Folgen-Ungleichung zeigen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei die Folge [mm](a_{n})[/mm] gegeben durch
[mm]a_{n} := \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1}[/mm]
Zeigen Sie: Für alle natürlichen Zahlen [mm]n \geq 2[/mm] gilt [mm]a_{n-1} > a_{n}[/mm] . |
Induktionsanfang
sei n=2
[mm]\left ( 1 + \bruch{1}{1} \right )^2 > \left ( 1 + \bruch{1}{2} \right )^3[/mm]
[mm]4 > 3,375[/mm]
Die Aussage ist für n=2 wahr.
Induktionsvoraussetzung
[mm]\forall n\in\IN, n\geq2 : \left ( 1 + \bruch{1}{n-1} \right )^n > \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1}[/mm]
Induktionsbehauptung
Unter Annahme der Gültigkeit der Induktionsvoraussetzung gilt:
[mm]\forall n\in\IN, n\geq2 : \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+1} \right )^{n+2}[/mm]
Induktionsschritt
[mm]n \rightarrow n+1[/mm]
[mm]\left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+1} \right )^{n+2}[/mm]
Unter Verwendung der Induktionsvorausetzung folgt:
[mm]\left ( 1 + \bruch{1}{n-1} \right )^n > \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+1} \right )^{n+2}[/mm]
Nun erkenne ich in dieser Ungleichungskette offensichtlich ein Muster:
[mm]\left ( 1 + \bruch{1}{n-1} \right )^n > \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+1} \right )^{n+2} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+2} \right )^{n+3} \ldots[/mm]
Aber was nun?
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Hallo Apfelchips,
> Sei die Folge [mm](a_{n})[/mm] gegeben durch
>
> [mm]a_{n} := \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1}[/mm]
>
> Zeigen Sie: Für alle natürlichen Zahlen [mm]n \geq 2[/mm] gilt
> [mm]a_{n-1} > a_{n}[/mm] .
>
>
> Induktionsanfang
>
> sei n=2
>
> [mm]\left ( 1 + \bruch{1}{1} \right )^2 > \left ( 1 + \bruch{1}{2} \right )^3[/mm]
>
> [mm]4 > 3,375[/mm]
>
> Die Aussage ist für n=2 wahr.
>
>
> Induktionsvoraussetzung
>
> [mm]\forall n\in\IN, n\geq2 : \left ( 1 + \bruch{1}{n-1} \right )^n > \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1}[/mm]
>
>
> Induktionsbehauptung
>
> Unter Annahme der Gültigkeit der Induktionsvoraussetzung
> gilt:
>
> [mm]\forall n\in\IN, n\geq2 : \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+1} \right )^{n+2}[/mm]
>
>
> Induktionsschritt
>
> [mm]n \rightarrow n+1[/mm]
>
> [mm]\left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+1} \right )^{n+2}[/mm]
>
> Unter Verwendung der Induktionsvorausetzung folgt:
>
> [mm]\left ( 1 + \bruch{1}{n-1} \right )^n > \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+1} \right )^{n+2}[/mm]
>
> Nun erkenne ich in dieser Ungleichungskette offensichtlich
> ein Muster:
>
> [mm]\left ( 1 + \bruch{1}{n-1} \right )^n > \left ( 1 + \bruch{1}{n} \right )^{n+1} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+1} \right )^{n+2} > \left ( 1 + \bruch{1}{n+2} \right )^{n+3} \ldots[/mm]
>
> Aber was nun?
Du kannst ganz gut die Bernoulli'sche Ungleichung verwenden:
Die Aussage ist äquivalent zu [mm]\frac{a_{n-1}}{a_n}>1[/mm]
Schreibe dir das mal hin, mache im Doppelbruch gleichnamig, löse den Doppelbruch auf und fasse die Terme mit Potenz n zusammen.
Dann kannst du darauf die Bernulli'sche Ungleichung anwenden ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
danke für's Helfen.
> Du kannst ganz gut die Bernoulli'sche Ungleichung
> verwenden:
>
> Die Aussage ist äquivalent zu [mm]\frac{a_{n-1}}{a_n}>1[/mm]
>
> Schreibe dir das mal hin, mache im Doppelbruch gleichnamig,
> löse den Doppelbruch auf und fasse die Terme mit Potenz n
> zusammen.
[mm]\bruch{\left ( \bruch{n}{n-1} \right )^n}{\left ( \bruch{n+1}{n} \right )^{n+1}} > 1[/mm]
Aber wie löse ich jetzt hier den Doppelbruch auf?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Helbig |
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> Hallo schachuzipus,
>
> danke für's Helfen.
>
> > Du kannst ganz gut die Bernoulli'sche Ungleichung
> > verwenden:
> >
> > Die Aussage ist äquivalent zu [mm]\frac{a_{n-1}}{a_n}>1[/mm]
> >
> > Schreibe dir das mal hin, mache im Doppelbruch gleichnamig,
> > löse den Doppelbruch auf und fasse die Terme mit Potenz n
> > zusammen.
>
> [mm]\bruch{\left ( \bruch{n}{n-1} \right )^n}{\left ( \bruch{n+1}{n} \right )^{n+1}} > 1[/mm]
>
> Aber wie löse ich jetzt hier den Doppelbruch auf?
Benutze [mm] $\frac [/mm] 1 [mm] {\frac a b}= \frac [/mm] b a$. Und dann forme so um, daß Du Bernoulli auf einen Term mit dem Exponenten $n+1$ anwenden kannst.
Gruß
Wolfgang
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> Benutze [mm]\frac 1 {\frac a b}= \frac b a[/mm]. Und dann forme so
> um, daß Du Bernoulli auf einen Term mit dem Exponenten [mm]n+1[/mm]
> anwenden kannst.
Ich brauche hier bitte noch einmal Hilfe: Bevor ich die Doppelbrüche beseitigen kann, sind doch die Exponenten noch im Weg. Oder nicht?
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Hallo nochmal,
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> > Benutze [mm]\frac 1 {\frac a b}= \frac b a[/mm]. Und dann forme so
> > um, daß Du Bernoulli auf einen Term mit dem Exponenten [mm]n+1[/mm]
> > anwenden kannst.
>
> Ich brauche hier bitte noch einmal Hilfe: Bevor ich die
> Doppelbrüche beseitigen kann, sind doch die Exponenten
> noch im Weg. Oder nicht?
Dazu hatte ich doch was geschrieben ...
Mache aus dem Nenner [mm] $a^{n+1}=a^n\cdot{}a$ [/mm] ...
Dann kannst du die "hoch n"-Terme verarzten.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Helbig |
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> > Benutze [mm]\frac 1 {\frac a b}= \frac b a[/mm]. Und dann forme so
> > um, daß Du Bernoulli auf einen Term mit dem Exponenten [mm]n+1[/mm]
> > anwenden kannst.
>
> Ich brauche hier bitte noch einmal Hilfe: Bevor ich die
> Doppelbrüche beseitigen kann, sind doch die Exponenten
> noch im Weg. Oder nicht?
Räum' sie aus dem Weg mit [mm] $a^{n+1}/b^{n+1} [/mm] = [mm] (a/b)^{n+1}$ [/mm] und [mm] $c^n [/mm] = (1/c)* [mm] c^{n+1}$.
[/mm]
Bearbeite den Ausdruck unter Verwendung der aus der Schule bekannten Regeln des Bruch- und Potenzrechnens so lange, bis Du ihn in die Form [mm] $(1/c)*(a/b)^{n+1}$ [/mm] mit den Termen $a, b ,c$ gebracht hast. Dann stelle $a/b$ in der Form $1 + e/f$ dar und los mit Bernoulli ...
Gruß,
Wolfgang
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Danke für die (ausführlichen) Hilfestellungen!
[mm]\bruch{ \left ( \bruch{n}{n-1} \right ) ^n}{ \left ( \bruch{n+1}{n} \right ) ^{n+1}} > 1[/mm]
[mm]\bruch{\left (\bruch{n}{n-1} \right ) ^{n+1}}{ \left ( \bruch{n+1}{n} \right ) ^{n+1} * \left ( \bruch{n}{n-1} \right ) ^n} > 1[/mm]
[mm] \left ( \bruch{\bruch{n}{n-1}}{\bruch{n+1}{n}} \right ) ^{n+1} * \left ( \bruch{1}{\bruch{n}{n-1}} \right ) * \left ( \bruch{n}{n-1} \right ) ^{n+1} > 1[/mm]
[mm]\left ( \bruch{n-1}{n} \right ) * \left ( \bruch{n^3}{n^3 - n^2 - n + 1} \right )^{n+1} > 1[/mm]
[mm]\left ( \bruch{n-1}{n} \right ) * \left (1 + \bruch{n^2 + n - 1}{n^3 - n^2 - n + 1} \right )^{n+1} > 1[/mm]
Dann kommt Bernoulli:
[mm](1+x)^n \geq 1 + n*x[/mm]
[mm]\left ( 1 + \bruch{n^2 + n - 1}{n^3 - n^2 - n + 1} \right )^n \geq 1 + n \left ( \bruch{n^2 + n - 1}{n^3 - n^2 - n + 1} \right )[/mm]
Und das ist wahr für [mm]n \geq 2[/mm] .
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 04.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Patrick,
> [mm]\bruch{ \left ( \bruch{n}{n-1} \right ) ^n}{ \left ( \bruch{n+1}{n} \right ) ^{n+1}} > 1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\left (\bruch{n}{n-1} \right ) ^{n+1}}{ \left ( \bruch{n+1}{n} \right ) ^{n+1} * \left ( \bruch{n}{n-1} \right ) ^n} > 1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wie sind diese beiden Ungleichungen miteinander verbunden? Soll die erste aus der zweiten folgen? Da ich dies nicht weiß, kann ich auch nicht die Richtigkeit beurteilen.
Mir schwebte eine Gleichungskette vor, wobei an einer Stelle $>$ steht, nämlich da, wo Bernoulli ins Spiel kommt und am Schluß 1.
Ich fang mal an:
$\frac {a_{n-1}} {a_n} = \frac {\left(\frac n {n-1}\right)^n} {\left(\frac {n+1} n\right)^{n+1}}$ Und jetzt gleich weg mit dem häßlichen Doppelbruch!
$= \left(\frac n {n-1}\right)^n*\left(\frac n {n+1}\right)^{n+1}$ Und jetzt Exponenten angleichen:
$= \frac {n-1} n *\left(\frac n {n-1}\right)^{n+1}*\left(\frac n {n+1}\right)^{n+1}$ Zusammenfassen:
$= \frac {n-1} n *\left(\frac {n^2} {n^2-1}\right)^{n+1}$ Richtung Bernoulli:
$= \frac {n-1} n *\left(1+ \frac 1 {n^2-1}\right)^{n+1}$ Und jetzt kommt er:
$>\frac {n-1} n *\left(1+\frac 1 {n-1}}\right)$
Und jetzt Du ...
Grüße,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
> Wie sind diese beiden Ungleichungen miteinander verbunden?
> Soll die erste aus der zweiten folgen? Da ich dies nicht
> weiß, kann ich auch nicht die Richtigkeit beurteilen.
Genau: Die zweite Ungleichung sollte aus der ersten folgen. Ich hätte das vielleicht deutlicher aufschreiben sollen …
> Mir schwebte eine Gleichungskette vor, wobei an einer
> Stelle [mm]>[/mm] steht, nämlich da, wo Bernoulli ins Spiel kommt
> und am Schluß 1.
Das kann ich soweit vollständig nachvollziehen.
Würde, um das zum Abschluss zu bringen, nun nicht schon Folgendes reichen?
[mm]\frac {n-1} n * \left( 1+ \frac 1 {n^2-1} \right) ^{n+1} > \frac {n-1} n *\left( 1+\frac 1 {n-1} \right) > 1[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 04.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Mir schwebte eine Gleichungskette vor, wobei an einer
> > Stelle [mm]>[/mm] steht, nämlich da, wo Bernoulli ins Spiel kommt
> > und am Schluß 1.
>
> Das kann ich soweit vollständig nachvollziehen.
>
> Würde, um das zum Abschluss zu bringen, nun nicht schon
> Folgendes reichen?
>
> [mm]\frac {n-1} n * \left( 1+ \frac 1 {n^2-1} \right) ^{n+1} > \frac {n-1} n *\left( 1+\frac 1 {n-1} \right) > 1[/mm]
Dies würde reichen, wenn es richtig wäre. Rechne doch einfach mal das Produkt vor der 1 aus.
Gruß,
Wolfgang
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> > [mm]\frac {n-1} n * \left( 1+ \frac 1 {n^2-1} \right) ^{n+1} > \frac {n-1} n *\left( 1+\frac 1 {n-1} \right) > 1[/mm]
>
> Dies würde reichen, wenn es richtig wäre. Rechne doch
> einfach mal das Produkt vor der 1 aus.
>
Wo Du Rech hast …
so sollte es stimmen (das Ergebnis ist immer 1 – Magie!  ):
[mm]\frac {n-1} n * \left( 1+ \frac 1 {n^2-1} \right) ^{n+1} > \frac {n-1} n *\left( 1+\frac 1 {n-1} \right) = 1[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 04.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> > > [mm]\frac {n-1} n * \left( 1+ \frac 1 {n^2-1} \right) ^{n+1} > \frac {n-1} n *\left( 1+\frac 1 {n-1} \right) > 1[/mm]
>
> >
> > Dies würde reichen, wenn es richtig wäre. Rechne doch
> > einfach mal das Produkt vor der 1 aus.
> >
>
> Wo Du Rech hast …
> so sollte es stimmen (das Ergebnis ist immer 1 – Magie!
> ):
>
> [mm]\frac {n-1} n * \left( 1+ \frac 1 {n^2-1} \right) ^{n+1} > \frac {n-1} n *\left( 1+\frac 1 {n-1} \right) = 1[/mm]
Perfekt!
Gruß,
Wolfgang
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Ich habe noch eine direkt an diese Aufgabe anküpfende Frage:
Wenn ich zeigen wollte, dass die Folge [mm]\left ( a_n \right )[/mm] konvergent ist – würde es dann schon reichen zu argumentieren, dass die Folge monoton wachsend ist (denn das wurde ja im Prinzip schon durch Zeigen von [mm]a_{n-1} > a_n[/mm] bewiesen)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 05.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Folge ist NICHT monoton wachsend. Und nein für die Konvergenz brauchst du noch Beschränktheit.
die Folge [mm] a_n=n [/mm] wächst monoton ist nicht [mm] konvergent,a_n=-n [/mm] fällt monoton ist nicht konvergent!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Okay. Danke fürs Klarstellen, leduart!
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