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| Aufgabe | Für eine Folge [mm] (x_k)_{k\in\IN_0} [/mm] positiver reeller Zahlen wird die Folge der geometrischen Mittel [mm] (b_n)_{n\in\IN_0} [/mm] betrachtet, wobei [mm] b_n [/mm] := [mm] \wurzel[n+1]{\produkt_{k=0}^{n}x_k}.
[/mm]
Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Implikation:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_k [/mm] existiert und ist ungleich 0 => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] existiert |
Hallo!
Ich habe mich bereits ein wenig an der Aufgabe versucht und weiß nur nicht so ganz, ob ich das alles denn so machen darf:
Wenn der Limes von [mm] x_k [/mm] existiert und ungleich 0 ist, bedeutet das ja erstmal : [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_k [/mm] = x [mm] \not= [/mm] 0
Nun kann man ja mal den Logarithmus auf [mm] b_n [/mm] anwenden (wurde mir geraten):
log( [mm] \wurzel[n+1]{\produkt_{k=0}^{n}x_k} [/mm] ) = [mm] \bruch{1}{n+1}*\summe_{k=0}^{n}log(x_k)
[/mm]
Betrachten wir nun den Limes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] log( [mm] \wurzel[n+1]{\produkt_{k=0}^{n}x_k} [/mm] ) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}*\summe_{k=0}^{n}log(x_k)
[/mm]
[mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}\summe_{k=0}^{n}log(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)log(x)}{n+1} [/mm] = log(x)
(uns wurde als Tipp folgendes genannt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}x_k \le \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}x [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n*x}{n} [/mm] = x ; wobei x den Grenzwert der Folge [mm] x_k [/mm] bezeichnet)
Also steht da nochmal in Kürze:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] log( [mm] \wurzel[n+1]{\produkt_{k=0}^{n}x_k} [/mm] )
[mm] \le [/mm] log(x)
So und wenn ich doch den Logarithmus einfach anwenden darf, dann kann ich ja auch die Umkehrfunktion [mm] e^{()} [/mm] benutzen (oder?). Dann steht da:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{(log( \wurzel[n+1]{\produkt_{k=0}^{n}x_k}))} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n+1]{\produkt_{k=0}^{n}x_k} \le e^{log(x)}= [/mm] x ...also wird der Grenzwert von [mm] b_n [/mm] durch x, also den Grenzwert von [mm] x_k [/mm] beschränkt und demnach ist [mm] b_n [/mm] ja auch konvergent.
Würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob das so in Ordnung ist und wenn nicht, was ich zu verbessern/zu überdenken habe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 05.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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