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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 So 17.04.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge
[mm] x_{n+1} [/mm] = 4 - [mm] \bruch{4}{x_{n}}, x_{1} [/mm] = 3,
konvergent ist. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:
a) (4P) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass gilt: 2 < [mm] x_{n} [/mm] ≤ 3.
b) (2P) Zeigen Sie, dass [mm] (x_{n}) [/mm] streng monoton fallend ist.
c) (5P) Begründen Sie die Konvergenz von [mm] (x_{n}), [/mm] und geben Sie den Grenzwert an.
Tipp: Zum Konvergenznachweis benutzen Sie a)+b); zur Grenzwertbestimmung
bilden Sie den Limes auf beiden Seiten der obigen Gleichung.
d) (2P) Überprüfen Sie das theoretische Ergebnis durch die Berechnung von [mm] x_{2}, [/mm] . . . , [mm] x_{10}. [/mm] |
Wie soll das gehen? Ich hab überhaupt keine Ahnung.
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> Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge
> [mm]x_{n+1}[/mm] = 4 - [mm]\bruch{4}{x_{n}}, x_{1}[/mm] = 3,
> konvergent ist. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor:
>
> a) (4P) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass
> gilt: 2 < [mm]x_{n}[/mm] ≤ 3.
> b) (2P) Zeigen Sie, dass [mm](x_{n})[/mm] streng monoton fallend
> ist.
> c) (5P) Begründen Sie die Konvergenz von [mm](x_{n}),[/mm] und
> geben Sie den Grenzwert an.
> Tipp: Zum Konvergenznachweis benutzen Sie a)+b); zur
> Grenzwertbestimmung
> bilden Sie den Limes auf beiden Seiten der obigen
> Gleichung.
> d) (2P) Überprüfen Sie das theoretische Ergebnis durch
> die Berechnung von [mm]x_{2},[/mm] . . . , [mm]x_{10}.[/mm]
> Wie soll das gehen? Ich hab überhaupt keine Ahnung.
Hallo,
wie wäre es mit einem freundlichen Hallo?
Beginne doch erstmal mit der Induktion. Wie macht man sowas? Induktionsanfang [mm] (x_1=3) [/mm] sollte hier klar sein. Dann der Induktionsschritt.
Hier ist die Voraussetzung für n=k: [mm] 2
Nun im Induktionsschritt die Behauptung für n=k+1 zeigen. Dazu setzt du erstmal die Rekursionsvorschrift ein.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 17.04.2011 | | Autor: | al3pou |
Hallo, 
also soweit war ich auch schon, nur tue ich mich irgendwie sehr schwer damit. Also mit der Induktion. Wie genau geht das denn dann?
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> Hallo,
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> also soweit war ich auch schon, nur tue ich mich irgendwie
> sehr schwer damit. Also mit der Induktion. Wie genau geht
> das denn dann?
Für n=k+1 ist
[mm] x_{k+1}=4-\bruch{4}{x_{k}}. [/mm] Nach Induktionsvoraussetzung gilt [mm] 2
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 17.04.2011 | | Autor: | al3pou |
Ja, ich würde sagen, dass [mm] x_{k+1} [/mm] doch nur Werte zwischen zwischen 2 bis einschließlich 3 annehmen kann. Ich bin echt ratlos glaub ich -.-
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> Ja, ich würde sagen, dass [mm]x_{k+1}[/mm] doch nur Werte zwischen
> zwischen 2 bis einschließlich 3 annehmen kann. Ich bin
> echt ratlos glaub ich -.-
Das ist zu zeigen.
Und das gilt weil [mm] 4-\bruch{4}{x_{n}} [/mm] für [mm] x_k=2 [/mm] minimal (dieser Wert wird aber wegen [mm] x_k>2 [/mm] tatsächlich nicht angenommen) und für [mm] x_k=3 [/mm] maximal ist. Ausrechnen dieser beiden Werte führt zur gewünschten Erkenntnis [mm] 2
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 17.04.2011 | | Autor: | al3pou |
Okay ehm und kannst du das jetzt noch mal für richtig Doofe erklären. Irgendwie will ich das nicht verstehen glaub ich.
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> Okay ehm und kannst du das jetzt noch mal für richtig
> Doofe erklären. Irgendwie will ich das nicht verstehen
> glaub ich.
Setz doch mal ein, dann siehst du es. Ich hoffe du verstehst, warum man hier 2 und 3 einsetzt.
[mm] 4-\frac{4}{2}=2
[/mm]
[mm] 4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}<3
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 So 17.04.2011 | | Autor: | al3pou |
okay, ich denke, ich verstehe warum man das einsetzt, weil [mm] x_{n} [/mm] ja nicht größer bzw kleiner sein kann, aber was genau hab ich damit gewonnen?
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Hallo al3pou,
> okay, ich denke, ich verstehe warum man das einsetzt, weil
> [mm]x_{n}[/mm] ja nicht größer bzw kleiner sein kann,
Naja, genauer: weil nach IV für [mm]x_k[/mm] gilt: [mm]2
> aber was genau hab ich damit gewonnen?
Na, was hast du denn nun im Induktionsschritt gezeigt?
Dass auch für [mm]a_{k+1}[/mm] gilt [mm]2
Das bedeutet?
Gruß
schachuzipus
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