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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Tobi86 |
| Aufgabe | Sei a ≥ 0 eine vorgegebene Zahl. Die Folge (an)n∈N sei rekursiv definiert
durch a1 := a und an+1 := 1/2(an + a/an ) . Beweisen Sie, dass die Folge
konvergiert, indem Sie
a)an ≥ a für alle n ∈ N nachweisen
b)nachweisen, dass (an)n∈N monoton fällt |
Hallo, ich weiß nicht wirklich wie ich an diese aufgabe rangehen soll. als ich aufgabenteil b bearbeitet hatte,merkte ich zudem,dass ich eigentlich aufgabenteil a gemacht habe,d.h. das ergebnis von b war eigentlich das von a!
aufgabenteil a,vorgehensweise:
[mm] a_{n+1} \ge \wurzel{a}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}(a_{n}+ \bruch{a}{an}) [/mm] - [mm] \wurzel{a}\ge [/mm] 0
hab dann quadriert,auf beiden mit 4 multipliziert und die [mm] a_{n} [/mm] auf die andere seite gebracht:
[mm] a_{n}^2\ge [/mm] 3a
hab dann noch die wurzel gezogen! aber irgendwie komm ich dann nicht auf das ergebnis
jetzt zu b)
soweit das gleiche wie bei a) ,hab also auf der rechten seite noch mal das [mm] a_{n+1} [/mm] und links [mm] a_{n} [/mm]
hab dann die 2 auf die andere seite [mm] gebracht,a_{n} [/mm] von der rechten auf die linke seite gezogen den nenner auf die rechte seite gebracht hab. somit steht nun da: [mm] a\le a_{n}^2 [/mm]
müsste dann nur noch die wurzel ziehen. danach bin ich auf das ergebnis von aufgabenteil a) gekommen,aber was hab ich nun falsch gemacht??
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> Sei a ≥ 0 eine vorgegebene Zahl. Die Folge
> (an)n∈N sei rekursiv definiert
> durch a1 := a und an+1 := 1/2(an + a/an ) . Beweisen Sie,
> dass die Folge
> konvergiert, indem Sie
> a)an ≥ a für alle n ∈ N nachweisen
> b)nachweisen, dass (an)n∈N monoton fällt
Hallo,
ich bitte Dich, Dich mit dem Formeleditor vertraut zu machen, Eingabehilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters und Du Klick auf "Vorschau" kannst Du sehen, ob alles so geworden ist, wie Du wolltest.
Ich empfinde dies als ein Form der Höflichkeit gegenüber dem Leser, außerdem erhöht die leserlcihkeit Deine Chance auf Antwort.
Ich habe ja ganz stark den Verdacht, daß Du die Aufgabe verkehrt gepostet hast.
Sollst Du vielleicht eher zeigen, daß [mm] a_n^2\ge [/mm] a gilt???
> aufgabenteil a,vorgehensweise:
> [mm]a_{n+1} \ge \wurzel{a}[/mm]
Hier bin ich fürchtbar skeptisch: ist die Wurzel bei Euch denn schon eingeführt???
Eigentlich sol deren Existenz gerade mit dieser Aufgabe gezeigt werden...
Bevor Du Dich über [mm] a_n^2\ge [/mm] a hermachst, ist es sinnvoll, daß Du [mm] a_n\ge [/mm] 0 zeigst.
Dann ein Induktionsbeweis, in welchem Du zeigst, daß [mm] a_n^2 [/mm] - [mm] a\ge [/mm] 0 gilt.
> jetzt zu b)
Du sollst zeigen, daß für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt: [mm] a_{n+1}\le a_n, [/mm] also [mm] a_n-a_{n+1} \ge [/mm] 0.
Das kannst Du einfach berechnen unter Verwendung des Resultats v. a).
Wenn Du beides gezeigt hast, weißt Du, daß die Folge einen Grenzwert hat, und dieses sichert Dir die Existenz der Quadratwurzel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Tobi86 |
wo liegt denn der unterschied zwischen [mm] a_{n}\ge \wurzel{a} [/mm] und [mm] a_{n}^2 \ge [/mm] a?? ich wenn die 2.version quadriere würde ich doch auf die erste kommen! ja,die wurzel wurde bei uns schon eingeführt,war aber eher ein randthema!
wie sollte ich denn zeigen,dass [mm] a_{n}\ge [/mm] 0 ist,wenn ich doch [mm] a_{n+1} [/mm] nur habe? ich könnte aus [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 schließen,dass auch [mm] a_{n+1}\ge [/mm] 0 wäre,aber doch nicht umgekehrt!
mir wäre es hilfreich,wenn ich noch den einen oder anderen tipp bekommen könnte,damit ich diese aufgabe gelöst bekomme!
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> wo liegt denn der unterschied zwischen [mm]a_{n}\ge \wurzel{a}[/mm]
> und [mm]a_{n}^2 \ge[/mm] a??
Aber es sollte so heißen, wie ich sage, oder?
> ich wenn die 2.version quadriere würde
> ich doch auf die erste kommen! ja,die wurzel wurde bei uns
> schon eingeführt,war aber eher ein randthema!
Zum einen ging ich davon aus, daß die Wurzel noch nicht eingeführt ist, und solange das nicht der Fall ist, steht es in den Sternen, ob es so eine Zahl mit [mm] x^2=a [/mm] überhaupt gibt.
Dann ist es so, daß [mm] a_{n}^2 \ge[/mm] [/mm] a nicht äquivalent ist zu [mm] a_{n}\ge \wurzel{a}, [/mm] das liefert ein zweites mögliches Problem - welches man aber in Griff kriegen könnte.
Daß Du mit Deiner Rechnerei nicht zum Ziel gekommen bist, scheint mir nur daran zu liegen, daß Du es ungeschickt angestellt hast.
Du mußt halt [mm] a_{n+1}-\wurzel{a}\ge...\ge... [/mm] richtig abschätzen, bis Du am Ende [mm] ...\ge [/mm] 0 dastehen hast.
Das Quadrieren führt Dich in eine Sackgasse, denn dadurch verlierst Du u.U. Informationen.
> Dann ist [mm] a_{n}^2 \ge[/mm] [/mm] a
> wie sollte ich denn zeigen,dass [mm]a_{n}\ge[/mm] 0 ist,wenn ich
> doch [mm]a_{n+1}[/mm] nur habe?
????
Du hast [mm] a_0:=a, [/mm] und die anderen dann Folgenglieder rekursiv.
Du kannst das per Induktion zeigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Tobi86 |
jetzt check ich gar nichts mehr,tut mir leid...am besten muss man wieder am anfang beginnen,d.h. ich soll doch nachweisen,dass [mm] a_{n} \ge \wurzel{a} [/mm] ist.
wenn ich es nun halbwegs richtig verstanden habe,soll ich jetzt so vorgehen:
1.per vollständiger induktion beweisen,dass [mm] a_{n} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 0 sein soll
und wie geht es dann weiter?
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> jetzt check ich gar nichts mehr,tut mir leid..
Du hüllst Dich immer noch in Schweigen wg. der Aufgabenstellung, obgleich in nun bereits zweimal nachgefragt habe.
Na gut. Ich gehe nun davon aus, daß Deine Aufgabe heißen soll [mm] "a_n\ge \wurzel{a}", [/mm] wenn die Wurzel bereits eingeführt ist, ist das ja kein Problem. (Ist Dir eigentlich klar, daß Du eine Zwitter zw. meiner und Deiner Variante gepostet hast???)
1. Zeige per Induktion, daß [mm] a_n \ge [/mm] 0 für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
2. Zeige, daß [mm] a_n \ge \wurzel{a}
[/mm]
Das kannst Du durch Einsetzen der Rekursion machen, Du wirst 1. und die binomischen Formeln benötigen, wenn ich mich nicht sehr täusche.
3. Zeige unter Verwendung v. 2, daß für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}\ge [/mm] 0
Wenn Du das hast, weißt Du, daß Deine Folge einen Grenzwert hat, Du mußt ihn dann nur noch ausrechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Tobi86 |
jetzt hab ich nur noch eine frage,was soll ich unter rekursion verstehen?? in der vorlesung wurde das wort "rekursion" meines wissens nicht einmal erwähnt bzw. dass wir sie einmal benutzt hätten
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> jetzt hab ich nur noch eine frage,was soll ich unter
> rekursion verstehen?? in der vorlesung wurde das wort
> "rekursion" meines wissens nicht einmal erwähnt bzw. dass
> wir sie einmal benutzt hätten
Damit ist gemeint, daß die Folgenglieder jeweils durch Rückgriff aufs vorhergehende definiert sind.
Gruß v. Angela
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