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ich habe 2 Folgen gegeben
[mm] a_{} [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + .... + [mm] a_n
[/mm]
konvergiert gegen x
und
[mm] A_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] * [mm] (a_1 [/mm] + .... + [mm] a_n)
[/mm]
konvergiert ebenfalls gegen x
nun soll ich eine Folge [mm] a_{n} [/mm] finden, für die die Folge [mm] A_{n} [/mm] divergiert
mein Vorschlag ist:
[mm] a_{n2} [/mm] = [mm] n^{\frac{1}{n}} [/mm] * [mm] (a_1 [/mm] + .... + [mm] a_n)
[/mm]
stimmt das? was habt ihr für Vorschläge?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rosapanther,
> ich habe 2 Folgen gegeben
> [mm]a_{}[/mm] = [mm]a_1[/mm] + .... + [mm]a_n[/mm]
> konvergiert gegen x
>
> und
> [mm]A_{n}[/mm] = [mm]\frac{1}{n}[/mm] * [mm](a_1[/mm] + .... + [mm]a_n)[/mm]
> konvergiert ebenfalls gegen x
Ja, wenn [mm] a_n [/mm] das tut, muss [mm] A_n [/mm] es auch tun. Das kann man beweisen. Vielleicht solltest Du damit anfangen.
edit: Ich sehe gerade, dass Du damit hier schon beschäftigt bist.
> nun soll ich eine Folge [mm]a_{n}[/mm] finden, für die die Folge
> [mm]A_{n}[/mm] divergiert
Das ist genau dann der Fall, wenn [mm] a_n [/mm] gegen [mm] \pm\infty [/mm] divergiert.
> mein Vorschlag ist:
> [mm]a_{n2}[/mm] = [mm]n^{\frac{1}{n}}[/mm] * [mm](a_1[/mm] + .... + [mm]a_n)[/mm]
>
> stimmt das? was habt ihr für Vorschläge?
Das scheint mir unnötig kompliziert.
[mm] a_n=n [/mm] reicht völlig.
Grüße
reverend
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kennst du auch eine divergente Folge [mm] a_{n} [/mm] für die die Folge [mm] A_{n} [/mm] konvergiert?
und wenn [mm] a_{n} [/mm] = n ist ist [mm] A_{n}= \frac{n}{n} [/mm] oder? und dann würde [mm] A_{n} [/mm] ja gegen 1 konvergieren oder?
LG
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Hallo,
> kennst du auch eine divergente Folge [mm]a_{n}[/mm] für die die
> Folge [mm]A_{n}[/mm] konvergiert?
Wie wäre es mit der Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n=(-1)^n[/mm] ?
>
> und wenn [mm]a_{n}[/mm] = n ist ist [mm]A_{n}= \frac{n}{n}[/mm] oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> und
> dann würde [mm]A_{n}[/mm] ja gegen 1 konvergieren oder?
Würde es, aber was ist denn [mm]a_1+a_2+...+a_n[/mm], wenn [mm]a_n=n[/mm] ist?
Ihr hattet sicher eine Formel für die Summe der ersten n nat. Zahlen!
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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> Hallo,
>
> > kennst du auch eine divergente Folge [mm]a_{n}[/mm] für die die
> > Folge [mm]A_{n}[/mm] konvergiert?
>
> Wie wäre es mit der Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n=(-1)^n[/mm]
> ?
>
ja das kann ich nochvollziehen
> >
> > und wenn [mm]a_{n}[/mm] = n ist ist [mm]A_{n}= \frac{n}{n}[/mm] oder?
>
>
> > und
> > dann würde [mm]A_{n}[/mm] ja gegen 1 konvergieren oder?
>
> Würde es, aber was ist denn [mm]a_1+a_2+...+a_n[/mm], wenn [mm]a_n=n[/mm]
> ist?
>
die Summe existiert dann nicht mehr oder besser gesagt es bleibt nur [mm] a_{n} [/mm] oder?
> Ihr hattet sicher eine Formel für die Summe der ersten n
> nat. Zahlen!
ich weiß leider nicht genau worauf die anpsielst.. meinst du etwas?
[mm] \summe_{i=1}^{n}n [/mm]
ich kann deinen Vorschlag nachvollziehen aber ich verstehe nciht wieso [mm] A_{n} [/mm] für [mm] a_{n} [/mm] = 1 nicht divergiert. Denn die Folge [mm] A_{n} [/mm] kann ich doch umschreiben zu [mm] a_{n} [/mm] * 1/n oder?
und wenn ich nun n für [mm] a_{n} [/mm] einsetze bleibt ja nur noch n/n
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Hallo nochmal,
> > Hallo,
> >
> > > kennst du auch eine divergente Folge [mm]a_{n}[/mm] für die die
> > > Folge [mm]A_{n}[/mm] konvergiert?
> >
> > Wie wäre es mit der Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]a_n=(-1)^n[/mm]
> > ?
> >
>
> ja das kann ich nochvollziehen
Gut!
> > >
> > > und wenn [mm]a_{n}[/mm] = n ist ist [mm]A_{n}= \frac{n}{n}[/mm] oder?
> >
> >
> > > und
> > > dann würde [mm]A_{n}[/mm] ja gegen 1 konvergieren oder?
> >
> > Würde es, aber was ist denn [mm]a_1+a_2+...+a_n[/mm], wenn [mm]a_n=n[/mm]
> > ist?
> >
>
> die Summe existiert dann nicht mehr oder besser gesagt es
> bleibt nur [mm]a_{n}[/mm] oder?
> > Ihr hattet sicher eine Formel für die Summe der ersten
> n
> > nat. Zahlen!
> ich weiß leider nicht genau worauf die anpsielst.. meinst
> du etwas?
> [mm]\summe_{i=1}^{n}n[/mm]
Da würdest du n mal das n in der Summe aufsummieren, das hängt ja nicht vom Laufindex i ab. Das wäre dann [mm]\underbrace{n+n+n+n...+n}_{n-mal}=n^2[/mm] - das ist aber Quark - siehe weiter unten
>
> ich kann deinen Vorschlag nachvollziehen aber ich verstehe
> nciht wieso [mm]A_{n}[/mm] für [mm]a_{n}[/mm] = 1 nicht divergiert. Denn die
> Folge [mm]A_{n}[/mm] kann ich doch umschreiben zu [mm]a_{n}[/mm] * 1/n oder?
> und wenn ich nun n für [mm]a_{n}[/mm] einsetze bleibt ja nur noch
> n/n
Hmm, wenn [mm]a_n=n[/mm] ist, so ist [mm]a_1=1, a_2=2, a_3=3[/mm] usw.
Also [mm]a_1+a_2+a_3+...+a_n=1+2+3+...+n=\sum\limits_{i=1}^n\red i=...[/mm]
Gruß
schachuzipus
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und wie stelle ich [mm] (-1)^{n} [/mm] dann in solch einer Summenformel da?
etwa: [mm] \summe_{i=1}^{n}-1^{i} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mo 09.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> und wie stelle ich [mm](-1)^{n}[/mm] dann in solch einer
> Summenformel da?
> etwa: [mm]\summe_{i=1}^{n}-1^{i}[/mm] ?
Sorry, habe nicht das ganze gelesen.
Kann gelöscht werden!
DieAcht
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:29 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > und wie stelle ich [mm](-1)^{n}[/mm] dann in solch einer
> > Summenformel da?
> > etwa: [mm]\summe_{i=1}^{n}-1^{i}[/mm] ?
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}[/mm]
für
[mm] $n=1\,$ [/mm] kommt -1 raus,
aber schon für
[mm] $n=2\,$ [/mm] kommt 0 raus! 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> und wie stelle ich [mm](-1)^{n}[/mm] dann in solch einer
> Summenformel da?
> etwa: [mm]\summe_{i=1}^{n}-1^{i}[/mm] ?
wozu brauchst Du das? Aber wenn Du es wissen willst:
[mm] ${(-1)}^n\,=\,-1\;+2*\;\sum_{k=0}^n (-1)^k\,.$
[/mm]
Der Grund ist einfach:
Für ungerades [mm] $n\,$ [/mm] ist
[mm] $\sum_{k=0}^n (-1)^k=0\,,$
[/mm]
für gerades [mm] $n\,$ [/mm] ist
[mm] $\sum_{k=0}^n (-1)^k=\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k}_{=0}+(-1)^n=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > und wie stelle ich [mm](-1)^{n}[/mm] dann in solch einer
> > Summenformel da?
> > etwa: [mm]\summe_{i=1}^{n}-1^{i}[/mm] ?
>
> wozu brauchst Du das?
weil es mich interessiert
Aber wenn Du es wissen willst:
>
> [mm]{(-1)}^n\,=\,-1\;+2*\;\sum_{k=0}^n (-1)^k\,.[/mm]
aber wieso? wenn ich jetzt 2 einsetzte erhalte ich auf der linken Seite [mm] (-1)^2 [/mm] = 1 und auf der rechten Seite: -1 + 2*(-1-1+1) = -1-2 =-3 das sind doch vollkommen unterschiedliche Werte
>
> Der Grund ist einfach:
> Für ungerades [mm]n\,[/mm] ist
>
> [mm]\sum_{k=0}^n (-1)^k=0\,,[/mm]
>
> für gerades [mm]n\,[/mm] ist
>
> [mm]\sum_{k=0}^n (-1)^k=\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k}_{=0}+(-1)^n=1\,.[/mm]
wieso ist der eine Teil eh =0? wenn wenn ich z.B. ein gerades n=2 einsetze erhalte ich doch -1-1=-2 und das ist ja nicht null
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > und wie stelle ich [mm](-1)^{n}[/mm] dann in solch einer
> > > Summenformel da?
> > > etwa: [mm]\summe_{i=1}^{n}-1^{i}[/mm] ?
> >
> > wozu brauchst Du das?
> weil es mich interessiert
> Aber wenn Du es wissen willst:
> >
> > [mm]{(-1)}^n\,=\,-1\;+2*\;\sum_{k=0}^n (-1)^k\,.[/mm]
>
> aber wieso? wenn ich jetzt 2 einsetzte erhalte ich auf der
> linken Seite [mm](-1)^2[/mm] = 1 und auf der rechten Seite: -1 +
> 2*(-1-1+1) = -1-2 =-3 das sind doch vollkommen
> unterschiedliche Werte
naja, wenn man falsch rechnet, kommt was falsches raus:
[mm] $(-1)^2=1$ [/mm] stimmt, aber es gilt auf der rechten Seite
[mm] $-1+2*\sum_{k=0}^2 (-1)^k=-1+2*((-1)^0+(-1)^1+(-1)^2)=-1+2*(1-1+1)=-1+2*1=1\,,$
[/mm]
passt also!
> > Der Grund ist einfach:
> > Für ungerades [mm]n\,[/mm] ist
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^n (-1)^k=0\,,[/mm]
> >
> > für gerades [mm]n\,[/mm] ist
> >
> > [mm]\sum_{k=0}^n (-1)^k=\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k}_{=0}+(-1)^n=1\,.[/mm]
>
> wieso ist der eine Teil eh =0?
Nur, wenn [mm] $n\,$ [/mm] gerade ist - und das gilt dann - beachte, dass [mm] $n-1\,$ [/mm] dann
ungerade ist - wegen der vorangegangenen Feststellung!
> wenn wenn ich z.B. ein
> gerades n=2 einsetze erhalte ich doch -1-1=-2 und das ist
> ja nicht null
Übe den Umgang mit dem Summenzeichen nochmal:
[mm] $s(n):=\sum_{k=0}^n (-1)^k$ [/mm] ist
für [mm] $n=0\,$ [/mm] ausgeschrieben [mm] $s(n)=(-1)^0=1\,,$
[/mm]
für [mm] $n=1\,$ [/mm] ausgeschrieben [mm] $s(n)=(-1)^0+(-1)^1=1-1=0\,,$
[/mm]
für [mm] $n=2\,$ [/mm] ausgeschrieben [mm] $s(n)=\underbrace{(-1)^0+(-1)^1}_{=0}+(-1)^2=0+1=1\,,$
[/mm]
für [mm] $n=3\,$ [/mm] ausgeschrieben [mm] $s(n)=\underbrace{(-1)^0+(-1)^1+(-1)^2}_{=1}+(-1)^3=1-1=0\,,$
[/mm]
etc. pp.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> und wie stelle ich [mm](-1)^{n}[/mm] dann in solch einer
> Summenformel da?
> etwa: [mm]\summe_{i=1}^{n}-1^{i}[/mm] ?
Du meinst sicher eher
[mm] $\summe_{i=1}^{n}\red{(}-1\red{)}^{i}$
[/mm]
(auch, wenn das trotzdem falsch ist - beachte bitte: [mm] $-1^i=-1\,$ [/mm] für alle $i [mm] \in \IN$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 20:26 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo rosapanther,
>
> > ich habe 2 Folgen gegeben
> > [mm]a_{}[/mm] = [mm]a_1[/mm] + .... + [mm]a_n[/mm]
> > konvergiert gegen x
> >
> > und
> > [mm]A_{n}[/mm] = [mm]\frac{1}{n}[/mm] * [mm](a_1[/mm] + .... + [mm]a_n)[/mm]
> > konvergiert ebenfalls gegen x
>
> Ja, wenn [mm]a_n[/mm] das tut, muss [mm]A_n[/mm] es auch tun. Das kann man
> beweisen. Vielleicht solltest Du damit anfangen.
>
> edit: Ich sehe gerade, dass Du damit
> hier schon beschäftigt
> bist.
>
> > nun soll ich eine Folge [mm]a_{n}[/mm] finden, für die die Folge
> > [mm]A_{n}[/mm] divergiert
>
> Das ist genau dann der Fall, wenn [mm]a_n[/mm] gegen [mm]\pm\infty[/mm]
> divergiert.
das, was Du am Ende sagst, kann so nicht stimmen:
Nimm' [mm] $a_{2n-2}:=0$ [/mm] und [mm] $a_{2n-1}:=n$ [/mm] für $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
P.S. Man redet eigentlich besser nicht von der Folge [mm] $a_n\,,$ [/mm] sondern eher von
der Folge [mm] $(a_n)_n\,,$ [/mm] oder wenigstens [mm] $(a_n)\,.$ [/mm] Der Vorteil der Kurzsprechweise
ist eine reine Wortersparnis:
Anstatt "Wir betrachten die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=n$..." [/mm] kann
man dann kurz sagen: "Wir betrachten (die Folge) [mm] $a_n:=n$..."
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 23:01 Mo 09.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
danke für die Kontrolle.
> > > nun soll ich eine Folge [mm]a_{n}[/mm] finden, für die die Folge
> > > [mm]A_{n}[/mm] divergiert
> >
> > Das ist genau dann der Fall, wenn [mm]a_n[/mm] gegen [mm]\pm\infty[/mm]
> > divergiert.
>
> das, was Du am Ende sagst, kann so nicht stimmen:
> Nimm' [mm]a_{2n-2}:=0[/mm] und [mm]a_{2n-1}:=n[/mm] für [mm]n \in \IN\,.[/mm]
Ups, natürlich.
> P.S. Man redet eigentlich besser nicht von der Folge [mm]a_n\,,[/mm]
> sondern eher von
> der Folge [mm](a_n)_n\,,[/mm] oder wenigstens [mm](a_n)\,.[/mm] Der Vorteil
> der Kurzsprechweise
> ist eine reine Wortersparnis:
> Anstatt "Wir betrachten die Folge [mm](a_n)_n[/mm] definiert durch
> [mm]a_n:=n[/mm]..." kann
> man dann kurz sagen: "Wir betrachten (die Folge)
> [mm]a_n:=n[/mm]..."
Ja, auch wahr. Es ist die reine Bequemlichkeit, von der Folge [mm] a_n [/mm] zu reden, meist aber trotzdem unmissverständlich.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 00:15 Di 10.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> danke für die Kontrolle.
>
> > > > nun soll ich eine Folge [mm]a_{n}[/mm] finden, für die die Folge
> > > > [mm]A_{n}[/mm] divergiert
> > >
> > > Das ist genau dann der Fall, wenn [mm]a_n[/mm] gegen [mm]\pm\infty[/mm]
> > > divergiert.
> >
> > das, was Du am Ende sagst, kann so nicht stimmen:
> > Nimm' [mm]a_{2n-2}:=0[/mm] und [mm]a_{2n-1}:=n[/mm] für [mm]n \in \IN\,.[/mm]
>
> Ups, natürlich.
>
> > P.S. Man redet eigentlich besser nicht von der Folge [mm]a_n\,,[/mm]
> > sondern eher von
> > der Folge [mm](a_n)_n\,,[/mm] oder wenigstens [mm](a_n)\,.[/mm] Der
> Vorteil
> > der Kurzsprechweise
> > ist eine reine Wortersparnis:
> > Anstatt "Wir betrachten die Folge [mm](a_n)_n[/mm] definiert durch
> > [mm]a_n:=n[/mm]..." kann
> > man dann kurz sagen: "Wir betrachten (die Folge)
> > [mm]a_n:=n[/mm]..."
>
> Ja, auch wahr. Es ist die reine Bequemlichkeit, von der
> Folge [mm]a_n[/mm] zu reden, meist aber trotzdem
> unmissverständlich.
bei uns "alten Hasen" schon - aber gerade bei Studienbeginner bin ich da
lieber "argst" vorsichtig.
Gruß,
Marcel
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