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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Di 06.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Jede nicht nach oben beschränkte Folge besitzt eine bestimmt gegen $ [mm] \infty [/mm] $divergente Teilfolge. |
Ich komme bei dem Beweis nicht recht weiter. Das hier ist mein Ansatz:
Sei $ [mm] a_{n} [/mm] $ eine Folge und nicht nach oben beschränkt. Dann ist s>0 keine obere Schranke. Da die Folge nicht nach oben beschränkt ist, ist die Menge der Folgenglieder nicht nach oben beschränkt. Dann gibt es mindestens ein $ x $ aus der Menge der Folgenglieder, für das gilt: $ x>s $.
Ich wollte irgendwie auf die Definition einer bestimmt gegen $ [mm] \infty [/mm] $ divergenten Folge kommen. Die Definition besagt ja, dass es für ein beliebiges c>0 ein n aus den natürlichen Zahlen gibt, sodass ab einem [mm] $n_{0} [/mm] $ für $ [mm] n>n_{0} [/mm] $ dies gilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Di 06.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Zu jeder natürlichen Zahl $k$ gibt es ein [mm] $a_{n_k} [/mm] > k$. Die Folge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] konvergiert bestimmt gegen [mm] $\infty$, [/mm] ist aber im Allgemeinen keine Teilfolge von [mm] $(a_n)$.
[/mm]
Nach dieser Idee ist jetzt eine Teilfolge zu konstruieren.
Kommst Du damit weiter?
Gruß
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 06.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Leider nicht...
Zu zeigen ist doch: Wenn eine Folge nicht nach oben beschränkt ist, dann besitzt sie eine gegen unendlich divergente Teilfolge.
Also könnte ich doch zum Beispiel mit einem Widerspruchsbeweis es machen oder ausgehend von der Wenn bedingung mich "vorarbeiten".
Kannst du mir deinen Ansatz noch einmal genauer erläutern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Di 06.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die antwort von helbig, sagt zu jedem k gibt es ein [mm] a_n_k [/mm] das größer k ist, eines, das >k+1 ist usw. allerdings können unter denen viele identisch sein denn etwa zwischen dem [mm] a_n>1000 [/mm] und dem [mm] a_n>2000 [/mm] braucht kein einziges [mm] a_n [/mm] liegen denn [mm] a_n=2001 [/mm] erfüllt beide Ungl und damit wäre die von Helbig konstruierte Folge, keine Teilfolge, wenn sie wie hier zw k=1000 und 2002 1000 identische [mm] a_n [/mm] enthielte.
also musst du geschickt aussuchen. denk an folgen wie n, [mm] 2^n ,1000^n, n^n [/mm] und andere bei deinem Auswahlprozess.
Aber auch Widerspruch ist möglich.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 06.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Ist die Negation von: Eine folge ist bestimmt divergent gegen unendlich eigentlich: Eine Folge ist konvergent?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Di 06.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Ist die Negation von: Eine folge ist bestimmt divergent
> gegen unendlich eigentlich: Eine Folge ist konvergent?
Natürlich nicht.
Erstes Gegenbeispiel:
divergent gegen minus unendlich
zweites Gegenbeispiel:
eine beliebige Folge mit zwei Häufungspunkten
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Kannst du mir deinen Ansatz noch einmal genauer erläutern?
Gerne. Hierzu definiere zunächst den Begriff "Teilfolge" so, daß er sich für Beweise besser eignet:
[mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] ist eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] genau dann, wenn die Folge [mm] $(n_k)_k$ [/mm] streng monoton wachsend ist.
Wir müssen also dafür sorgen, daß [mm] $n_{k}
[mm] $({n_k})_k$ [/mm] durch:
[mm] $n_1=1$
[/mm]
Definition von [mm] $n_{k+1}$:
[/mm]
Es gibt ein $m$, so daß
(1) [mm] $a_m [/mm] > m$ und
(2) $m > [mm] n_{k}$.
[/mm]
Setze nun [mm] $n_{k+1}=m$.
[/mm]
Wegen (2) ist [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)$ [/mm] und wegen (1) divergiert
[mm] $(a_{n_k})$ [/mm] bestimmt gegen [mm] $\infty$. [/mm] Dies zu zeigen überlasse ich Dir.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 08.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
So ganz komme ich leider immer noch nicht zurecht.
Aber ich habe noch einen anderen Ansatz gefunden, vielleicht könnt ihr den einmal überprüfen:
Sei $ [mm] a_{n} [/mm] $ eine Folge und nicht nach oben beschränkt. Dann ist s mit $ s>0 $ keine obere Schranke von $ [mm] a_{n} [/mm] $. Da die Menge nicht nach oben beschränkt ist, ist die Menge der Folgenglieder nicht nach oben beschränkt. Dann folgt:Es gibt ein x aus der Menge der Folgenglieder für das gilt: $ x>s $.
Und das ist doch genau die Definition einer bestimmt gegen unendlich divergenten Folge.
Kann natürlich nicht stimmen, da ich nicht auf die Teilfolge komme. Aber kann man diesen Ansatz wählen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Do 08.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> So ganz komme ich leider immer noch nicht zurecht.
Was genau ist nicht klar?
>
> Aber ich habe noch einen anderen Ansatz gefunden,
> vielleicht könnt ihr den einmal überprüfen:
>
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine Folge und nicht nach oben beschränkt. Dann
> ist s mit [mm]s>0[/mm] keine obere Schranke von [mm]a_{n} [/mm]. Da die Menge
> nicht nach oben beschränkt ist, ist die Menge der
> Folgenglieder nicht nach oben beschränkt. Dann folgt:Es
> gibt ein x aus der Menge der Folgenglieder für das gilt:
> [mm]x>s [/mm].
>
> Und das ist doch genau die Definition einer bestimmt gegen
> unendlich divergenten Folge.
Nein. Ganz und gar nicht!
>
> Kann natürlich nicht stimmen, da ich nicht auf die
> Teilfolge komme. Aber kann man diesen Ansatz wählen?
Nein. Du hast weder eine Teilfolge angegeben, noch von ihr gezeigt, daß sie bestimmt
gegen [mm] $\infty$ [/mm] konvergiert.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 08.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Zum einen steht in unserem Skript, dass:
Wenn $ [mm] (a_n) [/mm] $ eine Folge reeller Zahlen und $ [mm] (n_k) [/mm] $ eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen ist, dann heißt die Folge $ [mm] (a_n_k)$ [/mm] Teilfolge.
Meintest du $ [mm] (n_k)_k [/mm] $ oder $ [mm] (n_k)_{k \in \IN} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Do 08.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Zum einen steht in unserem Skript, dass:
> Wenn [mm](a_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen und [mm](n_k)[/mm] eine
> streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen ist,
> dann heißt die Folge [mm](a_n_k)[/mm] Teilfolge.
>
> Meintest du [mm](n_k)_k[/mm] oder [mm](n_k)_{k \in \IN}[/mm]
Das ist bei mir dasselbe. Wenn in Ausdrücken für die Folgenglieder mehrere Variablen vorkommen, gebe ich gerne die Indexvariable an. Aber [mm] $\IN$ [/mm] anzugeben, halte ich für überflüssig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 08.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
> $ [mm] (a_{n_k})_k [/mm] $ ist eine Teilfolge von $ [mm] (a_n)_n [/mm] $ genau dann, wenn die
> Folge $ [mm] (n_k)_k [/mm] $ streng monoton wachsend ist.
>
>Wir müssen also dafür sorgen, daß $ [mm] n_{k}
Bis hierhin verstehe ich es glaube ich. Wir nehmen eine Folge $ [mm] a_n [/mm] $ an. Wenn $ [mm] (n_k)$ [/mm] streng monoton wachsend ist, dann ist die Folge $ [mm] (a_{n_k})_k [/mm] $ eine Teilfolge von $ [mm] (a_n) [/mm] $.
Nach Definition von monoton wachsenden Folgen muss gelten:
$ [mm] n_k [/mm] < [mm] n_{k+1} [/mm] $
1. Frage: Wie geht es nun weiter. Könntest du mir das bitte in Worten vielleicht erklären?
2. Frage: Ich verstehe die Struktur nicht recht. Ich gehe doch im Moment von einer ganz normalen Folge aus. Die Behauptung sagt doch aber, dass ich von einer nicht nach oben beschränkten Folgen ausgehend zu einer bestimmt divergenten Teilfolge gelange.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> > [mm](a_{n_k})_k[/mm] ist eine Teilfolge von [mm](a_n)_n[/mm] genau dann, wenn
> die
> > Folge [mm](n_k)_k[/mm] streng monoton wachsend ist.
> >
> >Wir müssen also dafür sorgen, daß [mm]n_{k}
>
> Bis hierhin verstehe ich es glaube ich. Wir nehmen eine
> Folge [mm]a_n[/mm] an. Wenn [mm](n_k)[/mm] streng monoton wachsend ist, dann
> ist die Folge [mm](a_{n_k})_k[/mm] eine Teilfolge von [mm](a_n) [/mm].
> Nach Definition von monoton wachsenden Folgen muss gelten:
> [mm]n_k < n_{k+1}[/mm]
Genau!
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> 1. Frage: Wie geht es nun weiter. Könntest du mir das
> bitte in Worten vielleicht erklären?
Wir konstruieren eine Folge [mm] $(n_k)$ [/mm] mit [mm] $n_k [/mm] < [mm] n_{k+1}$ [/mm] so, daß die Folge [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] bestimmt gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert.
> 2. Frage: Ich verstehe die Struktur nicht recht. Ich gehe
> doch im Moment von einer ganz normalen Folge aus. Die
> Behauptung sagt doch aber, dass ich von einer nicht nach
> oben beschränkten Folgen ausgehend zu einer bestimmt
> divergenten Teilfolge gelange.
Genau. Deswegen haben wir ja die Folge [mm] $(n_k)$ [/mm] so definiert, daß für jedes [mm] $k\in\IN$
[/mm]
[mm] $n_k [/mm] < [mm] n_{k+1}$ [/mm] und
[mm] $a_{n_k} [/mm] > k$
gilt. Die erste Bedingung liefert, daß [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] eine Teilfolge ist. Die zweite Bedingung ist nur erfüllbar, wenn [mm] $a_{n}$ [/mm] unbeschränkt ist. Aus der zweiten Bedingung folgt dann, daß [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] gegen unendlich bestimmt divergiert. Kannst Du diesen Schluß begründen?
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 09.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Also ich habe es jetzt bis zu dem "Schluss" verstanden. Wie man auf so etwas kommt, ist mir immer noch fraglich. Ich denke irgendwie immer viel zu kurz und versuche da ganz konkret von der Bedingung etwas ableiten zu wollen.
Zu zeigen ist also noch, dass aus
$ $ [mm] a_{n_k+1} [/mm] > k+1 $ folgt, dass es die Teilfolge nun bestimmt gegen unendlich divergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Also ich habe es jetzt bis zu dem "Schluss" verstanden. Wie
> man auf so etwas kommt, ist mir immer noch fraglich. Ich
> denke irgendwie immer viel zu kurz und versuche da ganz
> konkret von der Bedingung etwas ableiten zu wollen.
> Zu zeigen ist also noch, dass aus
> $ $ [mm]a_{n_k+1}[/mm] > k+1 $ folgt, dass es die Teilfolge nun
> bestimmt gegen unendlich divergiert.
Richtig! Dies bedeutet: Zu jedem [mm] $M\in\IR$ [/mm] gibt es ein [mm] $m\in\IN$, [/mm] so daß für alle $k>m$ auch [mm] $a_{n_k}>M$ [/mm] ist. Sei also [mm] $M\in\IR$. [/mm] Dann gibt es (nach dem Postulat von Archimedes) ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit $m>M$ und für alle $k>m$ erhalten wir wegen der zweiten Bedingung der rekursiven Definition von [mm] $n_k$:
[/mm]
[mm] $a_{n_k} [/mm] > k > m > M$.
Fertig.
Gruß,
Wolfgang
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