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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Mo 21.11.2005 | | Autor: | roxy |
´morgen,
wer kann mir da ein Tipp geben:
Es seinen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] Folgen in [mm] \IN, [/mm] mit [mm] a_{n} \to [/mm] a, [mm] b_{n} \to [/mm] b und n [mm] ->\infty. [/mm] Zeigen Sie, dass gilt b [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] fast alle [mm] b_{n} \not= [/mm] 0 und [mm] \bruch{a_{n}}{b_{n}} \to \bruch{a}{b}.
[/mm]
Das ist doch offensichtlich!!!...wie kann ich das beweisen??
Danke
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> ´morgen,
> wer kann mir da ein Tipp geben:
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> Es seinen [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] Folgen in [mm]\IN,[/mm] mit [mm]a_{n} \to[/mm] a,
> [mm]b_{n} \to[/mm] b und n [mm]->\infty.[/mm] Zeigen Sie, dass gilt b [mm]\not=[/mm]
> 0 [mm]\Rightarrow[/mm] fast alle [mm]b_{n} \not=[/mm] 0 und
> [mm]\bruch{a_{n}}{b_{n}} \to \bruch{a}{b}.[/mm]
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> Das ist doch offensichtlich!!!...wie kann ich das
> beweisen??
Hallo,
ist es wirklich sooooooooooo offensichtlich?
Ich würde mir die Sache ein wenig vereinfachen, und zunächst zeigen, daß fast alle [mm] b_n\not= [/mm] 0 und [mm] \bruch{1}{b_n} \to \bruch{1}{b}.
[/mm]
Der Rest ergibt sich dann aus dem Satz übers Produkt konvergenter Folgen, welchen Ihr bestimmt schon bewiesen habt, und welcher daher nur angewendeet werden muß zum Schluß.
Was bedeutet eigentlich " fast alle [mm] b_n\not= [/mm] 0" ? Das bedeutet, es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] so, daß für alle n>N gilt [mm] b_n \not= [/mm] 0.
Wir wissen ja, daß [mm] (b_n) [/mm] gegen b konvergiert. Wende nun einmal die [mm] \varepsilon-Bedingung [/mm] auf [mm] \varepsilon= \bruch{|b|}{2 an} [/mm] .
Da kriegst du, was Du Dir zu kriegen wünschst.
So. Nun nimmst du dein [mm] \varepsilon [/mm] von eben und das N von eben.
Dann gilt für alle n>N
| [mm] \bruch{1}{b_n}- \bruch{1}{b}| [/mm] =... < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Bei Der Abschätzung mußt Du die Informationen, die Du über die [mm] b_n [/mm] mit n>N hast, ausreizen.
Gruß v. Angela
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