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| Aufgabe | Geben Sie f¨ur die Folge [mm] (fn)\ge0 [/mm] eine natürliche Zahl [mm] n_{0} [/mm] an, so dass für jedes n [mm] \in [/mm] N
mit n [mm] \ge n_{0} [/mm] gilt: |fn| < 1/1000 .
(fn)ge0 , (fn):= [mm] 1/(2^{n})
[/mm]
Aufgabe 2:
Entscheiden Sie, ob die folgende Folge konvergent ist(n [mm] \to \infty), [/mm] und
berechnen Sie ggfs. den Grenzwert:
[mm] \wurzel{n^2+n} [/mm] - n |
Hallo liebe Mathefreunde!!!
Aufgabe 1:
[mm] 1/(2^{n}) [/mm] < 1/1000 |Kehrwert
[mm] \gdw 2^{n} [/mm] < 1000 |log
[mm] \gdw [/mm] log 2*n < log 1000
[mm] \gdw [/mm] log 2*n < 3
wie gehts hier weiter?
Aufgabe 2:
ich kann den Term folgendermaßen umschreiben:
[mm] (n^2 +n)^1/2 [/mm] -n
aber ich weiss nicht wie mir das weiterhelfen kann!
Liebe Grüße!!!!!
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Hallo blueberrystick,
> Geben Sie f¨ur die Folge [mm](fn)\ge0[/mm] eine natürliche Zahl
> [mm]n_{0}[/mm] an, so dass für jedes n [mm]\in[/mm] N
> mit n [mm]\ge n_{0}[/mm] gilt: |fn| < 1/1000 .
>
> (fn)ge0 , (fn):= [mm]1/(2^{n})[/mm]
>
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> Aufgabe 2:
>
> Entscheiden Sie, ob die folgende Folge konvergent ist(n [mm]\to \infty),[/mm]
> und
> berechnen Sie ggfs. den Grenzwert:
>
> [mm]\wurzel{n^2+n}[/mm] - n
> Hallo liebe Mathefreunde!!!
>
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> Aufgabe 1:
>
> [mm]1/(2^{n})[/mm] < 1/1000 |Kehrwert
>
> [mm]\gdw 2^{n}[/mm] < 1000 |log
Achtung, wenn du den Kehrwert bildest, dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
[mm] $\Rightarrow 2^n [/mm] \ > \ [mm] 1000=10^3$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{n\ln(2)} [/mm] \ > \ [mm] 10^3$
[/mm]
den [mm] $\ln$ [/mm] anwenden
[mm] $\Rightarrow n\ln(2) [/mm] \ > \ [mm] \ln(10^3)=3\ln(10)$
[/mm]
Nun nur noch nach n auflösen ...
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> [mm]\gdw[/mm] log 2*n < log 1000
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> [mm]\gdw[/mm] log 2*n < 3
>
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> wie gehts hier weiter?
>
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> Aufgabe 2:
>
> ich kann den Term folgendermaßen umschreiben:
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> [mm](n^2 +n)^1/2[/mm] -n
Hmmm ... erweitere [mm] $\wurzel{n^2+n}-n$ [/mm] so, dass du die 3.binomische Formel hinbekommst und die Wurzelausdrücke loswirst, also mit [mm] $\blue{\wurzel{n^2+n}+n}$
[/mm]
Das gibt: [mm] $\wurzel{n^2+n}-n=\frac{(\wurzel{n^2+n}-n)\blue{(\wurzel{n^2+n}+n)}}{\blue{\wurzel{n^2+n}+n}}=\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$
[/mm]
Nun klammere im Nenner unter der Wurzel [mm] $n^2$ [/mm] aus und ziehe es als $n$ aus der Wurzel raus, dann im Nenner n ausklammern, kürzen mit dem n im Zähler und den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] machen
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> aber ich weiss nicht wie mir das weiterhelfen kann!
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>
> Liebe Grüße!!!!!
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schachuzipus
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Du sollst ja nur die Konvergenz feststellen. Dazu reicht es, zu zeigen, dass die Folge monoton steigt und nach oben beschränkt ist.
Nun ist [mm] \wurzel{n^2+n}-n<\wurzel{n^2+2n+1}-n=\wurzel{(n+1)^2}-n=n+1-n=1 [/mm] und damit nach oben beschränkt.
Bleibt nur noch zu zeigen:
[mm] \wurzel{(n+1)^2+(n+1)}-(n+1)>\wurzel{n^2+n}-n
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{(n+1)^2+(n+1)}>\wurzel{n^2+n}+1
[/mm]
[mm] \gdw (n+1)^2+(n+1)>n^2+n+2*\wurzel{n^2+n}+1
[/mm]
[mm] \gdw n^2+3n+2>n^2+n+2*\wurzel{n^2+n}+1
[/mm]
[mm] \gdw 2n+1>2*\wurzel{n^2+n}
[/mm]
[mm] \gdw 4n^2+4n+1>4n^2+4n
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1>0
Allerdings: Im Gegenteil zur Methode von Schachuzipus kannst du den Grenzwert 1/2 hier nicht erkennen...
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