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Folge ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Mo 31.07.2017
Autor: Trikolon

Hallo,

mal eine blöde Frage: kann man Folgen ableiten? Weil die ja nur auf [mm] \IN [/mm] definiert sind. Also man kein Vollständigkeitsaxiom zur Verfügung hat. Und wie sieht es aus mit Reihen?

Z.B. Ganz banal die Folge [mm] x_n=n^2. [/mm] Wäre dann die Anleitung 2n?

        
Bezug
Folge ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Mo 31.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> mal eine blöde Frage: kann man Folgen ableiten? Weil die
> ja nur auf [mm]\IN[/mm] definiert sind. Also man kein
> Vollständigkeitsaxiom zur Verfügung hat. Und wie sieht es
> aus mit Reihen?

>

> Z.B. Ganz banal die Folge [mm]x_n=n^2.[/mm] Wäre dann die Anleitung
> 2n?

An deiner Frage sieht man eines ganz deutlich: dir ist die Bedeutung der Ableitung nicht klar. Es handelt sich dabei keineswegs um einen Formalismus mit dem Ziel, eine Ableitungsfunktion zu gewinnen (das ist ja nur eine prima Nebeneffekt, dass man diese Formalismen hat), sondern wie du selbst angedeutet hast ist eine Ableitung immer ein Grenzwert. Und zwar ein Grenzwert mit einer konkreten Bedeutung. Im einfachsten Fall einer Funktion f: [mm] \IR\to\IR [/mm] ist dies die momentane Änderungsrate einer Funktion.

Und wie soll eine Grenzwertbildung in [mm] \IN [/mm] aussehen?

Deine Frage zu Reihen ist zu unspezifisch. Wenn eine Reihe noch von einer Variablen abhängt, welche kein Reihenindex ist, dann geht das natürlich (im Fall von unendlichen Reihen natürlich nur im Falle der Konvergenz).

Welchen Hintergrund hat deine Frage?


Gruß, Diophant

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Folge ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Mo 31.07.2017
Autor: Trikolon

D.h  im Klartext: Auf den natürlichen Zahlen macht das Differenzieren keinen Sinn!?

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Folge ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mo 31.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> D.h im Klartext: Auf den natürlichen Zahlen macht das
> Differenzieren keinen Sinn!?

So ist es.

Gruß, Diophant

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Folge ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Mo 31.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

da auf teilweise beantwortet gestellt wurde nochmals eine Antwort.

> D.h im Klartext: Auf den natürlichen Zahlen macht das
> Differenzieren keinen Sinn!?

Überlege dir, weshalb du diese Frage überhaupt stellst. Wenn man - wie schon gesagt - sen Sinn des Differentierenz kennt, stellt sich diese Frage nicht.

Das entsprechnde Konzept für folgen wäre die relative Änderung, welche sich für zwei benachbarte Folgenglieder berechnet zu

[mm] \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n}[/mm]


Gruß, Diophant
 

Bezug
                        
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Folge ableiten: Definition der Differentiation
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:01 Di 01.08.2017
Autor: X3nion


> D.h  im Klartext: Auf den natürlichen Zahlen macht das
> Differenzieren keinen Sinn!?

Hallo Trikolon,
es ist nicht erlaubt!

Warum?

Die Definition für Differenzierbarkeit lautet:

Sei V eine Teilmenge der reellen Zahlen und f: V [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion. f heißt in einem Punkt x [mm] \in [/mm] V differenzierbar, falls x Häufungspunkt von V ist und der Grenzwert

f'(x) := [mm] \lim_{\xi \to x}_{\xi \in V \backslash \{x\}} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x} [/mm] existiert.


Nun, in deinem Beispiel haben wir den Salat ;-)

Sei die Folge [mm] x_{n} [/mm] = [mm] n^{2}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 gegeben.

Diese Folge können wir zwar als Funktion auffassen:

f: [mm] \IN \mapsto \IR_{+}, [/mm] n [mm] \rightarrow n^{2}. [/mm]

Der Definitionsbereich der Folge sind die natürlichen Zahlen, also D = [mm] \IN [/mm] (ich bezeichne mit [mm] \IN [/mm] die natürlichen Zahlen ohne die 0, also n = 1, 2, 3, ...)

Aber : Es existiert zu keinem k [mm] \in [/mm] D eine Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = k UND [mm] x_{n} \not= [/mm] k für alle n.

Mit anderen Worten: nehmen wir zum Beispiel k = 1. Die einzige gegen k = 1 konvergente Folge ist [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] = 1.
Hiermit ergibt sich aber im Differenzenquotienten folgendes mit [mm] \xi [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] = 1 und x = 1:

[mm] \frac{f(\xi) - f(x}{\xi - x} [/mm] = [mm] \frac{f(1) - f(1}{1 - 1} [/mm]

also identisch [mm] \frac{0}{0}, [/mm] und dieser Ausdruck ist nicht definiert.

Die Bedingung an die Differenzierbarkeit, dass k [mm] \in [/mm] D ein Häufungspunkt ist, ist somit für kein k [mm] \in [/mm] D gegeben.
Denn hiermit wäre garantiert, dass wenigstens eine Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} [/mm] = k und [mm] x_{n} \not= [/mm] k für alle n existiert.

Etwas verständlicher formuliert: Es muss für jedes k [mm] \in [/mm] D die Eigenschaft gegeben sein, dass mindestens eine Folge existiert, welche gegen k [mm] \in [/mm] D konvergiert, aber niemals identisch mit "k" ist.


Viele Grüße,
X3nion

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Folge ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:13 Di 01.08.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> mal eine blöde Frage: kann man Folgen ableiten? Weil die
> ja nur auf [mm]\IN[/mm] definiert sind.


Neben den schon gegebenen Antworten , folgender Aspekt: Du hast offenbar den Funktionengrenzwert [mm] $\lim_{x \to x_0}g(x)$ [/mm]  nicht verstanden.

Sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und  $g:D [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion. Die Definition von  [mm] $\lim_{x \to x_0}g(x)$ [/mm] verlangt, dass [mm] x_0 [/mm] ein Häufungspunkt des Definitionsbereiches  D ist.

Der Def. - Bereich einer Folge ist aber eine Teilmenge von [mm] \IZ, [/mm] hat also keine Häufungspunkte !



> Also man kein
> Vollständigkeitsaxiom zur Verfügung hat.


> Und wie sieht es
> aus mit Reihen?

Auch den Begriff "unendliche Reihe" hast Du nicht verdaut ! Eine unendliche Reihe ist eine Folge !


>
> Z.B. Ganz banal die Folge [mm]x_n=n^2.[/mm] Wäre dann die Anleitung
> 2n?


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