Folgen und Reihen. < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{(2n+1)(n+2)}{(3n+1)(n+3)}
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 0} \bruch{e^x tan(x)}{e^x-1}
[/mm]
[mm] \lim_{x \to 0} x^x [/mm] |
| Aufgabe 2 | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}} [/mm] |
Hallo, ich habe diese Folgen und Reihen untersucht und bin auf folgende Ergebnisse gekommen.
Aufgabe 1.)
a) Grenzwert gegen [mm] \bruch{2}{3} [/mm] (n ausgeklammert gekürzt)
b)l'hospital angewendet 0 eingesetzt Grenzwert=1
[mm] c)\lim_{x \to 0} x^x [/mm] umgeschrieben auf [mm] \lim_{x \to 0} [/mm] e^(x(ln(x)) dann x * ln(x) = [mm] \bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}} [/mm] L'H angewendet = 1
Aufgabe 2)
a) QK: [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1 daraus folgt, es konvergiert absolut.
b) LK: [mm] (-1)^n [/mm] alternierend. [mm] a_n: \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] ist Nullfolge und monoton fallend, da [mm] a_n_+1 [/mm] < [mm] a_n [/mm] daraus folge konvergiert aber nicht absolut.
stimmen die? (falls etwas falsch ist schreibe ich mein kompletten Lösungsweg hin)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 So 03.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig
FRED
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Okay das ist schonmal gut.
Nur jetzt habe ich eine Folge und eine Reihe bei dem ich nicht ganz so klar komme.
[mm] \limes_{n \to \infty} \wurzel[n]{3^n+7^n+9^n}
[/mm]
mache ich bei der Folge den Trick mit mal eins? Das ich es umforme auf die binomische Formel?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n-1}{n^2+n} [/mm] * [mm] x^n [/mm] in Abhängigkeit von x element R
Bei der Reihe tippe ich auf majorantenkriterium. Aber wie mach ich das mit [mm] x^n? [/mm] abschätzen könnte ich es doch auf [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 So 03.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Okay das ist schonmal gut.
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> Nur jetzt habe ich eine Folge und eine Reihe bei dem ich
> nicht ganz so klar komme.
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} \wurzel[n]{3^n+7^n+9^n}[/mm]
>
> mache ich bei der Folge den Trick mit mal eins? Das ich es
> umforme auf die binomische Formel?
Den Trick kenne ich nicht.
[mm] 9^n \le 3^n+7^n+9^n \le 3*9^n
[/mm]
Jetzt n-te Wurzel ziehen und dann "Sandwich"
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n-1}{n^2+n}[/mm] * [mm]x^n[/mm] in
> Abhängigkeit von x element R
>
> Bei der Reihe tippe ich auf majorantenkriterium. Aber wie
> mach ich das mit [mm]x^n?[/mm] abschätzen könnte ich es doch auf
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Was ?
Zeige, z.B mit dem Quotientenkriteium, dass die Reihe für alle x mit |x|<1 konvergiert und für alle x mit |x|>1 divergiert.
Untersuche dann noch die Fälle x=1 und x=-1
FRED
>
>
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Okay.
[mm] \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right| [/mm] = [mm] \bruch{n*(x^n^+^1)}{(n+1)^2(n+1)} [/mm] * [mm] \bruch{n^2+n}{(n-1)* x^n} [/mm] = [mm] \bruch{nx}{(n+1)^2(n+1)} [/mm] * [mm] \bruch{n^2+n}{n-1} [/mm] und nun? oder ist dort schon ein Fehler?
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Hallo,
das obige ist falsch. Es geht ja um eine Potenzreihe und darum, deren Konvergenzradius zu bestimmen. Dann ist
[mm] a_n=\bruch{n-1}{n^2+n}
[/mm]
und das [mm] x^n [/mm] hat im Quotientenkriterium nichts verloren. 
Gruß, Diophant
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Okay also bei der Potenzreihe mache ich ja
r = [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{a_n}{a_n_+_1}
[/mm]
also,
[mm] \bruch{n-1}{n^2+n} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)^2+(n+1)}{n} =\bruch{(n^3+n^2)}{2n^2} [/mm] wenn ich oben [mm] n^3 [/mm] ausklammere und unten [mm] n^2 [/mm] dann läuft es gegen unendlich oder hab ich beim umformen was falsch gemacht?
moment habe glaub mein fehler gesehen ^^ beim umformen..
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Hallo,
> Okay also bei der Potenzreihe mache ich ja
>
> r = [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{a_n}{a_n_+_1}[/mm]
>
> also,
> [mm]\bruch{n-1}{n^2+n}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)^2+(n+1)}{n} =\bruch{(n^3+n^2)}{2n^2}[/mm]
Rechne das ma l nochmal nach, das ist ziemlicher Murks (auch wenn es hier zum richtigen Resultat führt).
> wenn ich oben [mm]n^3[/mm] ausklammere und unten [mm]n^2[/mm] dann läuft es
> gegen unendlich oder hab ich beim umformen was falsch
> gemacht?
Das ist schon richtig, der Konvergenzradius ist hier unendlich, aber wie gesagt;: die Termumformung muss stimmen und das tut sie nicht. Tipp: kürze zunächst mit (n+1).
> moment habe glaub mein fehler gesehen ^^ beim umformen..
Kann man so sagen. 
Gruß, Diophant
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soo jetzt aber hoffe ich :D
[mm] \bruch{n-1}{n^2+n} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)^2+(n+1)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)^2}{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^3+n^2-n-1}{n^2} [/mm] = [mm] n^3 [/mm] im zähler ausklammern [mm] n^2 [/mm] im nenner dann läuft es gegen unendlich.
nun die Umformung richtig?
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Hallo,
> soo jetzt aber hoffe ich :D
>
> [mm]\bruch{n-1}{n^2+n}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)^2+(n+1)}{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n-1}{n}[/mm] * [mm]\bruch{(n+1)^2}{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^3+n^2-n-1}{n^2}[/mm] = [mm]n^3[/mm] im zähler ausklammern [mm]n^2[/mm]
> im nenner dann läuft es gegen unendlich.
>
> nun die Umformung richtig?
nein: ehrlich gesagt, was du da im Zähler beim Kürzen veranstaltest, mist abenteuerlich. Beachte mal
[mm] (n+1)^2+n+1=(n+1)(n+2)
[/mm]
und versuche es nochmals.
Gruß, Diophant
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wenn ich das beachte kommt bei mir 1 raus. -.-
undzwar.
[mm] \bruch{n-1}{n^2+n} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)^2+(n+1)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{n-1}{n^2+n} *\bruch{(n+1)(n+2)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{n-1}{n(n+1)} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{n-1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n+2}{n} [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)(n+2)}{n^2} [/mm] ...
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Hallo,
es ist
[mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}=\bruch{n-1}{n^2+n}*\bruch{(n+1)^2+n+1}{n}=\bruch{n-1}{n*(n+1)}*\bruch{(n+1)(n+2)}{n}=\bruch{n-1}{n}*\bruch{n+2}{n}[/mm]
und das strebt in der Tat für [mm] n->\infty [/mm] gegen 1, das war vorhin mein Fehler, dass ich dir den unedlich großen Konvergenzradius fälschlicherweise bestätigt habe, sorry.
Gruß, Diophant
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achso okay. Aufjedenfall kann man denn sagen, im Betrag von x<1 konvergiert die reihe und im Betrag von x>1 divergiert die Reihe? was passiert bei 1 und -1? jaa war ne komische Aufgabe ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
> achso okay. Aufjedenfall kann man denn sagen, im Betrag von
> x<1 konvergiert die reihe und im Betrag von x>1 divergiert
> die Reihe? was passiert bei 1 und -1? jaa war ne komische
> Aufgabe ^^
Kann ein Betrag -1 ergeben?
zu |q|=1
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^{k}$ [/mm] hatja den Grenzwert [mm] \frac{1}{1-q}
[/mm]
Überlege mal, warum dieser Fälle beim Grenzwert [mm] \frac{1}{1-q} [/mm] ausgeschlossen ist.
Für |q|=1 gibt es doch nur q=1 und q=-1
Aber [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}1^{k}$ [/mm] und [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}$ [/mm] kannst du doch berechnen, auch ohne den Grenzwertsatz.
Marius
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hmm ich verstehe nicht ganz was du meinst, also wenn q=1 ist. dann würde im Nenner 0 stehen und das geht ja nicht. [mm] q^k [/mm] ist doch die geometrische Reihe die sagt dass wenn q im Betrag < 1 konvergiert die. und ist q größer als 1 divergiert die Reihe. ist das die antwort gewesen?
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Hallo <x<1, 0<y<1<br="">ellegance,
Herrscht hier Wirrwar? Oder bei mir?!
Es geht doch um die Potenzreihe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{n-1}{n^2+n}\cdot{}x^n[/mm] und du hast herausgefunden, dass der Konvergenzradius [mm]\rho=1[/mm] ist.
Soweit habe ich das hier überflogen?!
Damit konvergiert die Reihe für [mm]|x|<\rho=1[/mm] und divergiert für [mm]|x|>1[/mm]
An den Stellen [mm]|x|=1[/mm], also für [mm]x=\pm 1[/mm] musst du das separat untersuchen:
Setze [mm]x=1[/mm] in die Reihe ein und untersuche auf Konvergenz (sieht stark nach harmonischer Reihe aus ...)
Setze [mm]x=-1[/mm] in die Reihe ein und untersuche auf Konvergenz (sieht alternierend aus, also ...)
Gruß
schachuzipus
</x<1,>
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soo habe mein Fehler glaub gesehen habe nun im Bruch [mm] \bruch{n^3+n^2}{n^3+n^2} [/mm] stehen also = 1? richtig?
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Hallo,
> soo habe mein Fehler glaub gesehen habe nun im Bruch
> [mm]\bruch{n^3+n^2}{n^3+n^2}[/mm] stehen also = 1? richtig?
nein: falsch. Lass dir mal ein wenig mehr Zeit.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 So 03.02.2013 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen
> auf Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}}[/mm]
> Hallo,
> ich habe diese Folgen und Reihen untersucht und bin auf
> folgende Ergebnisse gekommen.
>
> b) LK: [mm](-1)^n[/mm] alternierend. [mm]a_n: \bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
> ist Nullfolge und monoton fallend, da [mm]a_n_+1[/mm] < [mm]a_n[/mm] daraus
> folge konvergiert aber nicht absolut.
>
> stimmen die? (falls etwas falsch ist schreibe ich mein
> kompletten Lösungsweg hin)
Nun, du zeigst mit dem Leibnizkriterium ja nur, dass es konvergiert. Dass es nicht absolut konvergiert, hast du allerdings damit noch nicht gezeigt, dafür würde sich dann wohl das Minorantenkriterium eignen.
Viele Grüße
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