Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Sa 05.11.2005 | | Autor: | LenaFre |
Hallo zusammen!
Mir liegt folgende Aufgabe vor:
Sei [mm] (a_{n}) n\in\IN [/mm] eine Folge und
[mm] (s_{n}):=\bruch{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}
[/mm]
Zeigen Sie Aus [mm] a_{n}\to [/mm] a folgt [mm] s_{n} \to [/mm] a.
Gilt der umgekehrte Schluss auch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Das ist die Aufgabenstellung. Wenn ich das richtig verstehe ist nur gegeben, dass der Grenzwert des letzten Summengliedes also [mm] a_{n}\to [/mm] a ist.
Aber ich steh vollauf dem schlauch wie ich da rangehen soll. sieht eigentlich gar nicht so schwierig aus! Ich hoffe ihr könnt mir Tipps geben! Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Sa 05.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Das ist die Aufgabenstellung. Wenn ich das richtig verstehe
> ist nur gegeben, dass der Grenzwert des letzten
> Summengliedes also [mm]a_{n}\to[/mm] a ist.
Nein, das ist so falsch - [m]a_1,a_2...[/m] sind schon die anfänge der Folge [m](a_n)[/m]. Was da steht: die ersten n Folgenglieder aufsummiert und ndurch n geteilt
> Aber ich steh vollauf dem schlauch wie ich da rangehen
> soll. sieht eigentlich gar nicht so schwierig aus!
Falls die Summe [m]s_n[/m] konvergeirt muss die Folge [m]a_n[/m] nicht konvergieren - was könnte man machen? Irgendwie sollte [m]a_n[/m] alternieren, damit das durch n teilen auch schön die Konvergenz erzwinkt.
Das zweite ist schon schwieriger, ich gebe erst mal die Idee, vielleicht kommst du dann selber auf die vollständige Lösung: [m]s_n-a=\bruch{a_1+_2+...+a_n-n*a}{n}[/m], jetzt teilt man die summe geschickt auf, in einen vorderen, festen Teil, so dass hier das Teilen durch n Konvegrenz gegen 0 sichern soll ( am bestens schreibt man dann [m]na=a+a+...+a[/m]). Der hinetre Teil, der für wachsendes n auch größer wird, sollte durch die Konvergenz der Folge gesichert werden, insegesamt also etwas a la [m][mm] |s_n-a|\le \bruch{1}{n}\sum_{i=0}^K|a_i-a|+\bruch{1}{n}\sum_{i=K+1}^H|a_i-a|
[/mm]
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mo 07.11.2005 | | Autor: | LenaFre |
Hallo!
Ich weiß immer noch nicht wie ich mir das genau vorzustellen habe. Wieso muss [mm] a_{n} [/mm] alternieren gegen a. Könnte [mm] a_{n} [/mm] nicht auch einfach ein Folge aus konstanten Gliedern sein?z.B. [mm] \{k,k,k,......,k\}mit [/mm] k [mm] \in \IN.
[/mm]
Und wieso gilt, wenn ich eine alternierende Folge aufsummiere und diese Summe durch die Anzahl der Folgeglieder teile, dass dieses dann auch den grenzwert a hat?
|
|
|
| |
|
> wieso gilt, wenn ich eine alternierende Folge aufsummiere
> und diese Summe durch die Anzahl der Folgeglieder teile,
> dass dieses dann auch den grenzwert a hat?
Hallo,
von "auch den Grenzwert haben" kann keine Rede sein. Über alternierende Folgen nachzudenken, hatte SEcki angeregt, um Dich auf ein Gegenbeispiel zu stoßen. Auf ein Beispiel, in welchem [mm] s_n [/mm] konvergiert, [mm] a_n [/mm] aber nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Di 08.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Lena!
Betrachte doch mal die Folge $(a_n)_{n \in \IN} = ((-1)^n)_{n \in \IN}$. Diese konvergiert nicht. Dagegen konvergiert die Folge $(s_n)_{n \in \IN}$ wegen
$s_n = \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n} = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & \mbox{falls n gerade},\\[5pt] - \frac{1}{n} & , & \mbox{sonst}. \end{array}$
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 07.11.2005 | | Autor: | LenaFre |
Dann verstehe ich jetzt gar nicht mehr, was ihr mir versucht zu sagen. Jetzt mal den zweiten Teil der Aufgabe außer acht gelassen. Tut mir leid das ich totale Probleme mit Folgen und Grenzwerten habe. Aber ich weiß nicht wie ich an den Beweis herangehen soll!
|
|
|
| |
|
Hallo LenaFre,
als erstes ist zu zeigen:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=a[/mm]
Letzteres führt aber zu der Ungleichung [mm] $|s_n [/mm] - [mm] a|<\varepsilon$
[/mm]
Zunächst folgt aus den Vorraussetzungen, dass es einem Index m gibt, sodass [mm] $|a_n-a|\le \frac{\varepsilon/2}$
[/mm]
Nun schreibst musst du folgende Abschätzung machen:
[mm]|s_n-a|\le|\frac{a_1+a_2+..+a_m}{n}|+|\frac{(a_{m+1}-a)+(a_{m+2}-a)+...+(a_n-a)-ma}{n}|\le|\frac{a_1+a_2+..+a_m}{n}|+\frac{|(a_{m+1}-a)|+|(a_{m+2}-a)|+...+|(a_n-a)|}{n}[/mm]
Der erste Teil des Bruches is nun aber ebenfalls gewiss ab einem bestimmten n kleiner als [mm] $\frac{\varepsilon}{2}$, [/mm] da der Zähler bei zunehmendem n konstant bleibt und der Nenner gegen [mm] \infty [/mm] strebt.
Nun ist aber auch [mm] $|a_i-a|\le\frac{\varepsilon}{2}$, [/mm] wenn i>m ist, da m ebenso bestimmt wurde. Führt man damit nun die Abschätzung weiter erhällt man:
[mm]|s_n-a|\le\frac{\varepsilon}{2}+\frac{(n-m)\frac{\varepsilon}{2}}{n}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{n-m}{n}\frac{\varepsilon}{2}\le \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm] w.z.b.w.
als zweites sollst du die Umkehrung prüfen:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}s_n=a \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a[/mm]
Um diese Aussage zu wiederlegen reicht ein Beispiel aus. Hierbei bieten sich wie bereits erwähnt alternierende Folgen an, so ist z.B. die Folge [mm]\left((-1)^n\right)_{n\in\IN}[/mm] nicht konvergent, die zugeordnete folge [mm] (s_n) [/mm] konvergiert aber gegen 0.
Gruß Samuel
|
|
|
|
