Folge,Häufungspunkt,Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 So 15.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $\ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] $ eine Folge. Zeigen Sie, dass $\ a [mm] \in \IR [/mm] $ genau dann ein Häufungspunkt von $\ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] $ wenn gilt
$\ [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 \ [mm] \forall [/mm] n \ [mm] \exists [/mm] \ m > n [mm] \left[ |a_m-a| < \varepsilon \right] [/mm] $ |
Hallo,
zu Zeigen ist ja $\ A [mm] \Rightarrow [/mm] B $ und $\ B [mm] \Rightarrow [/mm] A $, wobei ich mit $\ A, B $ die Prämisse und die Konklusion in dieser Aufgabe meine.
Ich würde gerne wissen, ob ich mit meiner Idee auf dem richtigen Pfad bin.
" $\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ ":
Sei $\ a $ ein Häufungspunkt von $\ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] $.
Dann existiert min. eine Teilfolge $\ [mm] (a_{n_k})_{k \in \IN} [/mm] $ die gegen $\ a $ konvergiert.
Somit gilt $\ | [mm] a_{n_k} [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $
Existiert nun mindestens ein $\ m > n $ für alle $\ n $ mit $\ | [mm] a_{m} [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $, so ist $\ [mm] (a_m)_{m \in \IN} [/mm] $ eine solche Teilfolge von $\ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] $ mit Grenzwert $\ a $.
" $\ [mm] \Leftarrow [/mm] $ ": muss noch gezeigt werden.
Ich bin nur etwas unsicher bei der ganzen Sache. Ist mein Gedanke überhaupt richtig? Oder habe ich die Aufgabe möglicherweise sogar falsch verstanden?
Würde mich sehr über Hilfe freuen.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] "\Rightarrow": [/mm]
es ex. eine Teilfolge $ \ [mm] (a_{n_k})_{k \in \IN} [/mm] $ die gegen $ \ a $ konvergiert.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann ex. ein [mm] k_0 \in \IN [/mm] mit: [mm] |a_{n_k}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für k [mm] \ge k_0
[/mm]
Ist nun n [mm] \in \IN [/mm] , so wähle k so, dass k [mm] \ge k_0 [/mm] und [mm] n_k [/mm] > n. Mit m:= [mm] n_k [/mm] gilt dann:
[mm] |a_m-a| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
[mm] "\Leftarrow": [/mm]
Zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1 ex. ein [mm] n_1 [/mm] mit [mm] |a_{n_1}-a| [/mm] <1.
Zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 e x. ein [mm] n_2> n_1 [/mm] mit [mm] |a_{n_2}-a| [/mm] <1/2.
Zu [mm] \varepsilon [/mm] = 1/3 e x. ein [mm] n_3> n_2 [/mm] mit [mm] |a_{n_3}-a| [/mm] <1/3.
Etc. ... So erhält man eine Teilfolge $ \ [mm] (a_{n_k})_{k \in \IN} [/mm] $, die gegen $ \ a $ konvergiert.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 Do 19.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
vielen Dank für die Hilfe.
Grüße
ChopSuey
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