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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:17 Di 07.12.2004 | | Autor: | KingMob |
Kann mir bitte jemand bei dieser rätselhaften Aufgabe behilflich sein?
"Sei (In) mit n [mm] \in \IN [/mm] eine Intervallschachtelung, d.h. (In) mit n [mm] \in \IN [/mm] ist eine Folge abgeschlossener Intervalle In = [an,bn] [mm] \subset \IR [/mm] , wobei (In+1) [mm] \subset [/mm] (In), n [mm] \in \IN [/mm] gilt und die Folge (bn - an) mit n [mm] \in \IN [/mm] der Intervalllängen eine Nullfolge ist. Zeigen Sie: (an), (bn) sind konvergent mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bn = c , und es gilt [mm] \cap [/mm] (In) = {c}."
Um ehrlich zu sein, weiß ich noch nicht einmal was da von mir verlangt wird?!?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:53 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo KingMob,
> Kann mir bitte jemand bei dieser rätselhaften Aufgabe
> behilflich sein?
>
> "Sei (In) mit n [mm]\in \IN[/mm] eine Intervallschachtelung, d.h.
> (In) mit n [mm]\in \IN[/mm] ist eine Folge abgeschlossener
> Intervalle In = [an,bn] [mm]\subset \IR[/mm] , wobei (In+1) [mm]\subset[/mm]
> (In), n [mm]\in \IN[/mm] gilt und die Folge (bn - an) mit n [mm]\in \IN[/mm]
> der Intervalllängen eine Nullfolge ist. Zeigen Sie: (an),
> (bn) sind konvergent mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] an =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] bn = c , und es gilt [mm]\cap[/mm] (In)
> = {c}."
Überlege dir, was du über das Monotonieverhalten der Folgen [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$,[/mm] [m](b_n)_{n \in \IN}[/m] sagen kannst. Überlege dir, dass [m]\{a_n:n \in \IN\}[/m] durch [mm] $b_1$ [/mm] nach oben beschränkt ist und dass [m]\{b_n:n \in \IN\}[/m] durch [mm] $a_1$ [/mm] nach unten beschränkt ist.
Monotonie und Beschränktheit: Da hört man doch den Hauptsatz über monotone Folgen nach Anwendung schreien! 
Wenn nun [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] beides konvergente Folgen sind und du weißt, dass
[mm] $(\star)$[/mm] [m]a_n \le a:=\limes_{k \to \infty}a_k \le b:=\limes_{k \to \infty}b_k \le b_n[/m] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt,
dann gilt [m][a,b] \subset \bigcap_{n \in \IN}[a_n,b_n]=\bigcap_{n \in \IN}I_n[/m].
Ferner weißt du, dass [mm] $(b_n-a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist. In welcher Beziehung stehen dann [m]a[/m] und [m]b[/m] zueinander (beachte [m](\star)[/m])?
Überlege dir auch, warum natürlich [m]\left(\bigcap_{n \in \IN}I_n\right) \subset [a,b][/m] gelten muss!
Viele Grüße,
Marcel
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