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Folge von Maßen: Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Do 09.05.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Sei [mm] (\mathcal{X}, \mathcal{A}) [/mm] ein messbarer Raum und sei [mm] (\mu_n)_{n \in \IN} [/mm]
eine Folge von Maßen [mm] \mu_n:X \to [0,\infty]. [/mm] Ferner sei [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge nichtnegativer Zahlen. Zeigen Sie, dass
[mm] \mu:=\summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n [/mm]
ein Maß ist.

Wäre bei [mm] \mu:=\summe_{i=1}^{\infty}\mu_n [/mm]
normalerweise beispielsweise die Subtraktivität, Subadditivität und dergleichen zu zeigen?

Wie genau verläuft dieser Beweis bei einer vorhandenen Folge [mm] a_n? [/mm]

        
Bezug
Folge von Maßen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Do 09.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Sei [mm](\mathcal{X}, \mathcal{A})[/mm] ein messbarer Raum und sei
> [mm](\mu_n)_{n \in \IN}[/mm]
>  eine Folge von Maßen [mm]\mu_n:X \to [0,\infty].[/mm]
> Ferner sei [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge nichtnegativer
> Zahlen. Zeigen Sie, dass
>  [mm]\mu:=\summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n[/mm]
>  ein Maß ist.
>  Wäre bei [mm]\mu:=\summe_{i=1}^{\infty}\mu_n[/mm]
>  normalerweise beispielsweise die Subtraktivität,
> Subadditivität und dergleichen zu zeigen?

Es reicht zwei Eigenschaften für den Maßbeweis nachzuweisen. Welche?

> Wie genau verläuft dieser Beweis bei einer vorhandenen
> Folge [mm]a_n?[/mm]  

Im großen und ganzen genauso wie ohne die [mm] $a_n$. [/mm]
Du benötigt einmal die Nichtnegativität für die Umordnung von Summanden (wieso?), ansonsten ist alles gleich.

Fang mal an!

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Folge von Maßen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Do 09.05.2019
Autor: TS85

Ich probiere es einfach mal:

z.z.:
1.) [mm] \mu (\emptyset)=0 [/mm]
2.) [mm] \sigma [/mm] -Additivität

Sei dazu A [mm] \in \mathcal{A}. [/mm]
Es gilt [mm] \mu_n [/mm] ist nichtnegativ, da alle [mm] a_n [/mm] und die [mm] \mu_n(A) [/mm] nichtnegativ sind [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm]

[mm] \mu [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n(A) \in \mathcal{A} [/mm]

zu 1.):
[mm] \mu (\emptyset) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n(\emptyset)=0, [/mm]
da [mm] \mu_n(\emptyset)=0 \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm]

zu 2.)
Sei [mm] (A_n)_{n=1}^{\infty} [/mm] paarweise disjunkt aus [mm] \mathcal{A}. [/mm]
[mm] \mu( (A_n)_{n=1}^{\infty}) [/mm] =  [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n( (A_n)_{n=1}^{\infty})=\summe_{n=1}^{\infty}a_n \summe_{n=1}^{\infty}\mu_n(A_n) [/mm]
[mm] =\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n(A_n)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu (A_n) [/mm]

q.e.d

Ist der Beweis richtig geführt und fehlt etwas in der Argumentationskette?

Bezug
                        
Bezug
Folge von Maßen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Do 09.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Ideen sind richtig und den Knackpunkt hast du mit fehlerhafter Notation gut übersprungen ;-)

> Ich probiere es einfach mal:
>  
> z.z.:
> 1.) [mm]\mu (\emptyset)=0[/mm]
>  2.) [mm]\sigma[/mm] -Additivität

[ok]

> Sei dazu A [mm]\in \mathcal{A}.[/mm]
>  Es gilt [mm]\mu_n[/mm] ist
> nichtnegativ, da alle [mm]a_n[/mm] und die [mm]\mu_n(A)[/mm] nichtnegativ
> sind [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
>  
> [mm]\mu[/mm] := [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n(A) \in \mathcal{A}[/mm]
>  
> zu 1.):
>  [mm]\mu (\emptyset)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n \mu_n(\emptyset)=0,[/mm]
>  
> da [mm]\mu_n(\emptyset)=0 \forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]

[ok]

> zu 2.)
>  Sei [mm](A_n)_{n=1}^{\infty}[/mm] paarweise disjunkt aus
> [mm]\mathcal{A}.[/mm]
>  [mm]\mu( (A_n)_{n=1}^{\infty})[/mm]

Du meinst sicherlich [mm] $\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)$ [/mm]
Sauber aufschreiben!

>  =  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n( (A_n)_{n=1}^{\infty})[/mm]

Und hier verwendest du jetzt einmal n als Laufindex für die Summe und einmal n als Laufindex für die Vereinigung (wenn du es sauber hinschreiben würdest).
Das geht nicht, benenne beide mit unterschiedlichen Buchstaben!


> [mm]=\summe_{n=1}^{\infty}a_n \summe_{n=1}^{\infty}\mu_n(A_n)[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n(A_n)=\summe_{n=1}^{\infty}\mu (A_n)[/mm]

Die Idee ist korrekt. Schreibe das bitte sauber auf mit korrekten Indexen, dann wirst du noch einen Schritt mehr benötigen, der die eigentliche Krux an dem Beweis ist....

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Folge von Maßen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Fr 10.05.2019
Autor: TS85

Was genau muss ich mir denn für den Schritt

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n \summe_{k=1}^{\infty}\mu_n(A_k)=\summe_{k=1}^{\infty}\summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n (A_k)=\summe_{k=1}^{\infty}\mu (A_k) [/mm]

ansehen? War deswegen von der Umordnung die Rede zu Beginn?

Bezug
                                        
Bezug
Folge von Maßen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Fr 10.05.2019
Autor: fred97


> Was genau muss ich mir denn für den Schritt
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n \summe_{k=1}^{\infty}\mu_n(A_k)=\summe_{k=1}^{\infty}\summe_{n=1}^{\infty}a_n \mu_n (A_k)=\summe_{k=1}^{\infty}\mu (A_k)[/mm]
>  
> ansehen?

Du vertauscht die Reihenfolge der Summationen


> War deswegen von der Umordnung die Rede zu Beginn?

Ja.




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