Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir definieren die Folge [mm] (a_{n})_{n\ge0} [/mm] natürlicher Zahlen (Fibonacci-Zahlen) durch folgende Rekursionsformel: [mm] a_{0}=a_{1}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, n\ge0
[/mm]
Zeigen Sie die Existenz von reellen Zahlen [mm] c_{1},c_{2} [/mm] mit
[mm] a_{n}=c_{1}(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}+c_{2}(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] für alle [mm] n\ge0. [/mm] |
Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe eine Hilfestellung geben? Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 05.11.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Studentin!
> Wir definieren die Folge [mm](a_{n})_{n\ge0}[/mm] natürlicher Zahlen
> (Fibonacci-Zahlen) durch folgende Rekursionsformel:
> [mm]a_{0}=a_{1}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, n\ge0[/mm]
> Zeigen Sie
> die Existenz von reellen Zahlen [mm]c_{1},c_{2}[/mm] mit
>
> [mm]a_{n}=c_{1}(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}+c_{2}(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm]
> für alle [mm]n\ge0.[/mm]
> Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe eine Hilfestellung
> geben? Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll!
Vielleicht so: Du berechnest [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] aus [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] oder so und weist dann mit vollst. Induktion nach, daß die beiden Folgen komplett übereinstimmen.
Gruß aus Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Du sollst also zwei von n unabhängige Konstante [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] bestimmen. Wir betrachten dazu (nicht wie Stadler gesagt hat [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$) [/mm] sondern [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$, [/mm] da wir die Aussage für [mm] $n\geqslant [/mm] 0$ zeigen sollen. Die Definition der Fibonacci-Folge liefert uns ein Gleichungssystem für [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$
[/mm]
[mm] $1=a_0=c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^0+c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^0=c_1+c_2$
[/mm]
[mm] $1=a_1=c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^1+c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^1=c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$
[/mm]
dessen Lösung die eindeutig bestimmte Lösung
[mm] $c_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$
[/mm]
[mm] $c_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$
[/mm]
ist. Mit diesen [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] gilt daher der Induktionsanfang. Im Induktionsschritt erhälst Du
[mm] $a_{n+1}=a_n-a_{n-1}\overset{IV}{=}c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n+c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}+c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}=c_1\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{-1}+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{-2}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+c_2\left(\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{-1}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{-2}\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}$
[/mm]
Nun musst Du nur noch folgendes zeigen
[mm] $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{-1}+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{-2}= [/mm] 1$
[mm] $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{-1}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{-2}= [/mm] 1$
und dann bist Du fertig.
Gruß Denny
|
|
|
| |
|
Wie bist du denn auf [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] gekommen. Ich erhalte durch das Gleichungssystem nämlich andere Ergebnisse!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
> Wie bist du denn auf [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] gekommen. Ich erhalte
> durch das Gleichungssystem nämlich andere Ergebnisse!
Hallo,
eigentlich habe ich die vom Computer mit MAPLE ausrechnen lassen. Die sollten stimmen. Vielleicht hast Du Dich verrechnet.
Gruß Denny
-------------
KOMANDO ZURÜCK: Es ist [mm] $c_1=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$ [/mm] und [mm] $c_2=\frac{5-\sqrt{5}}{10}$. [/mm]
|
|
|
| |
|
Ok danke! Ich hatte auch für [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} \bruch{1}{2} [/mm] raus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Do 06.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
ACHTUNG!
[mm] $c_1=c_2=\frac{1}{2}$ [/mm] ist falsch!
|
|
|
|
