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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 So 28.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Beim Thema Folgen hab ich mich folgendes gefragt: Gibt es eine Folge, die sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist und dazu noch (streng) monoton ist?
Ich wollte mir dazu eine explizite Folge konstruieren.
Wäre folgendes ein Beispiel für eine solche Folge:
[mm] a_{n}= [/mm] n+ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{i}) [/mm] ?
Ist diese Definition überhaupt zulässig, wenn ich bei [mm] a_{0}= -\infty [/mm] stehen habe?
Viele Grüße
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Hallo,
deine Folge hat doch für alle $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] den Wert [mm] -\infty. [/mm]
Gruß Patrick
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:56 So 28.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Warum das denn? Wenn man n gegen [mm] \infty [/mm] laufen lässt, warum soll dann dennoch [mm] -\infty [/mm] herauskommen?
Gibt es dann denn überhaupt keine solche explizit definierte Folge, die diese Eigenschaften erfüllt?
Viele Grüße
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> Warum das denn? Wenn man n gegen [mm]\infty[/mm] laufen lässt, warum
> soll dann dennoch [mm]-\infty[/mm] herauskommen?
Es ist doch: [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \frac{-1}{i} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Und da kannst du jetzt jede beliebige Zahl zu addieren, das ändert doch nichts:
$10 - [mm] \infty [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
$3471957249 - [mm] \infty [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
[mm] $2^{1000}-\infty [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
Und für [mm] n\to \infty [/mm] hast du dort zunächst den Unbestimmten Ausdruck [mm] \infty-\infty. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 So 28.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Wie wärs dann mit dieser Folge:
[mm] a_{n}= (-1)^{2^{n}}*\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{i}) [/mm] für reine Monotonie, und [mm] a_{n}= (-1)^{2^{n}}*\summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{i}) [/mm] +n für strenge Monotonie?
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Hallo ms2008de!
Der Term [mm] $(-1)^{2^n}$ [/mm] ist völlig ohne Wirkung, da er stets den Wert $+1_$ annimmt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Mi 01.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
außer für n=0,da wird die Sache -1 aber da es so eine von mir gefragte Folge nicht gibt, hat sichs erledigt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:31 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Warum das denn? Wenn man n gegen [mm]\infty[/mm] laufen lässt,
> warum soll dann dennoch [mm]-\infty[/mm] herauskommen?
nur noch ergänzenswerterweise:
Es gilt ja (siehe Angelas Antwort unten) sowieso für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] dass [mm] $a_n=-\infty$ [/mm] (mit [mm] $-\infty \notin \IR$ [/mm] ausgestattet mit gewissen Eigenschaften wie z.B. [mm] $\forall [/mm] r [mm] \in \IR: -\infty [/mm] < r$...).
Selbst, wenn hier [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n$ [/mm] existiert: Was bringt Dir das? Sowas wie [mm] $a_\infty$ [/mm] ist kein Folgeglied der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] (da [mm] $\infty \notin \IR \supset \IN$); [/mm] außerdem kommt hier dann nur [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n=-\infty$ [/mm] in Frage und dem ist hier auch so, weil ja eben [mm] $a_n=-\infty$ [/mm] für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gilt. Und damit hat [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] stets eine obere Schranke: Du mußt nur irgendeine Zahl $R [mm] \in \IR$ [/mm] wählen...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 So 28.06.2009 | | Autor: | Hund |
Hallo,
so eine Folge gibt es nicht, denn für eine streng monoton wachsende Folge ist doch das erste Folgeglied eine untere Schranke.
Viele Grüße
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:17 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> so eine Folge gibt es nicht, denn für eine streng monoton
ich würde das streng hier nicht betonen.
> wachsende Folge ist doch das erste Folgeglied eine untere
> Schranke.
Das gilt ja auch schon für "nur" monoton wachsende Folgen. Und jede streng monoton wachsende Folge ist insbesondere monoton wachsend und damit auch nach unten beschränkt.
Analog ergibt sich natürlich auch für monoton fallenden Folgen, dass das erste Folgenglied eine obere Schranke ist (was man auch sofort aus der Tatsache, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] genau dann monoton fällt, wenn [mm] $(-a_n)_n$ [/mm] monoton wächst, erhält).
Nur zur Ergänzung und zur Vermeidung von Missverständnissen. 
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
> Beim Thema Folgen hab ich mich folgendes gefragt: Gibt es
> eine Folge, die sowohl nach oben als auch nach unten
> unbeschränkt ist und dazu noch (streng) monoton ist?
Hallo,
dazu hat Dir Hund ja schon etwas gesagt.
> Ich wollte mir dazu eine explizite Folge konstruieren.
> Wäre folgendes ein Beispiel für eine solche Folge:
> [mm]a_{n}=[/mm] n+ [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] (- [mm]\bruch{1}{i})[/mm] ?
> Ist diese Definition überhaupt zulässig, wenn ich bei
> [mm]a_{0}= -\infty[/mm] stehen habe?
Wenn die Folge, die Du Dir hier ausgedacht hast, eine reelle Folge sein soll, dann geht das nicht.
Denn diese Folge bildet ja gar nicht in die reellen Zahlen ab.
Wenn es eine Folge sein soll in [mm] \IR\cup\{\infty,-\infty\}, [/mm] dann ist sie ein bißchen langweilig und ich glaube auch monoton, denn sie ist ja konstant [mm] =-\infty.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:49 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> Beim Thema Folgen hab ich mich folgendes gefragt: Gibt es
> eine Folge, die sowohl nach oben als auch nach unten
> unbeschränkt ist und dazu noch (streng) monoton ist?
es ist eigentlich klar, dass Du eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] meinst (oder $M [mm] \subset \IR$, [/mm] wobei [mm] $M\,$ [/mm] dann "entsprechend geordnet" sei, sagen wir mal: "die Ordnung von M sei von der Ordnung von [mm] $\IR$ [/mm] induziert"). Aber eigentlich solltest Du dazuschreiben. Ansonsten ist es sehr leicht, solch eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] anzugeben (bei mir ist $0 [mm] \notin \IN$):
[/mm]
Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] (kurz: [mm] $(a_n)$) [/mm] sei eine Folge in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] mit [mm] $+\infty \notin \IR$ [/mm] und [mm] $-\infty \notin \IR$ [/mm] und [mm] $+\infty \not=-\infty$, [/mm] wobei [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] ausgestattet sei durch "naheliegende Operationen bzw. Anordnungen bzgl. [mm] $\pm \infty$" [/mm] wie:
[mm] $-\infty [/mm] < r$ für alle $r [mm] \in \IR \cup \{+\infty\}$
[/mm]
[mm] $-\infty+r=-\infty$ [/mm] für alle $r [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $-\infty+(+\infty)$ [/mm] bleibt undefiniert
.
.
.
Dann setze ich [mm] $a_1:=-\infty$ [/mm] und [mm] $a_n:=n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN_{\ge 2}$ [/mm] und
(sofern man nun die Begriffe einer "nach unten (oben) beschränkten Folge in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$" [/mm] so auffasst, wie ich es tue/täte  :
Auch eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl $S [mm] \in \IR$ [/mm] gibt, so dass [mm] $x_n \le [/mm] S$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ausfällt; insbesondere kann bei einer nach oben beschränkten Folge dann kein Folgenglied den Wert [mm] $+\infty$ [/mm] annehmen!)
damit haben wir eine streng monoton wachsende Folge in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] gefunden, die weder nach oben, noch nach unten beschränkt ist. Das ganze ist hier aber mehr oder weniger "künstlich".
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Do 02.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Ich danke vielmals, jetz hab ichs verstanden
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