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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 So 23.04.2017 | | Autor: | Austinn |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folge
[mm] a_{n}:=(\vektor{\bruch{n}{n^{2}+1} \\ \bruch{8n}{2n^{2}+2} \\ \bruch{5}{n^{3}+n}}) [/mm]
in [mm] V=\IR^{3} [/mm] mit der 1-Norm eine Nullfolge ist.
Gilt diese Aussage ebenfalls bezüglich der 2-Norm? |
Mein Ansatz:
[mm] a_{n}=|\bruch{n}{n^{2}+1}|+|\bruch{8n}{2n^{2}+2}|+|\bruch{5}{n^{3}+n}|
[/mm]
= [mm] |\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{8}{n}}{2+\bruch{2}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{5}{n^{3}}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|
[/mm]
= 0+0+0 = 0 [mm] \to [/mm] Nullfolge
Mit der 2-Norm wäre es doch dann auch eine Nullfolge, oder? Weil wenn ich x, y und z unter der Wurzel quadriere würde der Nenner trotzdem bei jedem stärker wachsen und die Wurzel aus 0 ist 0.
Ist mein Ansatz so richtig?
Danke!
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Hiho,
vorweg meine Zusammenfassung: Deine Idee ist richtig, für deine Notation hätte ich dir aber trotzdem 0 Punkte gegeben.
> [mm]a_{n}=|\bruch{n}{n^{2}+1}|+|\bruch{8n}{2n^{2}+2}|+|\bruch{5}{n^{3}+n}|[/mm]
[mm] a_n [/mm] ist ein Vektor! Rechts steht eine relle Zahl. Und Vektor = reelle Zahl ist totaler Blödsinn.
Was du meinst, ist:
[mm]\parallel a_{n} \parallel_1 =|\bruch{n}{n^{2}+1}|+|\bruch{8n}{2n^{2}+2}|+|\bruch{5}{n^{3}+n}|[/mm]
>= [mm]|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{8}{n}}{2+\bruch{2}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{5}{n^{3}}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|[/mm]
Gleich die nächste schreckliche Gleichung.
Links steht ein Term, der von n abhängt, rechts steht ein Ausdruck, der nicht mehr von n abhängt, weil du plötzlich Grenzwerte bildest.
Allein deswegen ist es schon falsch.
Was du meinst:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \parallel a_{n} \parallel_1 [/mm] = [mm] |\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{8}{n}}{2+\bruch{2}{n^{2}}})|+|\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{5}{n^{3}}}{1+\bruch{1}{n^{2}}})|$
[/mm]
> = 0+0+0 = 0 [mm]\to[/mm] Nullfolge
Das ist jetzt zwar eine Nullfolge, aber du meinst das falsche.
Du hast nun gezeigt, dass [mm] $\parallel a_{n} \parallel_1$ [/mm] eine Nullfolge (in [mm] $\IR$!) [/mm] ist, was bedeutet das für die Folge [mm] a_n [/mm] in [mm] $\IR^3$?
[/mm]
> Mit der 2-Norm wäre es doch dann auch eine Nullfolge,
> oder? Weil wenn ich x, y und z unter der Wurzel quadriere
> würde der Nenner trotzdem bei jedem stärker wachsen und
> die Wurzel aus 0 ist 0.
Ja.
Genauso wie du den Grenzwert in den Betrag ziehen kannst (warum eigentlich?), kannst du ihn in die Wurzel und das Quadrat reinziehen.
Grundsätzlich kannst du dir merken: Alle Normen im [mm] $\IR^n$ [/mm] sind äquivalent, daher konvergierte eine Folge entweder in allen Normen oder in gar keiner.
> Ist mein Ansatz so richtig?
Ja, aber nimm dir die Kritik zu Herzen wegen der Notation, ansonsten konvergiert deine Punktausbeute analog zu obiger Folge gegen Null.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mo 24.04.2017 | | Autor: | Austinn |
Hallo Gonozal_IX,
danke für Deine Antwort.
Was meinst Du mit:
> Das ist jetzt zwar eine Nullfolge, aber du meinst das falsche.
> Du hast nun gezeigt, dass [mm] \parallel a_{n} \parallel_1 [/mm] eine Nullfolge (in [mm] \IR!) [/mm]
> ist, was bedeutet das für die Folge [mm] a_n [/mm] in [mm] \IR^3?
[/mm]
Und wäre denn die Aufgabe jetzt abgesehen von der Notation nicht gelöst?
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Hiho,
> Und wäre denn die Aufgabe jetzt abgesehen von der Notation nicht gelöst?
jein 
Formeltechnisch gesehen ist sie gelöst… aber dir scheint das nicht klar zu sein.
Du hast bisher gezeigt: "Die 1-Norm der Folgenglieder konvergiert gegen 0".
Was du aber zeigen sollst, ist "Die Folge konvergiert bezüglich der 1-Norm gegen 0".
Mach dir mal klar, dass das zwei verschiedene Dinge sind!
Aus ersterem folgt aber zweiteres!
Stellen wir die Frage mal konkreter: Wann konvergiert eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] in [mm] $\IR^3$ [/mm] denn gegen einen Grenzwert $g$ bezüglich der 1-Norm?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mo 24.04.2017 | | Autor: | Austinn |
Eine Folge in [mm] \IR^{n} [/mm] konvergiert genau dann, wenn alle Komponentenfolgen (d.h. x, y und z?) in [mm] \IR [/mm] konvergieren.
D.h. in diesem Fall konvergieren ja alle Komponentenfolgen gegen 0, richtig?
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Hiho,
> Eine Folge in [mm]\IR^{n}[/mm] konvergiert genau dann, wenn alle
> Komponentenfolgen (d.h. x, y und z?) in [mm]\IR[/mm] konvergieren.
Ja, das ist nun aber wieder ein anderer Ansatz.
> D.h. in diesem Fall konvergieren ja alle Komponentenfolgen gegen 0, richtig?
Ja, und damit konvergiert die Gesamtfolge wogegen?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 24.04.2017 | | Autor: | Austinn |
Die Gesamtfolge konvergiert deshalb gegen 0 (Nullfolge)?
Weil das nun wieder ein falscher Ansatz von mir war, bleibt mir dir Frage offen,
> Wann konvergiert eine Folge $ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ in $ [mm] \IR^3 [/mm] $ denn gegen einen Grenzwert $ g $ bezüglich der 1-Norm?
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Hiho,
> Die Gesamtfolge konvergiert deshalb gegen 0 (Nullfolge)?
Gegen welche?
Du betrachtest eine Folge im [mm] $\IR^3$, [/mm] die Norm ist aber ein Element aus [mm] $\IR$. [/mm] Beide Räume haben eine "$0$"… dir scheint das nicht so ganz klar zu sein.
Daher noch mal konkret die Frage: Wogegen konvergiert [mm] $a_n$?
[/mm]
Als Tipp: Es ist NICHT [mm] $0\in\IR$
[/mm]
> Weil das nun wieder ein falscher Ansatz von mir war,
Er war nicht falsch, es war nur ein anderer:
> bleibt mir dir Frage offen,
> > Wann konvergiert eine Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IR^3[/mm]
> denn gegen einen Grenzwert [mm]g[/mm] bezüglich der 1-Norm?
Und genau daran haperte es also:
Eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n \in \IR^3$ [/mm] kann auch nur gegen einen Grenzwert [mm] $g\in\IR^3$ [/mm] konvergieren!
D.h. der Grenzwert muss immer in dem selben Raum liegen wie die Folgenglieder.
Nun gibt es äquivalente Aussagen für [mm] $\IR^n$, [/mm] wann eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] gegen g konvergiert:
1.) Jede Komponente von [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen die entsprechende Komponente von g (das war dein "anderer" Ansatz)
2.) Für eine beliebige p-Norm gilt: [mm] $||a_n [/mm] - [mm] g||_p$ [/mm] konvergiert gegen 0.
Da [mm] $||a_n [/mm] - [mm] g||_p \in \IR$ [/mm] gilt, ist hier also die $0 [mm] \in \IR$ [/mm] gemeint.
Und was ich dir genau klar machen wollte, erkläre ich dir, wenn du meine erste Frage beantwortet hast "Wogegen konvergiert [mm] $a_n$?"
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 24.04.2017 | | Autor: | Austinn |
Hallo Gonozal_IX ,
danke für deine Geduld. :D Leider blicke ich es gerade nicht durch.
Meinst du hier etwa den Nullvektor? Also [mm] a_{n} [/mm] konvergiert gegen [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Di 25.04.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Gonozal_IX ,
> danke für deine Geduld. :D Leider blicke ich es gerade
> nicht durch.
>
> Meinst du hier etwa den Nullvektor? Also [mm]a_{n}[/mm] konvergiert
> gegen [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
Ja, die Folge
$ [mm] a_{n}:=(\vektor{\bruch{n}{n^{2}+1} \\ \bruch{8n}{2n^{2}+2} \\ \bruch{5}{n^{3}+n}}) [/mm] $
konvergiert gegen [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm], weil jede Koordinatenfolge gegen 0 konvergiert.
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Hiho,
> Meinst du hier etwa den Nullvektor? Also [mm]a_{n}[/mm] konvergiert
> gegen [mm]\vektor{0 \\ 0 \\0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mach dir klar, dass das was anderes ist, als das, was du mit "0" meinst…
Du sollst nun ja eigentlich zeigen, dass [mm] a_n [/mm] bezüglich der 1-Norm gegen diesen Grenzwert konvergiert. D.h. rein formal wäre zu zeigen:
[mm] $\left|\left| a_n - \vektor{0 \\ 0 \\0}\right|\right|_1 \to [/mm] 0$
Das ist nun aber gerade (wegen des speziellen Grenzwerts!) dasselbe wie [mm] $||a_n||\to [/mm] 0$, was du gezeigt hast.
Gruß,
Gono
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