Folge, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Fr 17.12.2010 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.
an = [mm] \wurzel{n + 4} -\wurzel{n + 2} [/mm] |
Ich kann die Lösung der Aufgabe nicht ganz nachvollziehen.
Bei der Lösung erweitert man den Ausdruck:
an = [mm] \wurzel{n + 4} [/mm] - [mm] \wurzel{n + 2}
[/mm]
um [mm] \wurzel{n + 4} [/mm] + [mm] \wurzel{n + 2} [/mm] ,
sodass die 3 binomische Formel im Zähler gilgt.
an = [mm] \bruch{ ( \wurzel{n + 4} - \wurzel{n + 2} ) ( \wurzel{n + 4} + \wurzel{n + 2} ) }{ \wurzel{n + 4} + \wurzel{n + 2} }
[/mm]
Demnach bleibt im Zähler:
an = [mm] \bruch{ 2 }{ \wurzel{n + 4} + \wurzel{n + 2} }
[/mm]
Nun setzt man diesen Ausdruck hier ein: [mm] \le \bruch{2}{2 \wurzel{n}}
[/mm]
Aber wieso macht man das und wo kommt er her?
an = [mm] \bruch{ 2 }{ \wurzel{n + 4} + \wurzel{n + 2} } \le \bruch{2}{2 \wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{n}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie
> gegebenfalls den Grenzwert.
> an = [mm]\wurzel{n + 4} -\wurzel{n + 2}[/mm]
> Ich kann die Lösung
> der Aufgabe nicht ganz nachvollziehen.
>
> Bei der Lösung erweitert man den Ausdruck:
>
> an = [mm]\wurzel{n + 4}[/mm] - [mm]\wurzel{n + 2}[/mm]
>
> um [mm]\wurzel{n + 4}[/mm] + [mm]\wurzel{n + 2}[/mm] ,
> sodass die 3 binomische Formel im Zähler gilgt.
>
> an = [mm]\bruch{ ( \wurzel{n + 4} - \wurzel{n + 2} ) ( \wurzel{n + 4} + \wurzel{n + 2} ) }{ \wurzel{n + 4} + \wurzel{n + 2} }[/mm]
>
> Demnach bleibt im Zähler:
>
> an = [mm]\bruch{ 2 }{ \wurzel{n + 4} + \wurzel{n + 2} }[/mm]
>
> Nun setzt man diesen Ausdruck hier ein: [mm]\le \bruch{2}{2 \wurzel{n}}[/mm]
>
> Aber wieso macht man das und wo kommt er her?
Hallo,
wenn man bei einem positiven Bruch den Zähler unverändert lässt, aber den Nenner vergrößert, dann wird der Bruch kleiner.
Wenn man stattdessen bei konstantem Zähler den Nenner verkleinert, wird der Bruch größer.
Den Nenner [mm] \wurzel{n + 4} [/mm] + [mm] \wurzel{n + 2} [/mm] hat man verkleinert auf [mm] \wurzel{n} [/mm] + [mm] \wurzel{n} [/mm] , also auf [mm] 2\wurzel{n}.
[/mm]
Deshalb ist der Bruch [mm] \bruch{2}{2 \wurzel{n}} [/mm] größer als der Bruch [mm] \bruch{ 2 }{ \wurzel{n + 4} + \wurzel{n + 2} }.
[/mm]
Wenn aber selbst der größere Bruch gegen Null geht, tut es der kleinere erst recht.
Man verwendet [mm] \bruch{ 2 }{ 2\wurzel{n}} [/mm] also als (einfach überschaubare) konvergente Majorante.
Gruß Abakus
>
> an = [mm]\bruch{ 2 }{ \wurzel{n + 4} + \wurzel{n + 2} } \le \bruch{2}{2 \wurzel{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2\wurzel{n}}[/mm]
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Fr 17.12.2010 | | Autor: | zoj |
Ahh! Danke für den Tip!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Fr 17.12.2010 | | Autor: | zoj |
Noch eine Frage:
Habe hier eine Folge umgeformt und diese sieht nun so aus:
cn = [mm] \bruch{ -3n^{3} -n -4 }{ (n+3)(n^{2}+1) }
[/mm]
Laut Lösung konvergiert diese Folge gegen -3 (Führender Koeffizient der höhsten Potenz).
Aber wir haben doch im Nenner auch eine Potenz des dritten Grades.
Wiese konvergiert denn die Folge ausgerechnet gegen -3?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Noch eine Frage:
>
> Habe hier eine Folge umgeformt und diese sieht nun so aus:
> cn = [mm]\bruch{ -3n^{3} -n -4 }{ (n+3)(n^{2}+1) }[/mm]
>
> Laut Lösung konvergiert diese Folge gegen -3 (Führender
> Koeffizient der höhsten Potenz).
>
> Aber wir haben doch im Nenner auch eine Potenz des dritten
> Grades.
> Wiese konvergiert denn die Folge ausgerechnet gegen -3?
Weil der Bruch die Form [mm] \bruch{-3*n^3+unbedeutender \,Restterm}{1*n^3+unbedeutender \,Restterm} [/mm] hat. Und [mm] \bruch{-3}{1} [/mm] ist nun einmal -3.
Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Fr 17.12.2010 | | Autor: | zoj |
ok, danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Fr 17.12.2010 | | Autor: | zoj |
upps
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Sa 18.12.2010 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Gegeben sei eine konvergente Folge (an) mit Limes a und eine Folge (bn) mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |bn - an| =0
Zeigen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bn = a |
Bei der Aufgabe verwendet man den Grenzwert E. Leider verstehe ich nicht ganz wozu das E da ist.
Kann mir Jemad erklären wie man an so eine Aufgabe rangeht?
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Hallo zoj,
> Gegeben sei eine konvergente Folge (an) mit Limes a und
> eine Folge (bn) mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |bn - an| =0
>
> Zeigen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] bn = a
> Bei der Aufgabe verwendet man den Grenzwert E. Leider
> verstehe ich nicht ganz wozu das E da ist.
>
> Kann mir Jemad erklären wie man an so eine Aufgabe
> rangeht?
Mache es mit der [mm]\varepsilon[/mm]-Definition.
Du musst im Verlaufe ja [mm]|b_n-a|[/mm] abschätzen.
Bedenke dazu: [mm]|b_n-a|=|b_n-a_n+a_n-a|=|(b_n-a_n)+(a_n-a)|[/mm]
Denke an die Dreiecksungleichung und die gegebenen Vor.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 18.12.2010 | | Autor: | zoj |
" du musst im Verlaufe ja $ [mm] |b_n-a| [/mm] $ abschätzen. "
" Bedenke dazu: $ [mm] |b_n-a|=|b_n-a_n+a_n-a|=|(b_n-a_n)+(a_n-a)| [/mm] $ "
Ich verstehe nicht ganz wie du auf diese Gleichungen kommst.
Wie man auf $ [mm] |b_n-a| [/mm] $ kommt das kann ich nachvollziehen.
Du bringst das a auf die linke Seite. Aber wieso kommen dann Betragsstriche und den Ausdruck: $ [mm] |b_n-a| [/mm] $ ?
Weiterhin fügst du in den Ausdruck: [mm] |b_n-a_n+a_n-a| [/mm] Ein -an und ein +an ein.
Könntest du mir den Gedankengang erläutern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
um zu beweisen dass [mm] b_n [/mm] gegen a konv
musst du doch zeigen, dass es ein N gibt, so dass [mm] |b_n-a|<\epsilon [/mm] für alle n>N
daher kommt der Ausdruck
guck dir nochmal die Def. dder konvergenz an!
danach hat er nur die dreiecksungleichung benutzt.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 18.12.2010 | | Autor: | zoj |
An der Stelle komme ich gedanklich nicht weiter:
Wieso ist bn-a [mm] \equiv [/mm] bn-an + an-a ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
5+3 -3=5
a+b-b=a
ich +du-du=ich
[mm] b_n+0-a=b_n-a
[/mm]
doch mal ein bissel länger nachdenken, wenn man nicht drauf kommt Zahlen einsetzen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Sa 18.12.2010 | | Autor: | zoj |
Ja das ist einleuchtend, aber warum nimmt man ausgerechnet an?
Ich sehe, dass man daraus die Dreiecksungleichung aufstellen kann:
|bn-a| [mm] \le [/mm] |bn-an| + |an-a|
Aber dann steht folgendes:
|Folge bn - Grenzwert a| [mm] \le [/mm] |Folge bn - Folge an| + |Folge an - Grenzwert a|
Wie soll ich mir das Vorstellen? Ich verstehe das Prinzip nicht.
Habe mich über die Konvergenz informiert und das mit der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung nachvollzogen. Demnach liegen ab einem bestimmten wert N alle Grenzwerte einer konvergenten Folge in dem [mm] \varepsilon [/mm] - Bereich.
In dieser Aufgabe muss ich doch zeigen, dass die Folge an und die Folge bn den selben Grenzwert haben.
Das heißt der Grenzwert von an liegt ab einem bestimmten N in der [mm] \varepsilon [/mm] - Ungebung und es muss gelten, dass es die Folge bn ebenfalls tut.
Aber wie maht man das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
man muss ein Ziel vor Augen haben: das ist zeigen [mm] |b_n-a|<\epsilon [/mm] ab einem N
Dann muss man wissen, was man zu verfügung hat: 1. [mm] |a_n-a|<\epsion_1 [/mm] für ein N1 und [mm] |a_n-b_n|<\epsilon_2 [/mm] für ein N2
und dann schaltet man die Kreativität ein.
wie form ich [mm] |b_n-a| [/mm] um, damit das was ich zur Vefügung hab vorkommt.
und mit einiger Erfahrung kommt man dann darauf [mm] -a_n+a_n=0 [/mm] einzufügen.
danach liegt die Dreiecksungl. nahe.
und wenn ich jetzt noch [mm] \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon/2 [/mm] nehme und N=max(N1,N2)
dann hab ich mein Ziel erreicht.
und was du dir vorstellen sollst: wenn [mm] a_n [/mm] ganz nah an a und [mm] b_n [/mm] ganz nah an [mm] a_n [/mm] ist, dann muss [mm] b_n [/mm] auch ganz nach an a liegen
aber das was man sich "anschaulich" vorstellt, muss man eben durch die Rechnung geau zeigen.
Gruss leduart
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