Folgen: Rekursiv zu explizit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folge (an) ist rekursiv gegeben durch
a1= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ; an+1= an+ [mm] \bruch{1}{(2n+1)(2n+3)}
[/mm]
Wandeln Sie den Term in explizite Form um u. begründen Sie das Ergebnis. |
Ich weiß das es sich um eine monoton steigende Funktion handelt und man den Term auch als Summe schreiben kann:
an=a1+ [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(2n+1)(2n+3)}
[/mm]
1.Ich bin nicht in der Lage aufgrund dieser Überlegungen auf eine explizite Form zu schließen - ein begründeter Ansatz würde mir sehr weiterhelfen.
2. Ist mit "begründen" ein Beweis durch vollst. Induktion gemeint oder gibt es auch andere evtl. simplere Verfahren zur Begründung der Formel?
Viele Grüße Sascha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Brinki |
Hallo Sascha,
kann es sein, dass dein [mm] a_{1} [/mm] in Wirklichkeit ein [mm] a_{0} [/mm] ist?
Dann hätten die Folgenglieder folgende Regelmäßigkeit:
[mm] a_{0}=\bruch{1}{1*3}
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{1}{1*3}+\bruch{1}{3*5}
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{1}{1*3}+\bruch{1}{3*5}+\bruch{1}{5*7}
[/mm]
usw.
Mit einem kleinen Trick kommst du weiter.
Du kannst bei den Folgengliedern die Summanden umschreiben. Es gilt nämlich z. B.
[mm] \bruch{1}{3*5}=\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{5})
[/mm]
Nun sollte sich einiges in Wohlgefallen auflösen.
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet und konnte dir auf diese Weise weiter helfen.
Grüße
Brinki
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Hallo Brinki, vielen Dank für deine Hilfestellung.
Mein Lösungsvorschlag für eine explizite Darstellung lautet:
[mm] a_{n}=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2}(\bruch{1}{3}-(2n+3))
[/mm]
Für den Beweis durch vollst. Induktion habe ich folgenden Ansatz:
Ich nehme die rekursive Form von [mm] a_{n+1} [/mm] und ersetze darin [mm] a_{n} [/mm] durch die explizite Form.
Diese Form möchte ich dann auf die explizite Darstellung von [mm] a_{n+1} [/mm] bringen.
Ist dieser Ansatz überhaupt richtig? Ich kann den Beweis nämlich nicht durchführen, da sich die Formen nicht angleichen lassen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 07.03.2006 | | Autor: | Brinki |
An deiner Formel erkenne ich, dass das erste Glied tatsächlich [mm] a_{0} [/mm] war.
Bedenke:
1.) Auch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] lässt sich schreiben als [mm] \bruch{1}{1*3}.
[/mm]
Damit wird deine explizite Formel noch etwas enfacher.
2.) Ich vermute, in deiner Formel fehlt auch noch ein [mm] \bruch{1}{...}
[/mm]
3.) [mm]2n+3[/mm] ist die auf [mm]2n+1[/mm] folgende ungerade Zahl. Diese taucht doch erst beim Folgenglied [mm] a_{n+1} [/mm] auf.
Vielleicht schreibst du dir die ersten Folgenglieder einfach mal auf und vereinfachst sie mit dem Trick.
Probiers damit noch einmal.
Grüße
Brinki
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Hallo Brinki
Ich kann deine Tips diesmal leider nicht richtig verwerten:
1. wenn ich [mm] a_{0} [/mm] in die Klammer integriere würde es ja keine Summe mehr sein und damit keine monoton steigende Funktion.
Weiter ist die Folge momentan doch richtig (oder?) - so erhalte ich anfangs die richtigen Folgeglieder. Ich dachte dass ich (2n+3) in der Folge stehen lassen müsste, weil dies die Glieder sind, die erhalten bleiben während (2n+1) stets durch kürzen entfällt.
Grüße Sascha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Fr 10.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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