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Folge finden-Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Mi 10.12.2014
Autor: mariem

Hallo,

wie kann ich, in einen Raum [mm] L^p, [/mm] eine Folge finden die in [mm] L^p [/mm] konvegiert aber nicht fast überall?


        
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Mi 10.12.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>
> wie kann ich, in einen Raum [mm]L^p,[/mm] eine Folge finden die in
> [mm]L^p[/mm] konvegiert aber nicht fast überall?

Das ist nicht einfach ! Wir betrachten [mm] L^p([0,1]). [/mm]

Weiter sei [mm] (I_n) [/mm] eine Folge von Intervallen:

[mm] I_1=[0,1], I_2=[0, \bruch{1}{2}), I_3=[\bruch{1}{2},1], I_4=[0,\bruch{1}{4}), I_5=[\bruch{1}{4},\bruch{1}{2}), [/mm] ......

Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] f_n:=1_{I_n} [/mm]

Zeige:

1. [mm] ||f_n||_p \to [/mm] 0  für n [mm] \to \infty. [/mm]

2. [mm] (f_n) [/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1]

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mi 10.12.2014
Autor: mariem


> Das ist nicht einfach ! Wir betrachten [mm]L^p([0,1]).[/mm]
>  
> Weiter sei [mm](I_n)[/mm] eine Folge von Intervallen:
>  
> [mm]I_1=[0,1], I_2=[0, \bruch{1}{2}), I_3=[\bruch{1}{2},1], I_4=[0,\bruch{1}{4}), I_5=[\bruch{1}{4},\bruch{1}{2}),[/mm]
> ......
>  
> Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]f_n:=1_{I_n}[/mm]
>  
> Zeige:
>  
> 1. [mm]||f_n||_p \to[/mm] 0  für n [mm]\to \infty.[/mm]
>  
> 2. [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1]
>  
> FRED
>  >  
>  

Ok...

1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von den Intervallen, das gleich 0 ist?

2. Es gibt immer ein Intervall [mm] I_k [/mm] sodass x [mm] \in I_k. [/mm] Also [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1].

Ist das richtig?

Bezug
                        
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mi 10.12.2014
Autor: fred97


> > Das ist nicht einfach ! Wir betrachten [mm]L^p([0,1]).[/mm]
>  >  
> > Weiter sei [mm](I_n)[/mm] eine Folge von Intervallen:
>  >  
> > [mm]I_1=[0,1], I_2=[0, \bruch{1}{2}), I_3=[\bruch{1}{2},1], I_4=[0,\bruch{1}{4}), I_5=[\bruch{1}{4},\bruch{1}{2}),[/mm]
> > ......
>  >  
> > Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]f_n:=1_{I_n}[/mm]
>  >  
> > Zeige:
>  >  
> > 1. [mm]||f_n||_p \to[/mm] 0  für n [mm]\to \infty.[/mm]
>  >  
> > 2. [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1]
>  >  
> > FRED
>  >  >  
> >  

>
> Ok...
>
> 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> den Intervallen, das gleich 0 ist?

Hä ???  Was ist f ? Es ist [mm] ||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n) [/mm]

[mm] \lambda_1 [/mm] = Lebesguemaß auf [mm] \IR [/mm]


>  
> 2. Es gibt immer ein Intervall [mm]I_k[/mm] sodass x [mm]\in I_k.[/mm]

Was willst Du uns damit sagen ?????

> Also
> [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1].


Was heißt hier "Also" ? Gezeigt hast Du nix. Derartige "Argumentationen" haben mit Marthematik nichts zu tun.

FRED

>  
> Ist das richtig?


Bezug
                                
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Mi 10.12.2014
Autor: mariem


> > 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> > den Intervallen, das gleich 0 ist?
>  
> Hä ???  Was ist f ? Es ist
> [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] = Lebesguemaß auf [mm]\IR[/mm]

[mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]

[mm] \overset{ n \rightarrow \infty }{\Longrightarrow} \lim_{n \rightarrow \infty } ||f_n||_p^p= \lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)[/mm]

Wie kann man zeigen dass  [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)=0[/mm] ?



> > 2. Es gibt immer ein Intervall [mm]I_k[/mm] sodass x [mm]\in I_k.[/mm]
>
> Was willst Du uns damit sagen ?????
>  
> > Also
> > [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1].
>  
>
> Was heißt hier "Also" ? Gezeigt hast Du nix. Derartige
> "Argumentationen" haben mit Marthematik nichts zu tun.

Gilt es nicht dass [mm]\forall x \in [0, 1], x \in I_k[/mm] für ein [mm]k[/mm]?

In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]. Also ist die Funktion nicht überall [mm]0[/mm].

Oder habe ich es falsch verstanden?

Bezug
                                        
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mi 10.12.2014
Autor: fred97


> > > 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> > > den Intervallen, das gleich 0 ist?
>  >  
> > Hä ???  Was ist f ? Es ist
> > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>  >  
> > [mm]\lambda_1[/mm] = Lebesguemaß auf [mm]\IR[/mm]
>
> [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>  
> [mm]\overset{ n \rightarrow \infty }{\Longrightarrow} \lim_{n \rightarrow \infty } ||f_n||_p^p= \lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)[/mm]
>  
> Wie kann man zeigen dass  [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)=0[/mm]

Schau Dir doch an, wie die [mm] I_n [/mm] definiert sind !!!!!


> ?
>  
>
>
> > > 2. Es gibt immer ein Intervall [mm]I_k[/mm] sodass x [mm]\in I_k.[/mm]
> >
> > Was willst Du uns damit sagen ?????
>  >  
> > > Also
> > > [mm](f_n)[/mm] konvergiert nicht f.ü. auf [0,1].
>  >  
> >
> > Was heißt hier "Also" ? Gezeigt hast Du nix. Derartige
> > "Argumentationen" haben mit Marthematik nichts zu tun.
>
> Gilt es nicht dass [mm]\forall x \in [0, 1], x \in I_k[/mm] für ein
> [mm]k[/mm]?

Doch das gilt.


>  
> In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]

Welche Funktion ???

> . Also ist die
> Funktion nicht überall [mm]0[/mm].

Welche Funktion ????

FRED

>  
> Oder habe ich es falsch verstanden?


Bezug
                                                
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Mi 10.12.2014
Autor: mariem


> > > > 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> > > > den Intervallen, das gleich 0 ist?
>  >  >  
> > > Hä ???  Was ist f ? Es ist
> > > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>  >  
> >  

> > > [mm]\lambda_1[/mm] = Lebesguemaß auf [mm]\IR[/mm]
> >
> > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>  >  
> > [mm]\overset{ n \rightarrow \infty }{\Longrightarrow} \lim_{n \rightarrow \infty } ||f_n||_p^p= \lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)[/mm]
>  
> >  

> > Wie kann man zeigen dass  [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)=0[/mm]
>
> Schau Dir doch an, wie die [mm]I_n[/mm] definiert sind !!!!!


Wenn [mm]n \rightarrow \infty[/mm] konvergiert die Länge des Intervalles zu [mm]0[/mm] ?





> > In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]
>  
> Welche Funktion ???
>  
> > . Also ist die
> > Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
>  
> Welche Funktion ????

Ich meine die [mm]f[/mm].

Bezug
                                                        
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Mi 10.12.2014
Autor: fred97


> > > > > 1. Ist das Integral von f in [0,1] gleich das Volumen von
> > > > > den Intervallen, das gleich 0 ist?
>  >  >  >  
> > > > Hä ???  Was ist f ? Es ist
> > > > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>  
> >  >  

> > >  

> > > > [mm]\lambda_1[/mm] = Lebesguemaß auf [mm]\IR[/mm]
> > >
> > > [mm]||f_n||_p^p=\integral_{I_n}^{}{1 dx}=\lambda_1(I_n)[/mm]
>  >  
> >  

> > > [mm]\overset{ n \rightarrow \infty }{\Longrightarrow} \lim_{n \rightarrow \infty } ||f_n||_p^p= \lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Wie kann man zeigen dass  [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}\lambda_1(I_n)=0[/mm]
> >
> > Schau Dir doch an, wie die [mm]I_n[/mm] definiert sind !!!!!
>
>
> Wenn [mm]n \rightarrow \infty[/mm] konvergiert die Länge des
> Intervalles zu [mm]0[/mm] ?

Ja, zeige das.


>  
>
>
>
>
> > > In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]
>  >  
> > Welche Funktion ???
>  >  
> > > . Also ist die
> > > Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
>  >  
> > Welche Funktion ????
>  
> Ich meine die [mm]f[/mm].

Welche f ? Ich habe Dir vorhin eine Folge [mm] (f_n) [/mm] von Funktionen angegeben.

Von [mm] (f_n) [/mm] sollst Du zeigen, dass [mm] (f_n) [/mm] auf [0,1] nicht fast überall konvergiert. Ist Dir eigentlich klar, was Du dazu zeigen musst ?

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Mi 10.12.2014
Autor: mariem

> > Wenn [mm]n \rightarrow \infty[/mm] konvergiert die Länge des
> > Intervalles zu [mm]0[/mm] ?
>  
> Ja, zeige das.


Wie kann ich das zeigen?


  

> > > > In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]
>  >  >  
> > > Welche Funktion ???
>  >  >  
> > > > . Also ist die
> > > > Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
>  >  >  
> > > Welche Funktion ????
>  >  
> > Ich meine die [mm]f[/mm].
>
> Welche f ? Ich habe Dir vorhin eine Folge [mm](f_n)[/mm] von
> Funktionen angegeben.
>  
> Von [mm](f_n)[/mm] sollst Du zeigen, dass [mm](f_n)[/mm] auf [0,1] nicht fast
> überall konvergiert. Ist Dir eigentlich klar, was Du dazu
> zeigen musst ?


Wie kann man das zeigen? Kannst du mir ein Tipp geben?


Bezug
                                                                        
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Mi 10.12.2014
Autor: fred97


>  > > Wenn [mm]n \rightarrow \infty[/mm] konvergiert die Länge des

> > > Intervalles zu [mm]0[/mm] ?
>  >  
> > Ja, zeige das.
>
>
> Wie kann ich das zeigen?

Ich habe den Eindruck, dass Dir nicht klar ist, wie die [mm] I_n [/mm] def. sind. Ich habe Dir [mm] I_1 [/mm] bis [mm] I_5 [/mm] genannt. Zum Test nennst Du jetzt

[mm] I_6,I_7 [/mm] und [mm] I_8. [/mm]


>  
>
>
> > > > > In diesen Punkt ist Funktion gleich [mm]1[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Welche Funktion ???
>  >  >  >  
> > > > > . Also ist die
> > > > > Funktion nicht überall [mm]0[/mm].
>  >  >  >  
> > > > Welche Funktion ????
>  >  >  
> > > Ich meine die [mm]f[/mm].
> >
> > Welche f ? Ich habe Dir vorhin eine Folge [mm](f_n)[/mm] von
> > Funktionen angegeben.
>  >  
> > Von [mm](f_n)[/mm] sollst Du zeigen, dass [mm](f_n)[/mm] auf [0,1] nicht fast
> > überall konvergiert. Ist Dir eigentlich klar, was Du dazu
> > zeigen musst ?
>
>
> Wie kann man das zeigen? Kannst du mir ein Tipp geben?

zeige: zu x [mm] \in [/mm] [0,1] gibt es eine Teilfolge [mm] (f_{n_j}) [/mm] von [mm] (f_n) [/mm] mit:

   [mm] f_{n_j}(x) \to [/mm] 1 (j [mm] \to \infty) [/mm]

FRED

>  


Bezug
                                                                                
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:05 Do 11.12.2014
Autor: mariem

> Ich habe den Eindruck, dass Dir nicht klar ist, wie die [mm]I_n[/mm]
> def. sind. Ich habe Dir [mm]I_1[/mm] bis [mm]I_5[/mm] genannt. Zum Test
> nennst Du jetzt
>  
> [mm]I_6,I_7[/mm] und [mm]I_8.[/mm]

[mm]I_6=[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}), I_7=[\frac{3}{4}, 1], I_8=[0, \frac{1}{8})[/mm]

Ist das richtig?





> zeige: zu x [mm]\in[/mm] [0,1] gibt es eine Teilfolge [mm](f_{n_j})[/mm] von
> [mm](f_n)[/mm] mit:
>  
> [mm]f_{n_j}(x) \to[/mm] 1 (j [mm]\to \infty)[/mm]  

Kannst du mir ein Tipp geben wie ich das zeigen kann?



Bezug
                                                                                        
Bezug
Folge finden-Konvergenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Sa 13.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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