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| Aufgabe | Seien a, [mm]a_0[/mm] aus Q mit a, [mm]a_0 > 0 [/mm]
Zeigen Sie, dass in Q durch [mm]a_(n+1) [/mm] := 1/2 ([mm]a_n[/mm] + [mm][mm] \bruch{a}{a_n}) [/mm] für n aus N mit Null eine monotone und beschränkte Folge [mm](a_n)_(n aus N mit Null)[/mm] erklärt wird. Ist [mm][mm] (a_n)_(n [/mm] aus N mit Null) im Fall a=2 konvergent in q? |
Hallo!
Und zwar, ich weis, wie ich die Beschränktheit einer Folge bestimme und die Monotonie. Aber weis ich nicht wie ich das anwenden soll, da ich ja nicht mit [mm]a_n[/mm] sondern mit [mm]a_(n+1)[/mm] beginne. Im Internet stand, das es nicht lösbar sei wenn man nicht [mm]a_[/mm] kennen würde. Stimmt das? Und wenn nicht, wie kann ich die Aufgabe sonst angehen?
Lieben Gruß
Christina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 Di 25.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Christina
Bei so ner Folge, die rekursiv gegeben ist, sieht man erst mal nach, was der Grenzwert ist, falls es ihn gibt. Falls er existiert nenn ihn x. es muss dann gelten x=1/2(x+a/x) ausgerechnet ist das [mm] x^2=a [/mm] also ist das ein Verfahren, das wenn es konvergiert [mm] \wurzel{a} [/mm] produziert.
Wenn man das weiss, hat man schon ne Ahnung ,wie es läuft. Jetzt muss man beim Anfangsschritt unterscheiden: [mm] a_{0}^{2}a
[/mm]
im zweiten Fall ist die Folge fallend von Anfang an im ersten Fall dagegen wächst sie von [mm] a_{0} [/mm] nach a1 und fällt erst dann monoton.
Und die 2. Frage ist dann klar, wenn man den GW kennt.
Fang damit an, zu zeigen dass die Folge monoton fällt, wenn [mm] a_{0}^{2}>a.
[/mm]
und dass dann [mm] a_{n}^{2}>a [/mm] also a ne Schranke für [mm] a_{n}^{2} [/mm] ist.
Gruß leduart
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mhm, ja aber wie kann ich das denn machen?
vll:
1/2(an+ a/an)< [ 1/2(an+ a/an)]² ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Di 25.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> mhm, ja aber wie kann ich das denn machen?
>
> vll:
>
> 1/2(an+ a/an)< [ 1/2(an+ a/an)]² ?
Was soll das denn bringen? du willst doch [mm] a
Experimentier doch mal ein Moment mit a= 2 a0=4 und dem Taschenrechner.
Danach a=2 a0=1.
So Experimente bringen einem auf Ideen.
Gruss leduart
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ja, da hab ich beim ersten raus 2,25 und beim 2. 1,25 würde dann mal vermuten, dass es monoton fallend ist und nach unten beschränk, weil a0 =1 ja eigentlich das kleinste glird der folge sein müsste, weil 1 die kl. zahl der natürlichen zahlen ist. nach oben denke ich mal, dass sie dann nicht beschrankt ist oder?
dann würde auch passen a<an+1<an ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Mi 26.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Chrisy
Mit Experimentieren hab ich eigentlich ein paar Glieder der Folge gemeint. und für a0=1 ist a1=1,25 falsch.
Wenn man länger experimentiert, sieht man was die Folge tut, wohin sie sich bewegt, und dann kann man -mein ich- besser überlegen warum.
da wir es hier bei der Folge nicht mit natürlichen Zahlen zu tun haben, ist die Bemerkung, dass 1 das kleinste ist nicht sehr sinnreich.
Wenn a<1 ist 1 natürlich auch nicht das kleinste!
schreib mal$ [mm] a_{n+1}=\bruch{a_n^2+a}{2a_n} [/mm] wann ist das kleiner als an, wann größer? Dann vergleich mit deinem Experiment!
Gruss leduart
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Ich hab absolut keine Ahnung wie ich das anstellen soll.
mich verwirrt so das da ateht [mm] a_n+1 [/mm] = ....
weis nicht wie ich damit umgehen soll.
christina
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Hallo!
Also ich hab mir jetzt was überlegt:
a_(n+1) := [mm] 1/2(a_n [/mm] + [mm] a/a_n) [/mm] <=> a_(n+1) := [mm] 1/2(a_n [/mm] +1-1+ [mm] a/(a_n [/mm] +1-1)
daraus folgt:
[mm] a_n:= 1/2(a_n-1+ a/(a_n-1)
[/mm]
a_(n+1) - [mm] a_n [/mm] =
[mm] [1/2(a_n [/mm] +1-1+ a/ [mm] (a_n [/mm] +1-1)] - [mm] [1/2(a_n [/mm] -1 + [mm] a/(a_n [/mm] +1 -1)]=
[mm] 1/2a_n [/mm] + [mm] a/2a_n [/mm] - [mm] 17"a_n [/mm] + 0,5 - [mm] a/(2a_n [/mm] -2) =
[mm] a/(2a_n) [/mm] - [mm] a/(2a_n-2) [/mm] + 0,5 =
[mm] [a(a_n [/mm] -1 ) - [mm] a(2a_n)]+ [/mm] 0,5 / [mm] 2(a_n)(a_n [/mm] -1)
stimmt das bis dahin? weis jetzt aber auch nict mehr weiter :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Fr 28.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> a_(n+1) := [mm]1/2(a_n[/mm] + [mm]a/a_n)[/mm] <=> a_(n+1) := [mm]1/2(a_n[/mm] +1-1+
> [mm]a/(a_n[/mm] +1-1)
unklar, wo das +1 und -1 steht, im Nenner oder Zähler?
> daraus folgt:
> [mm]a_n:= 1/2(a_n-1+ a/(a_n-1)[/mm]
hier ist nicht klar, ob du [mm] a_{n-1} [/mm] oder [mm] a_{n}-1 [/mm] meinst.
wenn du das erste meinst, ist es ohner Herleitung klar, das zweite ist falsch!
> a_(n+1) - [mm]a_n[/mm] =
>
> [mm][1/2(a_n[/mm] +1-1+ a/ [mm](a_n[/mm] +1-1)] - [mm][1/2(a_n[/mm] -1 + [mm]a/(a_n[/mm] +1
> -1)]=
>
> [mm]1/2a_n[/mm] + [mm]a/2a_n[/mm] - [mm]17"a_n[/mm] + 0,5 - [mm]a/(2a_n[/mm] -2) =
>
> [mm]a/(2a_n)[/mm] - [mm]a/(2a_n-2)[/mm] + 0,5 =
>
> [mm][a(a_n[/mm] -1 ) - [mm]a(2a_n)]+[/mm] 0,5 / [mm]2(a_n)(a_n[/mm] -1)
Was war das Ziel der Umformungen? es sind einige Umformungsfehler drin, die ich aber nicht festlegen kann, da die Formeln fast unlesbar sind.
ich hatte in einem Post mal an+1 statt [mm] a_{n+1} [/mm] geschrieben, weiss nicht ob dich das verwirrt hat.
Sonst bist du zu wenig auf das eingegangen, was ich gesagt hab, so dass dir schwer zu helfen ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 28.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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