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| Aufgabe | Untersuchen Sie nachstehende Flogen auf Konvergenz:
i) [mm] (a_{n})_{n\in\IN}= (\bruch{1}{n}(\wurzel{(2n+1)³}-\wurzel{8n³+8n²+2n}))_{n\in\IN}
[/mm]
ii) [mm] (a_{n})_{n\in\IN}= ((-1)^{n}*(3+3^{-n})_{n\in\IN}
[/mm]
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Hallo!
zu i) Nullfolge. Da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] Nullfolge ist, ist auch das Produkt eine Nullfolge.
Reicht das?
zu ii) Ich weiß, dass es sich um eine divergente Folge handelt und ich 2 Fälle unterscheiden muss: n gerade/ungerade.
1. Fall: n gerade
[mm] ((-1)^{2n}*(3+3^{-2n})_{n\in\IN}
[/mm]
2. Fall: n ungerade
[mm] ((-1)^{2n-1}*(3+3^{-2n-1})_{n\in\IN}
[/mm]
Aber wie geh ich da jetzt weiter vor?
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> Untersuchen Sie nachstehende Flogen auf Konvergenz:
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> i) [mm](a_{n})_{n\in\IN}= (\bruch{1}{n}(\wurzel{(2n+1)³}-\wurzel{8n³+8n²+2n}))_{n\in\IN}[/mm]
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> ii) [mm](a_{n})_{n\in\IN}= ((-1)^{n}*(3+3^{-n})_{n\in\IN}[/mm]
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> Hallo!
> zu i) Nullfolge. Da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] Nullfolge ist, ist auch
> das Produkt eine Nullfolge.
> Reicht das?
Hallo,
das ist ein Schnellsch(l)uß, keinesfalls reicht das.
Es überzeugt nämlich überhaupt nicht: [mm] \bruch{1}{n}* n^3 [/mm] z.B. ist nämlich keine Nullfolge, obwohl [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eine Nullfolge ist.
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> zu ii) Ich weiß, dass es sich um eine divergente Folge
> handelt
Woher?
und ich 2 Fälle unterscheiden muss: n
> gerade/ungerade.
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> 1. Fall: n gerade
> [mm]((-1)^{2n}*(3+3^{-2n})_{n\in\IN}[/mm]
>
> 2. Fall: n ungerade
> [mm]((-1)^{2n-1}*(3+3^{-2n-1})_{n\in\IN}[/mm]
>
> Aber wie geh ich da jetzt weiter vor?
Brechne die Grenzwerte der beiden Teilfolgen. Wenn sie verschieden sind, ist Deine Folge nicht konvergent, denn bei konvergenten Folgen konvergieren alle Teilfolgen gegen denselben Grenzwert.
Gruß v. Angela
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In der Vorlesung hatten wir einen ähnliches Beispiel für eine divergente Folge:
[mm] (a_{n})_{n}= ((-1)^{n}(1-\bruch{1}{n}))_{n\in\IN}
[/mm]
Sei a [mm] \IN \IR [/mm] beliebig vorgegeben. Wähle [mm] \varepsilon=\bruch{1}{2}
[/mm]
zu zeigen: zu beliebigen [mm] n_{0} \in \IN [/mm] existiert n mit n [mm] \ge n_{0}, [/mm] so dass:
[mm] |a_{n}-a| \ge \varepsilon
[/mm]
Dazu: 1. Fall: a [mm] \ge [/mm] 0
Wähle n= [mm] 2n_{0}+1, [/mm] d. h. ungerade, so folgt:
[mm] |a_{n}-a|= |-(1-\bruch{1}{2n_0+1}-a|
[/mm]
= 1- [mm] \bruch{1}{2n_0+1}+a
[/mm]
> 1- [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
=0,5
Der andere Fall wurde anschließend betrachtet. Und man kam zum gleichem Ergebnis.
Warum das gleiche Ergebnis trotz Divergenz? Verstehe vor allem den in fett geduckten Schritt nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 So 11.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Jenny,
die sogenannte Epsilontik verwendet man nur, wenn es nicht anders geht, weil das idR recht mühsam ist.
Angela's Vorschlag ist wesentlich eleganter!
zu (i)
Erweitere den Folgenterm mit [mm] $\sqrt{(2*n+1)^3} [/mm] + [mm] \sqrt{8*n^3+8*n^2+2*n}$ [/mm] , wende die 3. binomische Formel im Zähler an und zeige durch eine einfache Abschätzung, daß der Nenner dann $> [mm] n^2 \sqrt{n}$ [/mm] ist. Nach Ausmultiplizieren des Zählers und Aufteilung des Bruches folgt dann das schon von dir vermutete Ergebnis (Nullfolge).
Gruß
Will
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Also, dass mit den Abschätzungen habe Ich nun alles gemacht.
Jetzt steht bei mir in der letzten Zeile:
[mm] \bruch{4}{\wurzel{n}}+\bruch{4}{n\*\wurzel{n}}+\bruch{1}{n^{2}\*\wurzel{n}}
[/mm]
Jetzt stellt sich mir die Frage, wie Ich das ordentlich aufschreibe, dass es sich dabei um eine Nullfolge handelt.
Könnte Ich das so aufschreiben?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{4}{\wurzel{n}}) [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{4}{n\*\wurzel{n}}) [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n^{2}\*\wurzel{n}})=0+0+0=0
[/mm]
Muss Ich zudem dann noch dass Konvergenzkriterium:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists n_{0}\in\IN \foralln\ge n_{0} |a_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
zeigen?
Danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 11.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Also, dass mit den Abschätzungen habe Ich nun alles
> gemacht.
>
> Jetzt steht bei mir in der letzten Zeile:
>
> [mm]\bruch{4}{\wurzel{n}}+\bruch{4}{n\*\wurzel{n}}+\bruch{1}{n^{2}\*\wurzel{n}}[/mm]
schön 
> Jetzt stellt sich mir die Frage, wie Ich das ordentlich
> aufschreibe, dass es sich dabei um eine Nullfolge handelt.
>
> Könnte Ich das so aufschreiben?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{4}{\wurzel{n}})[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{4}{n\*\wurzel{n}})[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{n^{2}\*\wurzel{n}})=0+0+0=0[/mm]
Die Aufgabe sollte noch davor stehen, ansonsten ist das gut.
> Muss Ich zudem dann noch dass Konvergenzkriterium:
>
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists n_{0}\in\IN \foralln\ge n_{0} |a_{n}-a|<\varepsilon[/mm]
>
> zeigen?
nein, nicht notwendig. Du hast die Limes-Sätze verwendet, damit ist alles gezeigt.
Gruß
Will
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Also wenn Ich die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] nun in Teilfolgen aufspalte, wie gehe Ich denn da genau vor?
Kann Ich z.B. sagen Ich nehme die Teilfolge [mm] (a_{j})=(\bruch{1}{n}) [/mm] und die Teilfolge [mm] (a_{k})=(\wurzel{8n^{3}+12n^{2}+6n+1}-\wurzel{8n^{3}+8n^{2}+2n}.
[/mm]
Wie schreibe Ich denn nun mathematisch korrekt auf, wie Ich deren Grenzwert bestimme?
Mache ich das mit dem limes?
Könnte Ich dann z.B. schreiben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{j})=0 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{k})=\infty [/mm] (die zweite habe Ich mir graphisch in derive angesehen, kann man das auch irgendwie berechnen?)
Und was wäre dann das Ergebnis von [mm] (a_{n})?
[/mm]
Denn dort habe Ich ja nun [mm] (a_{n})=(a_{j})\*(a_{k})=0\*\infty
[/mm]
was ergibt das denn?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo RWB-Lucio!
Da hast Du etwas falsch verstanden. Die Teilfolgen sollte man betrachten bei der anderen Folge mit dem Term [mm] $(-1)^n$ [/mm] :
[mm] $$a_n:=(-1)^n*\left(3+3^{-n}\right)=(-1)^n*\left(3+\bruch{1}{3^n}\right)=\begin{cases} 3+\bruch{1}{3^n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -3-\bruch{1}{3^n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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