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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Sa 19.02.2005 | | Autor: | evilseed |
Hatte in der klausur ne multiple choice frage ob eine Chauchy Folge in R beschränkt ist?
stimmt das oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi evilseed!
> Hatte in der klausur ne multiple choice frage ob eine
> Chauchy Folge in R beschränkt ist?
> stimmt das oder nicht?
Eine Cauchy-Folge in [mm] $\IR$ [/mm] ist stets beschränkt. Ist [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] $\IR$, [/mm] so existiert zu [mm] $\varepsilon:=1\;\;(>0)$ [/mm] ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] so dass für alle [m]m \ge N[/m] gilt:
[mm] $(\star)$ $|x_m-x_N| \le [/mm] 1$.
Nach der Dreiecksungleichung gilt aber auch [mm] $\forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] N$:
[mm]|x_m|=|x_N+x_m-x_N|\le |x_N|+|x_m-x_N| \stackrel{(\star)}{\le} |x_N|+1[/mm], d.h.:
[mm] $\forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] N$ gilt wegen [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm] $|x_m| \le |x_N|+1$.
[/mm]
Damit erhalten wir insgesamt:
[mm] $\forall [/mm] r [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $|x_r| \le \max\{|x_1|,\;|x_2|,\; \dots |x_N|,\;(|x_N|+1)\}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Marcel |
...kann man auch so argumentieren:
Jede Cauchy-Folge in [mm] $\IR$ [/mm] ist konvergent, und da in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folgen stets beschränkt sind, ist auch jede Cauchy-Folge in [mm] $\IR$ [/mm] beschränkt.
(Vgl.:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf, Satz 5.4 (S. 35, skriptinterne Zählung); Satz 5.26, S. 47)
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