Folgen reeller Zahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] c\in \IR^{+}. [/mm] Sei die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] wie folgt definiert:
1. [mm] a_{1}= \wurzel{c}
[/mm]
2. [mm] a_{n+1}= \wurzel{c+a_{n}}
[/mm]
zu zeigen: a) Folge ist monoton wachsend (vollst. Induktion)
b) Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt: [mm] a_{n}< [/mm] 1+ [mm] \wurzel{a_{n}} [/mm] (vollst. Induktion)
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + c} [/mm] |
Hallo Wissende!
Also ich hab hier diese Aufgabe bekommen und verste nicht wie die Folge heißt und wie ich die Aufgaben bearbeiten soll. Hätte jemand nen Tipp????
MfG, KommissarLachs
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Sorry, bei b) muss das (vollstige Induktion) natürlich unter der Wurzel weg.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Di 28.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo KommissarLachs!
Sieh' mal hier, da wurde diese Aufgabe bereits ausgiebig erläutert.
Hilft Dir das weiter?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Also, die Monotonie hab ich ja geschnallt. Aber wie mann die Beschränktheit durch 1 + [mm] \wurzel{c} [/mm] zeigen soll, kapier ich immer noch nicht. Geschweige denn denn Grenzwert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo KommissarLachs!
Wie in der Aufgabenstellung bereits angedeutet, wird der Nachweis der Beschränktheit mittels vollständiger Induktion geführt.
Ist denn die o.g. Schranke mit $a \ < \ [mm] 1+\wurzel{\red{a_n}}$ [/mm] richtig angegeben?
Und aus der Monotonie in Verbindung mit der Beschränktheit folgt unmittelbar die Konvergenz.
Da geht man den Ansatz [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] \ = \ a$ und setzt dies in die Rekursionsformel [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{c+a_n}$ [/mm] ein:
$a \ = \ [mm] \wurzel{c+a}$ [/mm] Nun nach $a_$ umstellen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
die Schranke is natürlich falsch. Sorry, es muss heißen:
[mm] a_{n} [/mm] < 1 + [mm] \wurzel{c}
[/mm]
der Grenzwert heißt [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + c}
[/mm]
Danke für deine Mühen, ich weiß dass ich schwer von kapisch bin...
|
|
|
|
