Folgen Grenzwert berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Fr 17.02.2012 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass der folgende Folgengrenzwert existiert und bestimmen Sie ihn:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vektor{\bruch{2n^{2}+1+n}{2n^{2}+1}}^{n} [/mm] |
Okay hier mal mein bisheriger Ansatz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \vektor{\bruch{2n^{2}+1+n}{2n^{2}+1}}^{n}
[/mm]
[mm] =\vektor{\bruch{2n^{2}+1}{2n^{2}+1}+\bruch{n}{2n^{2}+1}}^{n}
[/mm]
[mm] =\vektor{1+\bruch{n}{2n^{2}+1}}^{n}
[/mm]
So das ganze erinnert doch wieder an die Folge die gegen e-Konvergiert.
Mein Problem ist eigentlich, dass ich nun [mm] n^{2} [/mm] unten im Zähler stehen habe.
Irgendwie muss sich da doch eine Teilfolge konstuieren lassen.
Nur ist mir noch nicht ganz so klar wie ich das anstellen soll.
Probiert habe ich auch schon n auszuklammern, dann erhalte ich jedoch
[mm] =\vektor{1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}}^{n}
[/mm]
Tja und genau hier ist mein Problem. Ich weiss einfach nicht wie ich weiter machen soll.
Vielen dank schonmal
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Hiho,
> Probiert habe ich auch schon n auszuklammern, dann erhalte
> ich jedoch
> [mm]=\vektor{1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}}^{n}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun mach dir mal klar, dass folgende Ungleichungen für [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ für ausreichend große n gelten:
[mm] $\left(1+\bruch{1}{2n+\varepsilon*n}\right)^n \le\left(1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}\right)^n \le \left(1+\bruch{1}{2n}\right)^n [/mm] $
Nun forme noch ein bisschen um und nutze aus, dass
[mm] $\left(1 + \bruch{x}{n}\right)^n \to e^x$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 Sa 18.02.2012 | | Autor: | Joker08 |
> Nun mach dir mal klar, dass folgende Ungleichungen für
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] für ausreichend große n gelten:
> [mm] \left(1+\bruch{1}{2n+\varepsilon\cdot{}n}\right)^n \le\left(1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}\right)^n \le \left(1+\bruch{1}{2n}\right)^n
[/mm]
Also der Term wird kleiner, wenn der Nenner größer wird.
Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] git, [mm] \bruch{1}{n}<\varepsilon \gdw \varepsilon*n>1
[/mm]
Somit gilt [mm] \left(1+\bruch{1}{2n+\varepsilon*n}\right)^n \le\left(1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}\right)^n [/mm] da [mm] \bruch{1}{n}\le1
[/mm]
[mm] \left(1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}\right)^n \le \left(1+\bruch{1}{2n}\right)^n [/mm] gilt natürlich auch, da ich den Term nur größer mach, wenn ich [mm] \bruch{1}{n} [/mm] weglasse.
Okay, da wir nach oben abgeschätzt haben, können wir den Term ruhig benutzen.
[mm] \left(1+\bruch{1}{2n}\right)^n [/mm]
[mm] =\vektor{\left(1+\bruch{1}{2n}\right)^{2n}}^{\bruch{1}{2}} [/mm]
Das ganze ist dann eine Teilfolge von e, und konvergiert gegen [mm] \wurzel{e}
[/mm]
Ist das korrekt ?
Eine Frage hätte ich dann allerdings noch. Bei der Abschätzung
[mm] \left(1+\bruch{1}{2n+\varepsilon\cdot{}n}\right)^n \le\left(1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}\right)^n \le \left(1+\bruch{1}{2n}\right)^n
[/mm]
würde es doch ausreihen wenn ich nur nach rechts abschätze oder ?
Also den Term nur nach oben abschätzen.
Ansonsten schonmal vielen dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 19.02.2012 | | Autor: | Joker08 |
Naja die linke Seite hätte ich eher mit 1 abgeschätzt.
Also statt:
[mm] \left(1+\bruch{1}{2n+\varepsilon\cdot{}n}\right)^n \le\left(1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}\right)^n
[/mm]
hätte ich:
[mm] \left(1+\bruch{1}{2n+1}\right)^n \le\left(1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}\right)^n
[/mm]
geschrieben.
Dies wäre dann wieder eine Teilfolge von der anderen, und würde ebenfalls gegen [mm] e^{\bruch{1}{2}} [/mm] konvergieren.
Somit hätten wir die Konvergenz der Folge gegen [mm] e^{\bruch{1}{2}} [/mm] mithilfe des Quetschlemmas bewiesen.
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Hiho,
> hätte ich:
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> [mm]\left(1+\bruch{1}{2n+1}\right)^n \le\left(1+\bruch{1}{2n+\bruch{1}{n}}\right)^n[/mm]
>
> geschrieben.
>
> Dies wäre dann wieder eine Teilfolge von der anderen, und
> würde ebenfalls gegen [mm]e^{\bruch{1}{2}}[/mm] konvergieren.
Das ist keine Teilfolge.
Kannst du durch einfaches Einsetzen verifizieren.
Aber es hat mich auf eine Idee gebracht, du könntest abschätzen zu
[mm] $\left(1+\bruch{1}{2n+2}\right)^n$
[/mm]
Dann ausklammern, geschickt erweitern und einen Teilausdruck erhalten, der gegen [mm] e^\bruch{1}{2} [/mm] konvergiert und einer, der gegen 1 geht.
Dann sparst du dir die [mm] $\varepsilon$-Argumentation.
[/mm]
> Somit hätten wir die Konvergenz der Folge gegen
> [mm]e^{\bruch{1}{2}}[/mm] mithilfe des Quetschlemmas bewiesen.
Dann ja.
MFG;
Gono.
PS: Stell deine Frage doch nächstemal auch als solche und nicht als Mitteilung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Joker08 |
Okay dann versuch ich mich mal daran.
[mm] \left(1+\bruch{1}{2n+2}\right)^n
[/mm]
[mm] =\left(1+\bruch{1}{2\cdot(n+1)}\right)^n
[/mm]
[mm] =\vektor{\left(1+\bruch{1}{2\cdot(n+1)}\right)^{2\cdot(n+1)}}^{\bruch{1}{2}}\cdot\left(1+\bruch{1}{2n+2}\right)^{-1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^\bruch{1}{2}\cdot1
[/mm]
Ist das so richtig ?
Vielen dank nochmal ^^
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Hiho,
> [mm]=\vektor{\left(1+\bruch{1}{2\cdot(n+1)}\right)^{2\cdot(n+1)}}^{\bruch{1}{2}}\cdot\left(1+\bruch{1}{2n+2}\right)^{-1}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e^\bruch{1}{2}\cdot1[/mm]
Auch wenns umständlich aufgeschrieben ist ^^
MFG,
Gono.
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