Folgen und Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 19.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche der nachstehenden Folgen [mm] (x_{k})_{k\in\IN} [/mm] in [mm] (\IR^{2}, ||.||_{\infty}) [/mm] konvergieren, und
bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert
http://www.matheforum.net/post?f=163&type=question
a) [mm] x_{k}:= k^{2}(cos(\bruch{ \pi }{k}-1, \bruch{1}{k}\wurzel[k]{3} \bruch{1}{k})
[/mm]
b) [mm] x_{k}:= (1-\bruch{1}{k})^{k}, [/mm] arctan(k)) |
Hallo,
Ich bin mir hier nicht sicher, ob das richtig ist, was ich machen möchte.
Ich würde die Komponenten einzelnd betrachten.
Bei a) käme dann als Grenzwert (0,0) raus.
Bei b) käme dann (1/e, [mm] \pi/2)
[/mm]
Darf ich das einfach so machen?
Danke sehr. Gruß SolRakt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:52 Fr 20.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen Sie, welche der nachstehenden Folgen [mm](x_{k})_{k\in\IN}[/mm] in [mm](\IR^{2}, ||.||_{\infty})[/mm] konvergieren, und
> bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert
> http://www.matheforum.net/post?f=163&type=question
> a) [mm]x_{k}:= k^{2}(cos(\bruch{ \pi }{k}-1, \bruch{1}{k}\wurzel[k]{3} \bruch{1}{k})[/mm]
>
> b) [mm]x_{k}:= (1-\bruch{1}{k})^{k}, arctan(k))[/mm]
>
>
>
>
> Hallo,
>
> Ich bin mir hier nicht sicher, ob das richtig ist, was ich
> machen möchte.
>
> Ich würde die Komponenten einzelnd betrachten.
>
> Bei a) käme dann als Grenzwert (0,0) raus.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schon l'Hospital sagt dir, dass das nicht stimmt. Der Grenzwert ist [mm](\pi/2,1)[/mm].
>
> Bei b) käme dann [mm](1/e, \pi/2)[/mm]
>
> Darf ich das einfach so machen?
Eigentlich nicht. es geht hier ja nicht um die Konvergenz der beiden Komponentenfolgen, sondern um die Konvergenz der Gesamtfolge in [mm] $\IR^2$ [/mm] bezüglich der Maximumsnorm. Du musst dir überlegen, dass hier wirklich Konvergenz vorliegt. Die Folge [mm] $(a_n,b_n)$ [/mm] konvergiert bzgl. der Maximumsnorm gegen $(a,b)$, wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] gibt, sodass
[mm] \|(a_n,b_n)-(a,b)\|_\infty = \max\{|a_n-a|,|b_n-b|\}< \varepsilon [/mm], wenn $n>N$ ist.
Aus der Konvergenz der Einzelfolgen ergibt sich lediglich, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] Zahlen [mm] $N_a,N_b\in\IN$ [/mm] gibt, sodass
[mm] |a_n-a|<\varepsilon[/mm], wenn [mm] $n>N_a$, [/mm] und [mm] $|b_n-b|<\varepsilon$, [/mm] wenn [mm] $n>N_b$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Fr 20.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Rainer:
1. Zwei Normen auf dem [mm] \IR^n [/mm] sind stets äquivalent.
2. Ist ||*|| irgendeine Norm auf [mm] \IR^n, [/mm] so ist Konvergenz bezügl. dieser Norm gleichbedeutend mit koordinatenweiser Konvergenz.
FRED
|
|
|
|
