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Hallo,
ich habe einen Beweis für, wenn die Folge [mm] a_n [/mm] konvergent ist, dann ist auch [mm] 1/a_n [/mm] konvergent, vor mir.
Darin verstehe ich eine Umstellung nicht:
Aus [mm] |a_n [/mm] - [mm] a|<\bruch{|a|}{2} [/mm] soll folgen [mm] \bruch{|a|}{2}>|a|-|a_n|
[/mm]
Weiß jemand, wie man von [mm] |a_n [/mm] - [mm] a|<\bruch{|a|}{2} [/mm] zu [mm] \bruch{|a|}{2}>|a|-|a_n| [/mm] kommt?
LG regenschirm
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe einen Beweis für, wenn die Folge [mm]a_n[/mm] konvergent
> ist, dann ist auch [mm]1/a_n[/mm] konvergent, vor mir.
>
> Darin verstehe ich eine Umstellung nicht:
> Aus [mm]|a_n[/mm] - [mm]a|<\bruch{|a|}{2}[/mm] soll folgen
> [mm]\bruch{|a|}{2}>|a|-|a_n|[/mm]
>
> Weiß jemand, wie man von [mm]|a_n[/mm] - [mm]a|<\bruch{|a|}{2}[/mm] zu
> [mm]\bruch{|a|}{2}>|a|-|a_n|[/mm] kommt?
ja, das ist (vll. etwas versteckt) die Dreiecksungleichung. Ich zeige Dir mal, wie Du Dir das selbst hättest überlegen können:
Es gilt nun [mm] $\frac{|a|}{2} [/mm] > [mm] |a_n-a|\,.$ [/mm] Daraus soll nun [mm] $\frac{|a|}{2} [/mm] > [mm] |a|-|a_n|$ [/mm] folgen.
Wenn wir nun wüßten, dass [mm] $|a_n-a| \ge |a|-|a_n|$ [/mm] ist, dann würde gelten:
[mm] $$\frac{|a|}{2} [/mm] > [mm] |a_n-a| \ge |a|-|a_n|$$
[/mm]
und damit insbesondere
[mm] $$\frac{|a|}{2} [/mm] > [mm] |a|-|a_n|\,.$$
[/mm]
Also ist es hinreichend, die Ungleichung [mm] $|a_n-a| \ge |a|-|a_n|$ [/mm] zu beweisen. Diese ergibt sich aber aus der Dreiecksungleichung, nämlich so:
[mm] $$|a|=|a-a_n+a_n| \le |a-a_n|+|a_n|=|-(a_n-a)|+|a_n|=|a_n-a|+|a_n|$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow |a|-|a_n| \le |a_n-a|\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Sa 14.03.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo,
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> ich habe einen Beweis für, wenn die Folge [mm]a_n[/mm] konvergent
> ist, dann ist auch [mm]1/a_n[/mm] konvergent, vor mir.
Hallo,
also mal ganz blöde Frage:
Sei [mm] a_n=(\bruch{1}{n})_{n \in \IN}
[/mm]
Das konvergiert ja bekanntlich gegen 0.
Dann ist doch [mm] \bruch{1}{a_n}=(n)_{n \in \IN} [/mm] divergent!!!
Bist du sicher mit deiner Angabe, was du beweisen willst??
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> Darin verstehe ich eine Umstellung nicht:
> Aus [mm]|a_n[/mm] - [mm]a|<\bruch{|a|}{2}[/mm] soll folgen
> [mm]\bruch{|a|}{2}>|a|-|a_n|[/mm]
>
> Weiß jemand, wie man von [mm]|a_n[/mm] - [mm]a|<\bruch{|a|}{2}[/mm] zu
> [mm]\bruch{|a|}{2}>|a|-|a_n|[/mm] kommt?
>
>
> LG regenschirm
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo glie,
> > Hallo,
> >
> > ich habe einen Beweis für, wenn die Folge [mm]a_n[/mm] konvergent
> > ist, dann ist auch [mm]1/a_n[/mm] konvergent, vor mir.
>
> Hallo,
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> also mal ganz blöde Frage:
> Sei [mm]a_n=(\bruch{1}{n})_{n \in \IN}[/mm]
> Das konvergiert ja
> bekanntlich gegen 0.
>
> Dann ist doch [mm]\bruch{1}{a_n}=(n)_{n \in \IN}[/mm] divergent!!!
>
> Bist du sicher mit deiner Angabe, was du beweisen willst??
Hmm, die Existenz von [mm] $\left(\frac{1}{a_n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] bedingt implizit, dass [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\neq [/mm] 0$ ist.
Denn nur so ist sichergestellt, dass nur endlich viele Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] der (konvergenten) Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gleich 0 sind, sprich dass unendlich viele, dh. alle ab einem gewissen Index [mm] $n_0$ [/mm] ungleich 0 sind
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 So 15.03.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo glie,
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> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe einen Beweis für, wenn die Folge [mm]a_n[/mm] konvergent
> > > ist, dann ist auch [mm]1/a_n[/mm] konvergent, vor mir.
> >
> > Hallo,
> >
> > also mal ganz blöde Frage:
> > Sei [mm]a_n=(\bruch{1}{n})_{n \in \IN}[/mm]
> > Das konvergiert
> ja
> > bekanntlich gegen 0.
> >
> > Dann ist doch [mm]\bruch{1}{a_n}=(n)_{n \in \IN}[/mm] divergent!!!
> >
> > Bist du sicher mit deiner Angabe, was du beweisen willst??
>
> Hmm, die Existenz von [mm]\left(\frac{1}{a_n}\right)_{n\in\IN}[/mm]
> bedingt implizit, dass [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\neq 0[/mm]
> ist.
>
> Denn nur so ist sichergestellt, dass nur endlich viele
> Folgenglieder [mm]a_n[/mm] der (konvergenten) Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
> gleich 0 sind, sprich dass unendlich viele, dh. alle ab
> einem gewissen Index [mm]n_0[/mm] ungleich 0 sind
>
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Hallo schachuzipus,
danke für deine Antwort, das ist mir schon klar.
Das war aber doch gar nicht mein Einwand.
Mein Einwand bezieht sich darauf, dass man nicht folgenden Satz beweisen kann:
Wenn eine Folge [mm] a_n [/mm] konvergent ist, dann konvergiert auch [mm] \bruch{1}{a_n}
[/mm]
Wenn schon, dann kann man folgenden Satz beweisen:
Konvergiert eine Folge [mm] a_n [/mm] gegen den Grenzwert [mm] a\not=0, [/mm] dann konvergiert auch die Folge [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm]
Gruß Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 So 15.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Glie,
> Mein Einwand bezieht sich darauf, dass man nicht folgenden
> Satz beweisen kann:
>
> Wenn eine Folge [mm]a_n[/mm] konvergent ist, dann konvergiert auch
> [mm]\bruch{1}{a_n}[/mm]
>
> Wenn schon, dann kann man folgenden Satz beweisen:
>
> Konvergiert eine Folge [mm]a_n[/mm] gegen den Grenzwert [mm]a\not=0,[/mm]
> dann konvergiert auch die Folge [mm]\bruch{1}{a_n}[/mm]
da hast Du natürlich Recht. Ich hatte mir die Formulierung des Satzes nicht durchgelesen, aber richtig sollte der Satz natürlich z.B. so heißen:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent gegen [mm] $a\,$ [/mm] und seien fast alle Folgenglieder von Null verschieden. Für $a [mm] \not=0$ [/mm] konvergiert dann [mm] $(1/a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $1/a\,,$ [/mm] wobei man dabei z.B. [mm] $1/a_k:=0$ [/mm] setzt, für alle [mm] $\,k\,,$ [/mm] die so sind, dass [mm] $a_k=0\,.$
[/mm]
Und auch, wenn man sagt, dass man bestimmte Divergenz als unbestimmte Konvergenz bezeichnet, ist der Fall [mm] $a=0\,$ [/mm] problemhaft, denn die Folge [mm] $a_n=(-1)^n \frac{1}{n}$ [/mm] erfüllt [mm] $a_n \not=0$ [/mm] für alle [mm] $n\,,$ [/mm] aber [mm] $1/a_n=(-1)^n*n$ [/mm] ist nicht konvergent, und auch weder bestimmt divergent gegen [mm] $+\infty$ [/mm] noch bestimmt divergent gegen [mm] $-\infty\,.$ [/mm] Da man in [mm] $\IC$ [/mm] sagt, dass eine Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] $(|z_n|)_n [/mm] $ gegen [mm] $\infty$ [/mm] konvergiert, und da man dort auch [mm] $1/0=\infty$ [/mm] setzen kann, macht die Aussage oben in [mm] $\IC$ [/mm] in diesem Sinne vll. sogar Sinn.
Aber in [mm] $\IR$ [/mm] hat man ja auch 'Konvergenzen gegen [mm] $+\infty$ [/mm] und [mm] $-\infty$', [/mm] und da bekommt man ggf. etwas 'Huddel'. Also am besten sollte man fordern, dass der Grenzwert der Folge nicht verschwindet. Und damit erspart man sich auch eigentlich den Zusatz, dass fast alle Folgenglieder nicht verschwinden, weil die Folge ja als konvergent vorausgesetzt wird. Ist der Grenzwert der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] dann nämlich $a [mm] \not=0\,,$ [/mm] so liegen alle bis auf endlich viele Folgenglieder in der [mm] $|a|/2\,$-Umgebung [/mm] von [mm] $a\,$ [/mm] und können somit auch nicht verschwinden.
P.S.:
Auch wenn es durchaus gängig ist:
Zu sagen 'Die Folge [mm] $a_n\;\;(=...)$ [/mm] konvergiert...'
missfällt mir. Denn [mm] $a_n$ [/mm] bezeichnet eigentlich das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgenglied bzw. den Wert der Abbildung $a: [mm] \IN \to [/mm] Y$ (mit einer Menge $Y [mm] \not=\emptyset$) [/mm] an der Stelle $n [mm] \in \IN$, [/mm] also [mm] $a_n=a(n)\,.$ [/mm]
Es ist sinnvoller, zu sagen: 'Die Folge [mm] $(a_n)_n$...' [/mm] oder 'Die Folge [mm] $(a_n)$...' [/mm] oder 'Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$...' [/mm] oder 'Die Folge [mm] $(a_n)_{n=1}^\infty$...' [/mm] bzw. analoges. Denn dieses 'Tupel mit abzählbar unendlich vielen Komponenten' repräsentiert dann die Abbildung [mm] $\,a$ [/mm] in eindeutiger Weise. Es ist aber auch durchaus eine Geschmackssache, ich habe generell auch nichts weiter dagegen, wenn Du von der Folge [mm] $a_n=...$ [/mm] sprichst, weil dann aus dem Zusammenhang klar ist, dass Du eigentlich [mm] $(a_n)_n$ [/mm] meinst, wenngleich ich es dann doch lieber sehen würde, wenn Du da wenigstens Klammern spendieren würdest, also 'Die Folge [mm] $(a_n)$...' [/mm] schreiben würdest. Aber das darfst Du gerne dennoch weiterhin auch unterlassen, es ist kein 'muss' oder 'soll', sondern ich fände es nur ästhetischer und finde es sicher eher aus didaktischen Gründen sinnvoll.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hallo glie,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe einen Beweis für, wenn die Folge [mm]a_n[/mm] konvergent
> > > ist, dann ist auch [mm]1/a_n[/mm] konvergent, vor mir.
> >
> > Hallo,
> >
> > also mal ganz blöde Frage:
> > Sei [mm]a_n=(\bruch{1}{n})_{n \in \IN}[/mm]
> > Das konvergiert
> ja
> > bekanntlich gegen 0.
> >
> > Dann ist doch [mm]\bruch{1}{a_n}=(n)_{n \in \IN}[/mm] divergent!!!
> >
> > Bist du sicher mit deiner Angabe, was du beweisen willst??
>
> Hmm, die Existenz von [mm]\left(\frac{1}{a_n}\right)_{n\in\IN}[/mm]
> bedingt implizit, dass [mm]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\neq 0[/mm]
> ist.
>
> Denn nur so ist sichergestellt, dass nur endlich viele
> Folgenglieder [mm]a_n[/mm] der (konvergenten) Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
> gleich 0 sind, sprich dass unendlich viele, dh. alle ab
> einem gewissen Index [mm]n_0[/mm] ungleich 0 sind
für [mm] $a_n=1/n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] existiert [mm] $1/a_n=n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Aber dennoch strebt [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $0\,.$
[/mm]
Missverstehe ich Dich? Denn der Einwand oben war schon richtig. Aus [mm] $a_n \to [/mm] a [mm] \blue{\not=0}$ [/mm] folgt [mm] $1/a_n \to 1/a\,.$ [/mm] Und wenn [mm] $a_n \to [/mm] 0$ strebt, so kann [mm] $1/a_n$ [/mm] durchaus einiges anderes machen als zu konvergieren (wobei wir dann eh nur von Konvergenz gegen [mm] $\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] zu sprechen hätten).
Und aus [mm] $a_n \not=0$ [/mm] für fast alle [mm] $n\,$ [/mm] folgt jedenfalls nicht, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] keine Nullfolge ist. Umgekehrtes gilt aber natürlich:
Wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen $a [mm] \not=0$ [/mm] strebt, dann ist [mm] $a_n \not=0$ [/mm] für fast alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
nein, du missverstehst mich nicht, ich hatte immer das implizite [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\neq [/mm] 0$ im Kopf und obendrein nochwas im Hirn verdreht.
Natürlich sollte man explizit [mm] $a\neq [/mm] 0$ fordern.
Nichts spricht gegen die Existenz einer Folge [mm] $\left(\frac{1}{a_n}\right)_{n\in\IN}$, [/mm] (selbst) wenn [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] Nullfolge ist, das zeigt ja glies Bsp.
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") für meine Umnachtung 
LG
schachuzipus
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