Folge von Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Fr 31.05.2013 | | Autor: | chr1s1 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_{i})_{i\ge1} [/mm] Folge von ZV mit
[mm] E[X_{i}]=\mu [/mm] für alle i
[mm] Var(X_{i})= \sigma^2 [/mm] < [mm] \infty [/mm] für alle i,j
[mm] Cov(X_{i},X_{j}) [/mm] = R(i-j) < [mm] \infty
[/mm]
wobei [mm] R:\IN\to\IR [/mm] eine gegebene Funktion.
Betrachte [mm] S_{n}:= \summe_{i=1}^{n} X_{i}. [/mm] Zeige, dass aus [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}R(k) [/mm] = 0 [mm] folgt\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{S_{n}}{n}=\mu [/mm] in Wahrscheinlichkeit.
Hinweis: Untersuche Varianz von [mm] \bruch{S_{n}}{n}. [/mm] |
Hab den Hinweis beachtet und mir mal die Varianz angesehen:
[mm] Var(\bruch{S_{n}}{n})= Var(\bruch{\summe_{i=1}^{n} X_{i}}{n})= \bruch{\summe_{i,j=1}^{n} Cov(X_{i},X_{j})}{n} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i,j=1}^{n} R(i-j)}{n}
[/mm]
aber wie gehe ich jetzt weiter vor?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Aloha,
> Sei [mm](X_{i})_{i\ge1}[/mm] Folge von ZV mit
>
> [mm]E[X_{i}]=\mu[/mm] für alle i
> [mm]Var(X_{i})= \sigma^2[/mm] < [mm]\infty[/mm] für alle i,j
> [mm]Cov(X_{i},X_{j})[/mm] = [mm] R(\red{|}i-j\red{|}) [/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
> wobei [mm]R:\IN\to\IR[/mm] eine gegebene Funktion.
> Betrachte [mm]S_{n}:= \summe_{i=1}^{n} X_{i}.[/mm] Zeige, dass aus [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}R(k)[/mm] = 0
> [mm]folgt\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{S_{n}}{n}=\mu[/mm] in
> Wahrscheinlichkeit.
> Hinweis: Untersuche Varianz von [mm]\bruch{S_{n}}{n}.[/mm]
> Hab den Hinweis beachtet und mir mal die Varianz angesehen:
> [mm]Var(\bruch{S_{n}}{n})= Var(\bruch{\summe_{i=1}^{n} X_{i}}{n})= \bruch{\summe_{i,j=1}^{n} Cov(X_{i},X_{j})}{n\red{^2}}[/mm] = [mm]\bruch{\summe_{i,j=1}^{n} R(\red{|}i-j\red{|})}{n\red{^2}}[/mm]
a) Zeige [mm] Var\left(\frac{S_n}{n}\right)\to0,n\to\infty. [/mm] Fuehre dazu obige Rechnung fort und zeige
[mm] Var\left(\frac{S_n}{n}\right)=$\sum_{k=0}^n (2n-2k)\cdot{}R(k) [/mm] $
EDIT: rechts müsste stehen $ n [mm] R(0)+\sum_{k=1}^n (2n-2k)\cdot{}R(k) [/mm] $, Folgefehler beachten..
b) Das kannst Du nun abschaetzen
[mm] \left|Var\frac{S_n}{n}\right|=\left|\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=0}^n (2n-2k)*R(k)\right)\right|\le\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=0}^n 2n*|R(k)|\right) =\frac{2}{n}\left(\sum_{k=0}^n |R(k)|\right) \to0, n\to\infty [/mm] da [mm] |R(k)|\to0,k\to\infty
[/mm]
(beachte: [mm] $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n a_n\to [/mm] a$, falls [mm] $a_n\to [/mm] a$)
c) Zeige [mm] \frac{S_n}{n}\to\mu [/mm] nach Wahrscheinlichkeit, indem Du
[mm] P(\left|\frac{S_n}{n}-\mu\right|>\varepsilon)\to0, n\to\infty
[/mm]
für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] zeigst. Nutze dazu Tschebyschevs Ungleichung und b).
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Sa 01.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
erst einmal Danke für deine ausführliche Antwort. Teil b) und c) ist mir klar.
Ich kann nur den Schritt in Teil a) nicht nachvollziehen wie man auf den Ausdruck [mm] Var\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=0}^n (2n-2k)\cdot{}R(k)\right) [/mm] kommt.
Wie kann ich das umformen?
|
|
|
| |
|
> wie man auf den Ausdruck
> [mm]Var\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=0}^n (2n-2k)\cdot{}R(k)\right)[/mm] kommt.
> Wie kann ich das umformen?
Du musst in [mm] $\sum_{i,j=1}^n [/mm] R(|i-j|)$ zählen, wie oft |i-j| die Werte [mm] 0,\ldots,n [/mm] annimmt.
Mahalo!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 So 02.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
oke das habe ich mir jetzt angesehen.
Aber R(|i-j|) nimmt doch n-mal den Wert R(0) an? Und das würd mit deinem Ausdruck nicht zusammenpassen. Weil für n=1 ergibt dein Ausdruck [mm] \left(\sum_{k=0}^n (2n-2k)\cdot{}R(k)\right) [/mm] ja $2*R(0)$.
Und in der Summe [mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}R(|i-j|) [/mm] habe ich für n=1 nur R(0).
Für n=2 ergibt dein Ausdruck: $4*R(0)+2*R(1)$
und in der Summe ergibt sich: [mm] \summe_{i=1}^{2}R(|i-1|)+R(|i-2|)=2*R(0)+2*R(1)
[/mm]
oder irre ich mich?
|
|
|
| |
|
> oke das habe ich mir jetzt angesehen.
>
> Aber R(|i-j|) nimmt doch n-mal den Wert R(0) an? Und das
> würd mit deinem Ausdruck nicht zusammenpassen.
Ja, ich habe mich vertan und die Einträge auf der Diagonale (i=j) doppelt gezählt.
[mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}R(|i-j|)=$n R(0)+\sum_{k=1}^n (2n-2k)\cdot{}R(k) [/mm] $
Man kann trotzdem zeigen, dass [mm] \frac{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}R(|i-j|)\to0, n\to\infty.
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 So 02.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
sehr gut jetzt ist alles klar!
Vielen Dank!
lg chr1s1
|
|
|
|
