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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 So 18.07.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Folge [mm](\bruch{4^{n}}{n!})_{n \ge 1}[/mm] beschränkt ist. |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Bei rekursiv definierten Folgen weiß ich was zu machen ist, aber hier fehlt mir ein Ansatz.
Kann ich annehmen dass die Folge durch [mm]a[/mm] beschränkt ist, also muss für [mm]a=\bruch{4^{a}}{a!}[/mm] [mm]a=0[/mm] sein? Also ist die Folge durch 0 beschränkt? Die Idee dahinter ist die Folge als "rekursive Folge" zu betrachten und zu gucken welchen Wert a annehmen muss, damit das Folgeglied durch a beschränkt ist.
Ich könnte aber auch einfach sagen, dass die Folge z.B. durch -5 beschränkt ist, da [mm]n \in \IN , n \ge 1[/mm] und die Folge dadurch immer [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Aber ich bezweifel dass das die Lösung der Aufgabe ist.
lg
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Moin,
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](\bruch{4^{n}}{n!})_{n \ge 1}[/mm]
> beschränkt ist.
> Hallo,
> ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
> Bei rekursiv definierten Folgen weiß ich was zu machen
> ist, aber hier fehlt mir ein Ansatz.
>
> Kann ich annehmen dass die Folge durch [mm]a[/mm] beschränkt ist,
> also muss für [mm]a=\bruch{4^{a}}{a!}[/mm] [mm]a=0[/mm] sein? Also ist die
> Folge durch 0 beschränkt? Die Idee dahinter ist die Folge
> als "rekursive Folge" zu betrachten und zu gucken welchen
> Wert a annehmen muss, damit das Folgeglied durch a
> beschränkt ist.
>
> Ich könnte aber auch einfach sagen, dass die Folge z.B.
> durch -5 beschränkt ist, da [mm]n \in \IN , n \ge 1[/mm] und die
> Folge dadurch immer [mm]\ge[/mm] 0 ist.
> Aber ich bezweifel dass das die Lösung der Aufgabe ist.
Eine Folge ist genau dann beschränkt, wenn sie sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt ist.
D.h. du müsstest dann noch eine obere Schranke finden.
Tipp: Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Wenn du also zeigen kannst, dass die Folge konvergiert, bist du fertig.
Mein erster Gedanke war, die Reihe $ [mm] \sum a_n [/mm] $ zu betrachten. Ist diese Konvergent, so muss $ [mm] \lim a_n [/mm] = 0 $ sein.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 So 18.07.2010 | | Autor: | Lyrn |
Da habe ich noch eine Frage zu:
Es heißt ja, "Jede konvergente Folge ist beschränkt."
Ich versteh diese Definition aber nicht so wirklich. Weil wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie doch nach oben oder nach unten beschränkt. Oder stimmt das nicht?
z.B. ist die Folge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nach unten durch 0 beschränkt. Aber wodurch ist sie denn nach oben beschränkt?
lg
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Moin,
es ist doch $\ 0 < [mm] \frac{1}{n} \le [/mm] 1 $ für alle $ n [mm] \in \IN \setminus \{0\}$.
[/mm]
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 So 18.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Da habe ich noch eine Frage zu:
>
> Es heißt ja, "Jede konvergente Folge ist beschränkt."
>
> Ich versteh diese Definition aber nicht so wirklich. Weil
> wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie doch nach oben
> oder nach unten beschränkt. Oder stimmt das nicht?
>
> z.B. ist die Folge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nach unten durch 0
> beschränkt. Aber wodurch ist sie denn nach oben
> beschränkt?
Hallo,
bei Konvergenz liegen fast alle Elemente in einer Epsilon-Umgebung des Grenzwertes. Das ist ein nach oben und unten beschränktes Gebiet.
Außerhalb der Umgebung liegen nur endlich viele Zahlen. Klar?
Unter diesen endlich vielen Zahlen gibt es eine größte und eine kleinste, somit ist diese Teilmenge auch beschränkt.
Die Vereinigung zweier beschränkter Mengen ist selbstverständlich wieder beschränkt.
Gruß Abakus.
>
> lg
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