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| Aufgabe | | Grenzwert der Folge [mm] \bruch{7^{n}}{2^{n}+7^{n}} [/mm] |
Hallo,
ich will den Grenzwert der Folge [mm] \bruch{7^{n}}{2^{n}+7^{n}} [/mm] berechnen. Ich vermute, dass er 1 ist. Was ich bisher getan habe:
1. nach oben abgeschätzt durch 1:
[mm] \bruch{7^{n}}{2^{n}+7^{n}} \le \bruch{2^{n}+7^{n}}{2^{n}+7^{n}} [/mm] = 1
2. gezeigt, dass die Folge monoton wachsend ist:
[elementare rechnung, überspringe ich]
3. (noch zu zeigen) Der Grenzwert ist wirklich 1 und nicht echt kleiner 1.
Hier hänge ich. Hat jemand einen Tipp wie ich das machen könnte?
Eine Idee wäre, es zu
[mm] 1-\bruch{2^{n}}{2^{n}+7^{n}}
[/mm]
umzuformen und zu zeigen, dass das gegen 0 geht. Aber auch hier komme ich nicht weiter.
Für irgendwelche Tipps wäre ich sehr dankbar.
Gruß.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Thomas!
Klammere in Zähler und Nenner jeweils [mm] $7^n$ [/mm] aus und kürze.
Der verbleibende Bruch lässt den Grenzwert dann schnell erkennen.
Gruß vom
Roadrunner
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boah, manchmal ist das naheliegende zu einfach um draufzukommen...
danke!
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Hallo mathe-thomas,
ergänzend und nur, um deinen Weg weiterzuführen:
> Grenzwert der Folge [mm]\bruch{7^{n}}{2^{n}+7^{n}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich will den Grenzwert der Folge [mm]\bruch{7^{n}}{2^{n}+7^{n}}[/mm]
> berechnen. Ich vermute, dass er 1 ist. Was ich bisher getan
> habe:
>
> 1. nach oben abgeschätzt durch 1:
> [mm]\bruch{7^{n}}{2^{n}+7^{n}} \le \bruch{2^{n}+7^{n}}{2^{n}+7^{n}}[/mm]
> = 1
>
> 2. gezeigt, dass die Folge monoton wachsend ist:
> [elementare rechnung, überspringe ich]
Damit hast du Konvergenz!
>
> 3. (noch zu zeigen) Der Grenzwert ist wirklich 1 und nicht
> echt kleiner 1.
> Hier hänge ich. Hat jemand einen Tipp wie ich das machen
> könnte?
>
>
> Eine Idee wäre, es zu
> [mm]1-\bruch{2^{n}}{2^{n}+7^{n}}[/mm]
> umzuformen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gute Idee!
> und zu zeigen, dass das gegen 0 geht.
Du meinst, dass der hintere Teil gegen 0 geht.
> Aber auch hier komme ich nicht weiter.
Ausklammern hilft wieder:
[mm]1-\frac{2^n}{2^n+7^n}=1-\frac{2^n}{2^n\cdot{}\left[1+\left(\frac{7}{2}\right)^n\right]}[/mm]
Hier nun einmal [mm]2^n[/mm] weghauen und du siehst beim Grenzübergang [mm]n\to\infty[/mm] genau wie in Roadrunners Variante den GW direkt!
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> Für irgendwelche Tipps wäre ich sehr dankbar.
>
> Gruß.
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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