^2>2
[/mm]
kann ich auch sagen,d ass
[mm] a_{n+1}>\sqrt{2}, [/mm] dann kann ich den Betrag doch einfach auflösen oder?
[mm] \gdw \bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}-\sqrt{2}
Mein Problem ist, dass ich die Ungleichung nicht nach [mm] a_n [/mm] aufgelöst bekomme.
[mm] \gdw \bruch{a_n^2+2}{a_n}<2*(d+\sqrt{2})
[/mm]
...
ich kann sagen, dass
[mm] \bruch{a_n}{2}
[/mm]
immer kleiner wird da [mm] a_n [/mm] monoton fallend ist und sich [mm] \bruch{\sqrt{2}}{2} [/mm] annähert und
[mm] \bruch{1}{a_n} [/mm] immer größer wird aus demselben Grund und sich [mm] \bruch{1}{\sqrt{2}} [/mm] annähert.
[mm] \bruch{\sqrt{2}}{2}+\bruch{1}{\sqrt{2}}=\bruch{2}{\sqrt{2}}
[/mm]
Hilft mir diese überlegung weiter?
Gruß,
tedd
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> Wie hätte es anders sein können,
> Aufgabenteil d) bereitet mir genauso Probleme:
>
> d) Folgern Sie, dass [mm]a_n[/mm] konvergent in [mm]\IR[/mm] ist und
> bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge unter Benutzung
> von [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}[/mm]
> (Achtung: dies gilt nur für konvergente Folgen!)
>
> Also ich weis, dass [mm]a_n[/mm] > [mm]\sqrt{2}[/mm] und [mm]a_n[/mm] streng monoton
> fallend ist, daher vermute ich erstmal, dass die Folge
> aufjedenfall einen Grenzwert hat
Hallo,
daß die Folge einen grenzwert hat, brauchst Du nicht zu vermuten, das ist Fakt. Sie ist doch monoton fallend und nach unten beschränkt.
Jetzt kannst Du den Grenzwert einfach ausrechnen. Paß auf:
es ist [mm] a_{n+1}=\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}.
[/mm]
> Wenn ich
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}[/mm]
> benutzen kann
Genau, das benutzen wir. Sei g der Grenzwert.
Es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n})
[/mm]
==> [mm] g=\bruch{g}{2}+\bruch{1}{g}.
[/mm]
Jetzt auflösen!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 23.08.2008 | | Autor: | tedd |
okay...
[mm] g=\bruch{g}{2}+\bruch{1}{g}
[/mm]
[mm] 1=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{g^2}
[/mm]
[mm] 1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{g^2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{1}{g^2}
[/mm]
[mm] g=\sqrt{2}
[/mm]
Ich verstehe jetzt nur nicht, warum ich [mm] a_n [/mm] durch g ersetzen durfte...
ist [mm] a_n [/mm] bei konvergenten Folgen der Grenzwert von [mm] a_{n+1}?
[/mm]
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> okay...
>
> [mm]g=\bruch{g}{2}+\bruch{1}{g}[/mm]
> [mm]1=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{g^2}[/mm]
> [mm]1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{g^2}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}=\bruch{1}{g^2}[/mm]
> [mm]g=\sqrt{2}[/mm]
>
> Ich verstehe jetzt nur nicht, warum ich [mm]a_n[/mm] durch g
> ersetzen durfte...
Hier mal ausführlich:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{a_{n+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{1}{a_{n}} }[/mm]
Da die Grenzwerte
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{a_{n}}{2}}[/mm]
und
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{a_{n}}[/mm]
existieren, kann man nach ![[]](/images/popup.gif) Rechenregeln für Grenzwerte auch schreiben:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{1}{a_{n}} }=\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{a_{n}}{2}}+\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{a_{n}} }[/mm]
Da [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}{a_{n}}=g[/mm], gilt auch
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{a_{n}}{2}}=\bruch{g}{2}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{a_{n}}=\bruch{1}{g}[/mm]
Daher gilt folgende Gleichung zur Bestimmung des Grenzwertes:
[mm]g=\bruch{g}{2}+\bruch{1}{g}[/mm]
> ist [mm]a_n[/mm] bei konvergenten Folgen der Grenzwert von [mm]a_{n+1}?[/mm]
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Di 09.12.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Durch den Startwert $ [mm] a_0=2 [/mm] $ und die Rekursionsformel $ [mm] a_{n+1}=\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n} [/mm] $ sei eine Folge $ [mm] a_n [/mm] $ gegeben.
a) Berechnen Sie die ersten 5 Folgeglieder auf 6 Dezimale genau.
b) Zeigen Sie, dass für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ gilt: $ [mm] (a_n)^2>2 [/mm] $
c) Zeigen Sie, dass $ [mm] a_n [/mm] $ nach unten beschränkt und monoton fallend ist.
d) Folgern Sie, dass $ [mm] a_n [/mm] $ konvergent in $ [mm] \IR [/mm] $ ist und bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge unter Benutzung von $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] $
(Achtung: dies gilt nur für konvergente Folgen!) |
Wir haben die Aufgabe schonmal besprochen, und zwar
hier
Eigentlich ändert sich nichts, außer Aufgabenteil b)
Die a) bleibt die selbe:
$ [mm] a_0=2 [/mm] $
$ [mm] a_1=\bruch{3}{2} [/mm] $
$ [mm] a_2=1,416666 [/mm] $
$ [mm] a_3=1,414215 [/mm] $
$ [mm] a_4=1,414213 [/mm] $
$ [mm] a_5=1,414213 [/mm] $
Ich wollte die Aufgabe jetzt nochmal lösen und habe nachgefragt. Der Weg über vollständige Induktion ist richtig aber man kann wohl auch so rechnen:
Zu b)
[mm] a_n=a_{n+1-1}=\bruch{a_{(n-1)}}{2}+\bruch{1}{a_{(n-1)}}
[/mm]
und das dann in die Ungleichung einsetzen:
[mm] (a_n)^2>2
[/mm]
[mm] \gdw \left(\bruch{a_{(n-1)}}{2}+\bruch{1}{a_{(n-1)}}\right)^2>2
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\left(a_{(n-1)}\right)^2}{4}+1+\bruch{1}{\left(a_{(n-1)}\right)^2}>2
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\left(a_{(n-1)}\right)^2}{4}-1+\bruch{1}{\left(a_{(n-1)}\right)^2}>0
[/mm]
[mm] \gdw \left(\bruch{a_{(n-1)}}{2}-\bruch{1}{a_{(n-1)}}\right)^2>0
[/mm]
Und das stimmt immer, denn das Quadrat von irgendwas gibt immer eine Positive Zahl. Ebenso kann der Term in der Klammer [mm] \not=0 [/mm] werden.
Zu c)
[mm] a_n>a_{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw a_n>\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}
[/mm]
[mm] \gdw a_n>\bruch{a_n^2+2}{2*a_n}
[/mm]
[mm] \gdw 2*a_n^2>a_n^2+2
[/mm]
[mm] \gdw a_n^2>2
[/mm]
und das stimmt, da ich im vorherigen Aufgabenteil b) bewiesen habe, dass [mm] a_n^2>2 [/mm] ist - streng monoton fallend.
Zu d)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}
[/mm]
Da [mm] a_n [/mm] streng monoton fallend ist und nach oben beschränkt (also einen Grenzwert besitzt) kann ich schreiben
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{2}+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{a_n}
[/mm]
Wegen
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] $
schreibe ich:
$ [mm] g=\bruch{g}{2}+\bruch{1}{g} [/mm] $
$ [mm] 1=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{g^2} [/mm] $
$ [mm] 1-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{g^2} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{2}=\bruch{1}{g^2} [/mm] $
$ [mm] g=\sqrt{2} [/mm] $
Im Grunde hat sich ja von der Rechnung nichts geändert, außer Aufgabenteil b) ... aber wollte mal nachfragen was ihr dazu sagt
Danke und Gruß,
tedd
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> Durch den Startwert [mm]a_0=2[/mm] und die Rekursionsformel
> [mm]a_{n+1}=\bruch{a_n}{2}+\bruch{1}{a_n}[/mm] sei eine Folge [mm]a_n[/mm]
> gegeben.
>
> a) Berechnen Sie die ersten 5 Folgeglieder auf 6 Dezimale
> genau.
>
> b) Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm](a_n)^2>2[/mm]
>
> c) Zeigen Sie, dass [mm]a_n[/mm] nach unten beschränkt und monoton
> fallend ist.
> [...]
> Im Grunde hat sich ja von der Rechnung nichts geändert,
> außer Aufgabenteil b) ... aber wollte mal nachfragen was
> ihr dazu sagt
Hallo,
es wäre schon hilfreich, wenn Du sagen würdest, unter welchem Aspekt Du mit uns über Teil b) sprechen willst.
Hast Du Zweifel, ob es richtig ist, möchtest Du über Deine Gefühle beim Aufschreiben reden, über die Optik des Posts?
Vielleicht klingt das lustig - aber mir ist wirklich nicht klar, wie Deine Frage lautet.
>
> Zu b)
>
> [mm]a_n=a_{n+1-1}=\bruch{a_{(n-1)}}{2}+\bruch{1}{a_{(n-1)}}[/mm]
>
> und das dann in die Ungleichung einsetzen:
>
> [mm](a_n)^2>2[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(\bruch{a_{(n-1)}}{2}+\bruch{1}{a_{(n-1)}}\right)^2>2[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\left(a_{(n-1)}\right)^2}{4}+1+\bruch{1}{\left(a_{(n-1)}\right)^2}>2[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\left(a_{(n-1)}\right)^2}{4}-1+\bruch{1}{\left(a_{(n-1)}\right)^2}>0[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(\bruch{a_{(n-1)}}{2}-\bruch{1}{a_{(n-1)}}\right)^2>0[/mm]
>
> Und das stimmt immer, denn das Quadrat von irgendwas gibt
> immer eine Positive Zahl.
Nein, das stimmt nicht. Quadrate können ja auch =0 sein, und wenn Du hier wirklich "echt größer" benötigst, hast Du ein Problem.
> Ebenso kann der Term in der
> Klammer [mm]\not=0[/mm] werden.
Doch. Wenn [mm] a_n=\wurzel{2} [/mm] ist. Es wurde bisher kein Grund daür genannt, daß das nicht passieren kann.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Di 09.12.2008 | | Autor: | tedd |
Hi!
> Hallo,
>
> es wäre schon hilfreich, wenn Du sagen würdest, unter
> welchem Aspekt Du mit uns über Teil b) sprechen willst.
>
> Hast Du Zweifel, ob es richtig ist, möchtest Du über Deine
> Gefühle beim Aufschreiben reden, über die Optik des Posts?
>
> Vielleicht klingt das lustig - aber mir ist wirklich nicht
> klar, wie Deine Frage lautet.
Also mir geht es einfach nur um eine andere Art bei dieser Aufgabe zu einer Lösung zu kommen und zwar ohne vollständige Induktion.
(Hintergrund ist, dass unser Prof gesagt hat, das wir keine vollständige Induktion können müssen und daher die Aufgabe auch auf den Weg den ich jetzt probiert habe lösbar sein soll.)
> Nein, das stimmt nicht. Quadrate können ja auch =0 sein,
> und wenn Du hier wirklich "echt größer" benötigst, hast Du
> ein Problem.
>
> > Ebenso kann der Term in der
> > Klammer [mm]\not=0[/mm] werden.
>
> Doch. Wenn [mm]a_n=\wurzel{2}[/mm] ist. Es wurde bisher kein Grund
> daür genannt, daß das nicht passieren kann.
>
> Gruß v. Angela
Stimmt, da habe ich nicht zu Ende gedacht.
Wenn ich erst den Grenzwert berechnen würde, könnte ich sagen, dass [mm] a_n [/mm] nie [mm] \sqrt{2} [/mm] erreicht aber das kommt ja erst später.
Also gibt's da noch einen Trick?
Danke und Gruß,
tedd
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> > Nein, das stimmt nicht. Quadrate können ja auch =0 sein,
> > und wenn Du hier wirklich "echt größer" benötigst, hast Du
> > ein Problem.
> >
> > > Ebenso kann der Term in der
> > > Klammer [mm]\not=0[/mm] werden.
> >
> > Doch. Wenn [mm]a_n=\wurzel{2}[/mm] ist. Es wurde bisher kein Grund
> > daür genannt, daß das nicht passieren kann.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Stimmt, da habe ich nicht zu Ende gedacht.
>
> Wenn ich erst den Grenzwert berechnen würde, könnte ich
> sagen, dass [mm]a_n[/mm] nie [mm]\sqrt{2}[/mm] erreicht aber das kommt ja
> erst später.
>
> Also gibt's da noch einen Trick?
Hallo,
ich habe jetzt wirklich nicht vor, mir meinen Kopf darüber zu zerbrechen, wie man ohne Induktion auskommt, denn mit einer einfachen Induktion geht das ja sehr schön...
Wenn Du nicht genau den Vorgaben der Aufgabe folgen mußt und [mm] a_n^2> [/mm] 2 beweisen mußt,
wäre (von Dir) zu überlegen, ob Du mit der von Dir gezeigten Aussage [mm] a_n^2\le [/mm] 2 auskommst, oder ob die schärfere der Aussagen im weiteren Verlauf des Beweise benötigt wird.
Ich meine, daß Dir Deine Aussage im Prinzip recht. Du benötigst sie ja für Monotonie und beschränktheit, und da das Konvergenzkriterium "monoton und beschränkt" keine strenge Monotonie fordert, solltest Du so auskommen.
Aber wenn es wirklich darum geht zum Selbstzweck zu zeigen, daß [mm] a_n^2\red{>} [/mm] 2, kommst Du ohne weitere Aktionen nicht hin.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 15.12.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Angela!
Gut, dass du dir darüber den Kopf nicht zerbrochen hast.
Es war unserem Prof eigentlich tatsächglich egal, ob das ganze nun > oder [mm] \ge [/mm] 2 ist.
Falls man doch sichergehen will, dass [mm] a_n [/mm] nicht [mm] \sqrt{2} [/mm] wird kann man so argumentieren:
Der Startwert ist ja [mm] a_0=2
[/mm]
Setzt man den in die Rekursionsformel ein kommt eine rationale Zahl raus, setzt man wieder eine rationale Zahl ein kommt auch wieder eine raus und so weiter.
Da [mm] \sqrt{2} [/mm] eine irrationale Zahl ist, kann [mm] a_n [/mm] nie [mm] \sqrt{2} [/mm] werden.
Die Aufgabe hat sich erledigt
Danke nochmal und besten Gruß,
tedd
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