Folge von Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | Geben Sie ein Beispiel fü̈r folgende Situation an:
• Xn , X : Ω → R sind Zufallsvariable (n = 1, 2, , . . .).
• Fü̈r alle ω gilt Xn (ω) → X(ω).
• Für alle n existiert E(Xn ).
• E(X) existiert nicht.
Kurz: Die Eigenschaft "Der Erwartungswert existiert" bleibt bei punktweisen Limites nicht notwendig erhalten. (Tipp: Man kann Ω als N 0 mit der Poissonverteilung zu irgendeinem λ wä̈hlen.) |
Hallo zusammen,
Wir haben Folgen von Zufallsvariablen eigentlich gar nicht behandelt. Auch haben wir noch keine Zufallsvariable gesehen, welche keinen Erwartungswert hat. Ich bin deshalb ein wenig ratlos.
Ich habe schon versucht, mich mit Folgen von Zufallsvariablen zu befassen (z.B. durch Lesen von Artikel auf Wikipedia wie diesen ![[]](/images/popup.gif) hier), komme aber kaum weiter. Auch habe ich versucht, mir Zufallsvariable anzusehen, welche keinen Erwartungswert haben, wie die Cauchy-Verteilung oder die Slash-Verteilung.
Ich freue mich auf Eure Antworten, und bin für jeden Tipp dankbar.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
also Du hast den WRaum [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P) = [mm] (\IN_0, \mathcal{P}(\IN_0), \text{Poisson}(\lambda))$
[/mm]
D.h. der Erwartungswert von $X$ berechnet sich so:
[mm] $E(X)=\int_\Omega [/mm] X\ dP = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] X(k) [mm] \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
[/mm]
jetzt mußt Du Dir nur X(k) so konstruieren, daß da kein endlicher Wert rauskommt.
Und für die Folge [mm] $X_n$, [/mm] wo für jedes die Summe endlich sein soll, könntest die Partialsummen betrachten....
ciao
Stefan
PS:
Wieso [mm] $\Omega=\IN_0$? [/mm] Man braucht einen unendlichen Ergebnisraum, damit das ganze (d.h. unendliche Erwartungswerte) funktioniert, und [mm] $\IN_0$ [/mm] ist der einfachste.
Wieso [mm] $\text{Poisson}(\lambda)$. [/mm] Nun [mm] $\text{Uniform}(\IN_0)$ [/mm] geht nicht, weil es da keine Zähldichte gibt, also könnte man die Formel für den Erwartungswert nicht angeben. Poisson ist die nächst-einfachste Verteilung auf [mm] $\IN_0$. [/mm] =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 14.11.2010 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Stefan,
Vielen Dank für Deine schnelle Antwort! :)
Du hast mir genau den Denkanstoss gegeben, welchen ich gebraucht habe.
Ich habe heute morgen eine (sehr hübsche) Zuvallsvariable kreiert, welche keinen Erwartungswert hat. Es handelt sich bei dieser aber nicht um die Summe einer Reihe. Eine solche hat sich mir leider nicht gezeigt...
Die Folge Xn von Zufallsvariablen, welche ich entdeckt habe und welche gegen X punktweise konvergiert und dessen Elemente alle einen Erwartungswert haben, ist demnach eine echte Folge, und nicht die Partialsummenfolge einer Reihe.
Falls Du aber bereits eine Reihe von Zufallsvariablen gesehen hast, welche ebenfalls die Anforderungen erfüllt, so wäre ich sehr neugierig... :)
Einen schönen Sonntag,
Vilietha
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