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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:04 So 25.11.2007 | | Autor: | Archimed |
| Aufgabe | a) Sei [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] eine Folge positiver Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n_+_1}{a_n} [/mm] = a. Zeige, dass dann [mm] \wurzel[n]{a_n} \to [/mm] a, n [mm] \to \infty.
[/mm]
b) Bestimme mit a) die Grenzwerte von [mm] \wurzel[n]{n}, \wurzel[n]{\bruch{n^n}{n!}} [/mm] und [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n!}} [/mm] für n [mm] \to \infty. [/mm] Was kann man über die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n\wurzel[n]{a_n} [/mm] aussagen? |
Wie soll ich hier vorgehen?
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> a) Sei [mm](a_n)_n_\in_\IN[/mm] eine Folge positiver Zahlen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n_+_1}{a_n}[/mm] = a.
Da die [mm] $a_n$ [/mm] positive Zahlen sind, dürfen wir $a>0$ annehmen. Aus [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a$ [/mm] folgt daher, dass es für alle [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ (wobei wir zudem [mm] $\varepsilon [/mm] < a$ annehmen wollen) ein [mm] $n_0\in \IN$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] gilt: [mm] $a-\varepsilon \leq \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq a+\varepsilon$, [/mm] oder, äquivalent dazu [mm] $(a-\varepsilon)a_n\leq a_{n+1}\leq (a+\varepsilon)$.
[/mm]
Daraus folgt, für alle [mm] $n>n_0$: $(a-\varepsilon)^{n-n_0}a_{n_0}\leq a_n\leq (a+\varepsilon)^{n-n_0}a_{n_0}$. [/mm] Also:
[mm]\sqrt[n]{(a-\varepsilon)^{n-n_0}a_{n_0}}\leq \sqrt[n]{a_n}\leq \sqrt[n]{(a+\varepsilon)^{n-n_0}a_{n_0}}[/mm]
Für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] geht aber die untere Schranke dieser Abschätzung von [mm] $\sqrt[n]{a_n}$ [/mm] gegen [mm] $a-\varepsilon$ [/mm] und die obere Schranke gegen [mm] $a+\varepsilon$. [/mm] Da [mm] $\varepsilon$ [/mm] beliebig klein, $>0$ gewählt werden kann, folgt die Behauptung.
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