Folgen mit dichten Quotienten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Walodja1987 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_k)_k_\in_\IN [/mm] eine streng monoton wachsende Folge positiver Zahlen derart, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_k=\infty [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_k}{a_k_+_1}=1.
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann die Menge der Quotienten
[mm] \{\bruch{a_m}{a_n} : m \in \IN, n \in \IN\}
[/mm]
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Hallo,
immer wenn ich lese, dass ich zeigen soll, dass etwas dicht in etwas ist, weiß ich nicht wie ich da ran gehen soll. Mir ist schon klar was mit dicht gemeint ist. [mm] \IQ [/mm] ist dicht in [mm] \IR, [/mm] weil ich jede reelle Zahl durch Elemente aus [mm] \IQ [/mm] beliebig nahe approximieren kann.
Wie aber zeige ich, dass etwas dicht in etwas ist?
Es muss was mit l r-p l < [mm] \varepsilon [/mm] sein. Ich muss irgendwie zeigen, dass in jeder Umgebung von q ein r ist.
Aber wie mache ich das?
Ich wäre über eine sehr ausführliche Hilfestellung erfreut.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Gruß Waldemar
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die Fragestellung ist nicht vollständig
was soll nun genau gezeigt werden ?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:11 So 28.12.2008 | | Autor: | Walodja1987 |
Hallo,
entschuldigung, dass ich einen Teil vergessen habe.
Man soll zeigen, dass die von mir angegebene Menge dicht in [mm] \IR^{+}=(0,\infty) [/mm] . Außerdem soll man noch zusätzlich konkrete FOlgen angeben, die diesen Eigenschaften genügen.
Danke
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hallo Walodja,
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_k)_k_\in_\IN [/mm] eine streng monoton wachsende Folge positiver Zahlen derart, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_k=\infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_k}{a_k_+_1}=1.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass dann die Menge der Quotienten
[mm] \{\bruch{a_m}{a_n} : m \in \IN, n \in \IN\} [/mm]
dicht in [mm]\IR^{+}=(0,\infty)[/mm] ist.
b) Geben Sie Beispiele für Folgen an, die diesen Eigenschaften genügen.
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Beispiele solcher Folgen anzugeben ist leicht.
Da passen z.B.
[mm] a_n=n
[/mm]
[mm] a_n=n^2
[/mm]
[mm] a_n=\wurzel{n}
[/mm]
[mm] a_n=ln(n+1) [/mm] (n+1, damit auch schon [mm] a_1>0)
[/mm]
etc.
Am ersten Beispiel sieht man auch leicht, dass die
zugehörige Quotientenmenge die Menge der positiven
rationalen Zahlen und damit dicht in [mm] \IR^+ [/mm] ist.
Um zu einem Beweis für (a) zu kommen, ist man
also sicher gut beraten, wenn man sich erst einmal
den Beweis für die Dichtheit der rationalen in den
reellen Zahlen vornimmt und schaut, welche
Anpassungen gemacht werden müssen, um den
Beweis auf die neue Situation zu übertragen.
Gruß Al-Chw.
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Danke erst mal für deine Antwort.
Ich muss wirklich sagen, dass ich den Beweis der Dichtheit, den wir in der Vorlesung gemacht haben, einfach nicht verstehe. Ich schreib ihn mal vollständig hin.
Zu jedem r [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein q [mm] \in \IQ [/mm] mit [mm] |r-q|<\varepsilon (\IQ [/mm] sind dicht in [mm] \IR)
[/mm]
Beweis: Sei r [mm] \in \IR, \varepsilon>0. [/mm] Wähle n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{1}{n}<\varepsilon.
[/mm]
(i) Sei [mm] r\ge0. [/mm] Setze [mm] M:=\{m \in \IN: m > rn\}. [/mm] Dann ist [mm] M\not=\emptyset.
[/mm]
Sei [mm] m_0 [/mm] das kleinste Element in M [mm] (\IN [/mm] ist wohlgeordnet). Dann ist [mm] m_0-1\lern
Somit [mm] |r-q|\le\bruch{1}{n}<\varepsilon
[/mm]
(ii) Sei r<0. Wähle q' [mm] \in \IQ [/mm] mit [mm] |q'-(-r)|<\varepsilon [/mm] und setze q:=-q'
Ich verstehe den Beweis echt nicht so gut. Wäre über eine ausführliche Erklärung dankbar.
Gruß Waldemar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 So 28.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke erst mal für deine Antwort.
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> Ich muss wirklich sagen, dass ich den Beweis der Dichtheit,
> den wir in der Vorlesung gemacht haben, einfach nicht
> verstehe. Ich schreib ihn mal vollständig hin.
>
> Zu jedem r [mm]\in \IR[/mm] und [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert ein q [mm]\in \IQ[/mm]
> mit [mm]|r-q|<\varepsilon (\IQ[/mm] sind dicht in [mm]\IR)[/mm]
>
> Beweis: Sei r [mm]\in \IR, \varepsilon>0.[/mm] Wähle n [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]\bruch{1}{n}<\varepsilon.[/mm]
>
> (i) Sei [mm]r\ge0.[/mm] Setze [mm]M:=\{m \in \IN: m > rn\}.[/mm] Dann ist
> [mm]M\not=\emptyset.[/mm]
> Sei [mm]m_0[/mm] das kleinste Element in M [mm](\IN[/mm] ist wohlgeordnet).
> Dann ist [mm]m_0-1\lern
> [mm]\bruch{m_0-1}{n}\ler<\bruch{m_0}{n}=:q[/mm]
> Somit [mm]|r-q|\le\bruch{1}{n}<\varepsilon[/mm]
>
> (ii) Sei r<0. Wähle q' [mm]\in \IQ[/mm] mit [mm]|q'-(-r)|<\varepsilon[/mm]
> und setze q:=-q'
also (ii) ist sicher klar, wenn Du (i) verstanden hast.
Was wird also bei (i) gemacht? Man zeigt, dass für jedes $r [mm] \in \IR_{\ge 0}$ [/mm] und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein $q [mm] \in \IQ$ [/mm] in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $r$ existiert.
Dazu nimmt man sich zunächst ein $r [mm] \in \IR_{\ge 0}$ [/mm] und ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ her, und hält die fest.
Weil [mm] $(1/p)_{p \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge in [mm] $\IR^+$ [/mm] ist, existiert ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $1/n < [mm] \varepsilon.$ [/mm]
Nun wird die Menge [mm] $M:=\{m \in \IN: m > \underbrace{r*n}_{\ge 0}\}$ [/mm] betrachtet. Dann setzt man [mm] $m_0:=\min [/mm] M$. Das kann man natürlich nur, wenn $M$ auch ein Minimum hat, aber das ist klar, weil $M$ per Definitionem eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist.
Dass [mm] $m_0 [/mm] - 1 < [mm] m_0$ [/mm] ist, ist trivial. Wegen $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist $n [mm] \ge [/mm] 1$, also folgt [mm] $\frac{m_0-1}{n} [/mm] < [mm] \frac{m_0}{n}\,.$
[/mm]
Nun ist [mm] $m_0 \in \IN$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] und daher [mm] $q:=\frac{m_0}{n} \in \IQ^+\,.$
[/mm]
Jetzt ist noch zu begründen, dass $q$ in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $r$ liegt, und dazu berechnet man den Abstand zwischen $r$ und $q$. Dabei ist folgendes zu beachten:
[mm] $(m_0-1) \notin [/mm] M$ (andernfalls wäre [mm] $m_0$ [/mm] ja nicht das Minimum von $M$, weil dann [mm] $m_0-1$ [/mm] eine kleinere natürliche Zahl in $M$ wäre), also gilt
[mm] $$m_0-1 \le r*n\,.$$
[/mm]
Ferner gilt aber [mm] $m_0 \in [/mm] M$ (da [mm] $m_0$ [/mm] ja das Minimum von $M$ ist), also gilt
[mm] $$m_0 [/mm] > [mm] r*n\,.$$
[/mm]
Es gilt also
[mm] $$m_0-1 \le [/mm] r*n < [mm] m_0\,,$$
[/mm]
mit anderen Worten (wegen $n [mm] \ge [/mm] 1 > 0$)
[mm] $$\frac{m_0}{n}-\frac{1}{n} \le [/mm] r < [mm] \frac{m_0}{n}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$q-\frac{1}{n} \le [/mm] r < [mm] q\,.$$
[/mm]
Folglich ist
[mm] $$|r-q|\;\;\;\text{ }\underset{\text{da }q > r}{=}\;\;\;\text{ }q-r \;\;\;\text{ }\underset{\text{da }r \ge q-1/n}{\le}\;\;\;\text{ } [/mm] q-(q-1/n)=1/n < [mm] \varepsilon\,.$$
[/mm]
Also gilt:
$$q [mm] \in \IQ \text{ mit } [/mm] |q-r| < [mm] \varepsilon\,,$$
[/mm]
d.h. in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $r [mm] \in \IR_{\ge 0}$ [/mm] existiert eine rationale Zahl [mm] $q\,.$ [/mm] Da $r [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig waren, folgt die Behauptung.
P.S.:
Wenn Du so willst:
Man hat hier quasi eine Zahl $q [mm] \in \IQ^+$ [/mm] so konstruiert, dass $r [mm] \ge [/mm] 0$ in der abgeschlossenen $1/n$-Umgebung von $q$ liegt, wobei $n$ zuvor so groß gewählt wurde, dass $1/n < [mm] \varepsilon\,,$ [/mm] und somit $r$ in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $q$ liegt. Dann liegt natürlich auch $q$ in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $r$.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
super vielen vielen Dank. Ist jetzt auf jeden Fall vieeeeeeeel verständlicher als davor.
Gruß Waldemar
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