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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_n) [/mm] = [mm] (a_n) [/mm] für n€N
[mm] a_1 [/mm] := 1,
[mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm]
für n€N |
Guten Morgen,
also,
1. als erstes soll ich per Induktion zeigen, dass [mm] a_n [/mm] immer zwischen einschließlich 0 und ausschließlich 1 liegt. Per einsetzen kann ich das, allerdings nicht mathematisch.
2. soll ich bestimmen ob die Funktion wachsend oder fallend ist.
Mein Ansatz war dann einfach einzusetzen, mathematisch weiß ich es auch hier nicht zu lösen. Vielleicht wisst ihr was. Ich habe es mit [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] versucht und dann wollte ich was größer oder kleiner 1 haben. Bin aber auf kein Ergebnis gekommen.
3. Grenzwertbestimmung:
Dafür habe ich [mm] a=\bruch{a}{2+a} [/mm] gesetzt und das ausgerechnet. Bei mir kommt da 0 und -1 raus, laut Lösungsblatt sollte aber 0 und -2 rauskommen.
Ich hoffe es ist einigermaßen verständlich!
lg Nils
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Fr 17.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm](a_n)[/mm] = [mm](a_n)[/mm] für n€N
>
> [mm]a_1[/mm] := 1,
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]
Das kann ja wohl nicht sein ! Links [mm] a_{n+1} [/mm] und rechts auch ! ?
Also: wie lautet die Vorschrift korrekt ?
FRED
>
> für n€N
> Guten Morgen,
> also,
> 1. als erstes soll ich per Induktion zeigen, dass [mm]a_n[/mm]
> immer zwischen einschließlich 0 und ausschließlich 1
> liegt. Per einsetzen kann ich das, allerdings nicht
> mathematisch.
>
> 2. soll ich bestimmen ob die Funktion wachsend oder fallend
> ist.
> Mein Ansatz war dann einfach einzusetzen, mathematisch
> weiß ich es auch hier nicht zu lösen. Vielleicht wisst
> ihr was. Ich habe es mit [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm] versucht und
> dann wollte ich was größer oder kleiner 1 haben. Bin aber
> auf kein Ergebnis gekommen.
>
> 3. Grenzwertbestimmung:
> Dafür habe ich [mm]a=\bruch{a}{2+a}[/mm] gesetzt und das
> ausgerechnet. Bei mir kommt da 0 und -1 raus, laut
> Lösungsblatt sollte aber 0 und -2 rauskommen.
>
> Ich hoffe es ist einigermaßen verständlich!
>
> lg Nils
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Achso, rechts von der Klammer muss das [mm] a_{n+1} [/mm] zu einem normalen [mm] a_n. [/mm] Wenn man nicht nachdenkt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Fr 17.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Achso, rechts von der Klammer muss das [mm]a_{n+1}[/mm] zu einem
> normalen [mm]a_n.[/mm] Wenn man nicht nachdenkt
Damit hättest du die Konstante Folge
$ [mm] a_{n+1}:=\bruch{a_n}{a_{n}}=1 [/mm] $
Ich tippe eher, dass du das meinst, was ich in meiner anderen Antwort geschrieben habe.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Fr 17.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achso, rechts von der Klammer muss das [mm]a_{n+1}[/mm] zu einem
> normalen [mm]a_n.[/mm]
Wie meinst Du das ?
> Wenn man nicht nachdenkt
Wie darf ich das verstehen ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Rechts neben dem Gleichzeichen im Nenner ist das +1 hinter dem a zuviel.
Das ist so zu verstehen , dass ich beim Einstellen der Frage anscheinend nicht genug nachgedacht habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Fr 17.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es sei [mm](a_n)[/mm] = [mm](a_n)[/mm] für n€N
>
> [mm]a_1[/mm] := 1,
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]
>
> für n€N
Du meist wahrscheinlich
[mm] a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+1}
[/mm]
Diese Funktion erfüllt nämlich die Bedingungen.
> Guten Morgen,
> also,
> 1. als erstes soll ich per Induktion zeigen, dass [mm]a_n[/mm]
> immer zwischen einschließlich 0 und ausschließlich 1
> liegt. Per einsetzen kann ich das, allerdings nicht
> mathematisch.
Das geht hier auch ohne Induktion.
Der Zähler des Bruchs ist immer kleiner als der Nenner.
Ausserdem sind sowohl der Zähler als auch der Nenner positiv, und zwar für alle [mm] n\in\IN [/mm]
Überlege mal, was das bedeutet.
Alternativ per Induktion:
[mm] a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+1}
[/mm]
Nun ist, mit der noch zu formulierenden Ind-Voraussetzung
[mm] 0
Also:
[mm] a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+1}>\frac{0}{0+1}\ldots
[/mm]
Versuche die Abschätzung <1 mal selber.
> 2. soll ich bestimmen ob die Funktion wachsend oder fallend
> ist.
> Mein Ansatz war dann einfach einzusetzen, mathematisch
> weiß ich es auch hier nicht zu lösen. Vielleicht wisst
> ihr was. Ich habe es mit [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm] versucht und
> dann wollte ich was größer oder kleiner 1 haben. Bin aber
> auf kein Ergebnis gekommen.
Vielleicht macht es Sinn, hier die expilzite Darstellung der Folge zu nutzen.
>
> 3. Grenzwertbestimmung:
> Dafür habe ich [mm]a=\bruch{a}{2+a}[/mm] gesetzt und das
> ausgerechnet. Bei mir kommt da 0 und -1 raus, laut
> Lösungsblatt sollte aber 0 und -2 rauskommen.
[mm] $a=\bruch{a}{2+a}$ [/mm] ist aber eine Falschaussage
Lasse in der expliziten darstellung [mm] n\to\infty [/mm] laufen.
>
> Ich hoffe es ist einigermaßen verständlich!
>
> lg Nils
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Okay danke die ersten beiden Fragen sind mir jetzt klar. Danke!
Allerdings bei der dritten haben wir das bei einer Vorlesung mal genauso gemacht. Hatte damals auch gedacht das wäre falsch, aber der Dozent macht das immer so. Und auch auf dem Lösungsblatt steht das so?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Fr 17.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Okay danke die ersten beiden Fragen sind mir jetzt klar.
> Danke!
> Allerdings bei der dritten haben wir das bei einer
> Vorlesung mal genauso gemacht. Hatte damals auch gedacht
> das wäre falsch, aber der Dozent macht das immer so. Und
> auch auf dem Lösungsblatt steht das so?!
Das kann ich mir nicht vorstellen, denn [mm] a=\frac{a}{2+a} [/mm] ist definitiv eine Falschaussage.
Bestimme den Grenzwert doch über die expizite Folge, das geht meist einfacher.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:32 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Wenn ich das mache komme ich auf 1, was ja falsch wäre:-( Habe dafür [mm] a_n [/mm] ausgeklammert und hatte dann noch [mm] \bruch{1}{1+(2/a_n)} [/mm] , was ja gegen 1 liefe.
Und es steht hier wirklich so
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 17.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay danke die ersten beiden Fragen sind mir jetzt klar.
> Danke!
> Allerdings bei der dritten haben wir das bei einer
> Vorlesung mal genauso gemacht. Hatte damals auch gedacht
> das wäre falsch, aber der Dozent macht das immer so. Und
> auch auf dem Lösungsblatt steht das so?!
Wenn
$ [mm] a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+1} [/mm] $ und a der Grenzwert von [mm] (a_n) [/mm] ist, so folgt:
$ [mm] a=\frac{a}{a+1} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Ich schreibe jetzt nochmal in Ruhe die Folge auf:
[mm] a_{n+1}=\bruch{a_n}{2+a_n}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Fr 17.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich schreibe jetzt nochmal in Ruhe die Folge auf:
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{a_n}{2+a_n}[/mm]
Schwere Geburt ! Bist Du sicher ?
Induktiv ist leicht zu sehen, dass [mm] a_n \ge [/mm] 0 ist für alle n.
Aus
$0 [mm] \le a_{n+1} \le \bruch{a_n}{2} \le a_n$
[/mm]
folgt nun leicht die Monotonie der Folge und (induktiv) 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1 für alle n
Für den Grenzwert a gilt:
[mm]a=\bruch{a}{2+a}[/mm]
Also ist a = ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Dann hätte ich jetzt -1 und 0 raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 17.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dann hätte ich jetzt -1 und 0 raus.
Gehen wir zu Günther Jauch. Was ist der Grenzwert der Folge [mm] (a_n) [/mm] ?
A: -1 B: 0
C: ist mir wurscht D: ich denke mal nach , schließe C aus, schau mir [mm] (a_n) [/mm] nochmal an
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Ahhh, da bei Günther Jauch nur eine richtige Antwort da ist, muss es wohl A) sein...wir hatten ja eben schon bestimmt, dass [mm] a_n [/mm] größer oder zumindest gleich 0 sein muss?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
falschen Buchstaben gewählt...B)!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Fr 17.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> falschen Buchstaben gewählt...B)!
Da hast Du grad nochmal die Kurve gekriegt !
Gewinn: 1 Cent
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 17.02.2012 | | Autor: | fred97 |
>> Ahhh, da bei Günther Jauch nur eine richtige Antwort da
> ist, muss es wohl A) sein...
Nein !
> wir hatten ja eben schon
> bestimmt, dass [mm]a_n[/mm] größer oder zumindest gleich 0 sein
> muss?!
Auaa ! Das tut so weh ! Da [mm] a_n \ge [/mm] 0 ist für alle n, ist auch a [mm] \ge [/mm] 0
Antwort B ist also richtig
Du gehst mit 0 € von dannen !
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Ich hatte es doch selber schon gemerkt Hatte nur die Buchstaben verwechselt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
:-P
Ich frage mich jetzt gerade noch warum denn wenn ich die Folge gegen unendlich laufen lasse (s.o.) bei mir 1 rauskommt, was ja falsch wäre?
Habe ich da was falsch gemacht oder geht das einfach nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Fr 17.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> :-P
> Ich frage mich jetzt gerade noch warum denn wenn ich die
> Folge gegen unendlich laufen lasse (s.o.) bei mir 1
> rauskommt, was ja falsch wäre?
>
> Habe ich da was falsch gemacht oder geht das einfach nicht?
Die Folge geht nicht gegen unendlich, Du magst es bedauern, aber ändern kannst Du es nicht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nils1991 |
Vielen Dank! echt gut erklärt!
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